（应用数学专业论文）辛子流形.pdf

孔令辉辛子流形 中文摘要 这篇文章中 我们将给出一种构造辛子流形的一般方法 思想来源于 d o n a l d s o n 关于余维数为2 的辛子流形的存在性证明 一般的余维数是高维的复 子流形是很难理解的 但是余维数是1 维的复子流形是很好理解的 我们可以通过 线丛 线性系统和上同调这些熟悉的方法把这个问题线性化 这篇文章的思想是 把复几何中的这些工具发展到一般的辛流形上 我们要证的主要结论是下面的存 在性定理 定理1 假设 矿 功是维数为2 n 的紧的辛流形 并且d er h a m 上同调 2 r 日2 矿 固落在整格日2 v z t o r s i o n 中 设h 日2 矿 z 是 o 2 z 到可积丛的一个提升 则对充分大的整数七 易 矿 z 中盂磊的庞 加莱对偶可以由辛子流形w c v 得到 我们将解释定理证明中的一些重要思想 并且把结论用公式表达出来 设有标 准的度量和辛形式留 g 是c 中可定向的实的2 n 2 维平面的g r a s s m a n n i a n 流形 记g c g 是辛 2 n 一2 平面n 的开子集 相对于 上的定向 限 制在 上是正的 显然g 只由c 4 上的辛结构决定 给定一个度量 在每个 子空间上有一个体积形式q 我们可以定义一个映射 k a h l e r 角 g 专 o 万 川 n 堋s 1 志等 复线性子空间就是满足 i 刀一 l z n e r x 0 的解 所以口就测量了那些不能形成复线性子空间的数量 现在假设c 8 上的一个线性子空闻n 是由一个实线性映射a c 专c 扬州大学硕士学位论文 2 川 i 口 i 是由h e r m i t i a n 度量决定的标准范数 通过一些简单的计算可得到 1 除了对某个实数瑾 满足7 严口 以外 彳都有实秩2 z 若爿有实秩z h k e r a 贝0 t a n e r i 刍压 l o 叵 j 囹 g o l 我们 可以得到 2 料 所以这个比值就控制了核成为一个复线性子空间的偏差 为了以后的证明 我们需要下面重要的结论 性质2 假设口 口 c 4 一c 分别是复线性与反线性的映射 且 口 i p i 则子空间k e 口 d c c 8 是辛的 现在考虑带有相容近复结构的辛流形 国 设国cv 是一个实的余维 数为2 的子流形 在矿的切空间矿上应用上面的结论 我们可以在 上的 每一点定义一个数口 阿 这就测量了形不能成为伪全纯子流形的程度 假 设l 斗v 是一个复线丛 s 是f 的一个光滑截面 导数乳在j 的零集上 有好的定义且可以分成复线性与反线性两部分西 国 如果我们可以得到 i 盈i l 纠在零集上的每一点都成立 则这个零集矿中辛的余维数为2 的子流形 且带有定向相容的辛结构 零集的同调类就是三的第一陈示型类的庞加莱对偶 这就是我们构造辛子流形的方法 然而实际上我们可以得到更多的东西 设在定 理1 的条件下 存在一个矿上的线丛使得q 是 万 的一个整数提升 我 们可以赋予 一个曲率形式为一泐的酉联络 虽然这个联络没有包含在下面 主要结论 定理3 中 但是在整个证明过程中起了很大的作用 孔令辉辛子流形 定理3 设工斗矿是一个带有相容近复结构紧的辛流形矿上的复线丛 且 q 三 乡厶 则存在一个常数c 当k 很大时 在j 的零集上有一个p 的截面满足p b 去i 西1 这个定理3 和性质2 就得出了定理1 扬州大学硕士学位论文 4 i nt h i s p a p e rw ed e v e l o pag e n e r a lp r o c e d u r e f o r c o n s t r u c t i n gs y m p l e c t i c s u b m a n n i f o l d 1 1 1 ci d e ai sf r o md o n a l d s o na b o u tt h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c eo f c o d i m e n s i o n 2s y m p l e c t i cs u b m a n i f o l d s i n g e n e r a l q u e s t i o n s a b o u tc o m p l e x s u b m a n i f o l d so fh i g l lc o d i m e n s i o nc a nb ei n t r a c t a b l e b u to n eh a sar a t h e rg o o dg r i p o ns u n m a n i f o l d so fc o m p l e xc o d i m e n s i o n1 w h i c hc a nb es t u d i e dt h r o u g ht h ef a m i l i a r a p a r a t u so fl i n eb u n d l e s l i n e a rs y s t e m sa n dc o h o m o l o g y e f f e c t i v e l yl i n e a r i s i n gt h e p r o b l e m n ei d e ao f t h i sp a p e ri st oe x t e n dt h e s et e c h n i q u e si nc o m p l e xg e o m e t r yt o g e n e r a ls y m p l e c t i cm a n i f o l d s n em a i nr e s u l tt h a tw ep r o v ei st h ef o l l o w i n ge x i s t e n c e t h e o l 七m t h e o r e m1 l e t b eac o m p a c ts y m p l e c t i cm a n i f o l do f d i m e n s i o n2 n a n ds u p p o s et h a tt h ed er h a mc o h o m o l o g yc l a s s 2 r 日2 矿 固l i e si nt h e i n t e g r a ll a t t i c eh 2 v z t o r s i o n l e th h 2 矿 z b eal i f to f c a 2 r t oa n i n t e g r a lc l a s s t h e nf o rs u f f i c i e n t l yl a r g ei n t e g e r skt h ep o i n c a r 6d u a lo f 砌 i n h 2 n 2 矿 z 啪b e r e a l i s e d b y as y m p l e c t i cs u b m a n i f o l d c v w ew i l ln o we x p l a i ns o m eo ft h ei d e a si n v o l v e di nt h ep r o o fi nm o r ed e t a i l a n d f o r m u l a t eo u rr e s u l t sm o l e p r e c i s e l y w eb e g i n w i t hal i t t l el i n e a ra l g e b r a l e tc h a v e i t ss t a n d a r dm e t r i ca n ds y m p l e c t i cf o r m 国 a n dl e tgb et h eg r a s s m a n n i a no fo r i e n t e d r e a l 2 n 2 p l a n e s i nc w r i t e g cgf o r t h eo p e ns e to f s y m p l e c t i c c 2 n 2 p l a n e sn t h o s ef o rw h i c ht h er e s t r i c t i o no f 国 t oni sp o s i t i v e r e l a t i v et o t h eo r i e n t a t i o no n n c l e a r l yg d e p e n d so n l yo nt h es y m p l e c t i cs t r u c t u r eo n c 孔令辉辛子流形 5 g i v e nt h em e 廿i c a n dh e n c eav o l u m ef o r m q no ne a c hs u b s p a c e w ec a nd e f i n ea m 印一m e 锄 e r 删e p g 专 0 石 b y 卵 河 志 o n ec a ns h o w a l t h o u g hw ed on o tn e e dt h i s t h a t0c o m p l e t e l yc l a s s i f i e st h eo r b i t so f u n a c t i n go ng t h ec o m p l e x l i n e a rs u b s p a c e sa r ej u s tt h o s ew i t h 烈n 0 s o 口 m e a s u l 呛st h ea m o u n tb yw h i c ha s u b s p a c ef a i l st ob ec o m p l e x l i n e a r c l e a r l yt h es e t g i so l o n o ws u p p o s et h a tal i n a rs u b s p a c e sni nc i so b t a i n e da st h ek e r n e lo fa n r l i n e a rm a pa c 畸c w ec a nw r i t ea 强t h es u ma 矗w h e r ea j i s c o m p l e xl i n e a ra n d i sa n t i l i n e a r w el e t a ib et h es t a n d a r dn o r m sd e f m e d b yt l l eh e r m i t i a nm e m c a l i t t l ec a l c u l a t i o ns h o w st h a t 1 a h a s r e a l r a n k 2 u n l e s s a 8 a f o rs o m er e a l 口 2 i fah a sr a n k 2a n dh k e r a t h e n t 锄 口 竹一 o n es e e s t h i s t h a t0 h 2 m e 硎 1 c 一 s 也e a c v t 蜘 o f t h ek e r n e lf r o mb e i n ga c o m p l e xl i n e a rs u b s p a c e s f o rk e yo b s e r v a t i o nw en e e df o ro u rm a i nr e s u l t si st h ef o l l o w i n g p r o p o s i t i o n2 i f 口 口 c 斗c a r er e s p e c t i v e l yc o m p l e xl i n e a ra n da n t i l i n e a rm a p s a n d i f 川 口 t h e n t h es u b s p a c ek e r a cc i ss y m p l e c t i c o fc o u r s ei ti se a s yt ov e r i 匆t h i sd i r e c t l y w i t h o u ti n l r o d u c i n gt h ef u n c t i o n0 n o w c o n s i d e ras y m p l e c t i cm a n i f o l d v o j w i t hac o m p a t i b l ea l m o s tc o m p l e xs l r u c t t t r e i f 扬州大学硕士学位论文 6 wcvi sac s u b m a n i f o l do f r e a lc o d i m e n s i o n2 w ec a l ld e f i n ea te a c hp o 缸po f wan u m b e r 巳 b ya p p l y i n gt h ea b o v ed i s c u s s i o nt ot h et a n g e n ts p a c eo f wi nv t h i sm e a s u r e st h ee x t e n tt ow h i c hwf a i l st ob eap s e u d o h o l o m o r p h i cs u b m a n i f o l d s u p p o s et h a tl 寸vi s ac o m p l e xl i n eb u n d l e s a n dsi sas m o o t ho ff t h e d e r i v a t i o nv si sw e l ld e f i n e do nt h ez e r o s e to fsa n dc a nb es p l i ti n t ot h ec o m p l e x l i n e a ra n da n t i l i n e a rp a r t s 国 盈 w es t h e nt h a ti f 降l 1 瓠le v e r y w h e r eo nt h e z e r o s e t t h e nt h i sz e r os e ti sas y m p l e c t i cc o d i m e n s i o n2s u b m a n i f o l do f w i t h o r i e n t a t i o nc o m p a t i b l ew i t hs y m p l e c t i cs l n l c t u r e t h eh o m o l o g yc l a s so ft h ez e r os e ti s o fc o u r s et h ep o i n c a r ed u a lo ft h ef i r s tc h c r nc l a s so fl t h i si st h ew a yi nw h i c hw e w i l lc o n s t r u c ts y m p l e c t i cs u b m a n i f o l d s h o w e v e rw ew i l la c t u a l l yb ea b l et om a n a g e r a t h e rm o r e r e c a l lf i r s tt i m g i v e nt h eh y p o t h e s e so f t h e o r e m1 t h e r ei sal i n eb u n d l e lo v e l vw i t hc 1 三 h a l li n t e g r a ll i f t o f 哆 w ec a ne n d o wl w i t hau n i t a r y c o n n e c t i o nh a v i n gc u r v a t u r ef o r m 一切 w h i c hw i l lp l a yaf u n d a m e n t a lr o l ei nt h ew o o f a l t h o u g hi ti sn o ta c t u a l l yi n v o l v e di nt h es t a t e m e n to f t h em a i nr e s u l t a sf o l l o w s t h e o r e m3 l e t 三斗vb eac o m l e xl i n eb u n d l eo v e rac o m p a c ts y m p l e c t i c m a n i f o l dvw i t hc o m p a t i b l ea l m o s t c o m p l e xs t r u c t u r e a n dw i t hq2 石 t h e n t h e r ei sac o n s t a n tcs u c ht h a t f o ra l ll a r g ekt h e r ei sas e c t i o nso fp w i t h i 压降杀例 t k s e t 酣s t h i st h e o r e m t o g e t h e rw i t hp r o p o s i t i o n2 i m p l i e st h e o r e m1 孔令辉辛子流形 7 1 准备知识 在一般的微分流形上附加一些结构 可以得到特殊类型的流形 例如 黎曼流 形就是在一般的流形上定义了一个对称 正定的二阶协变张量场 下面介绍一类 重要的流形 辛流形 定义4 设m 是c 流形 脚是非退化的闭2 一形式 则称 是m 上 的一个辛形式或辛结构 带有一个辛结构的流形 m 国 称为辛流形 定义5 设 肘l q m 2 2 是两个辛流形 c 映射巾 m 斗肘 如果使q o 2 则称 是从 m q 到 m 2 吃 的一个辛映射或辛流 形同态 如果 m 斗j l f 还是微分同胚 则称m 是辛微分同胚 简称辛同胚 定理6 d a r b o u x 定理 设u c r 2 4 是坐标原点0 的一个邻域 国是 定义在u 上的处处非退化的闭2 一形式 则存在原点0 的某个邻域v c u 和矿 中的一组坐标缸12 o i 算 y 1 y 4 使得在y 中 出 砂 下面再介绍复流形和近复流形的一些内容 定义7 设矿是实数域r 上的向量空间 矿上的线性变换 矿斗矿 如果满足j 2 一谢 即j 2 o j z z v 则称 是向量空间矿 上的复结构 注 门维光滑流形可以看作实向量空间r 的一些开子集以光滑的方式拼接起 来的结果 类似地 撑维复流形则是复向量c 的一些开子集以 全纯 1 l p a 算子等于零 的方式拼接起来的结果 所以有下面等价的定义 扬州大学硕士学位论文 8 定义7 设膨是2 行维流形 如果肘有一个坐标卡集 u 吼 口 毋 其中吼 玑寸c r 2 是从m 的开子集u 到 c 内的同胚 使得 u 是肘的一个开覆盖 并且对于任意的口 6 i 当 n u b 时 复合映射吼 1 是从c 8 的开子集 u n u b 到 c 的开子集钆 n u b 内的全纯变换 则称坐标卡集 是流形肘的 一个 复解析相关的 复坐标覆盖 m 的极大的复解析相关的复坐标覆盖称为 m 的一个复流形结构 指定了一个复流形结构的2 一维流形肘称为一个 力维复流形 定理8 设肘是刀维复流形 每一点p m 的一个容许复坐标系 是 仍z 设z j 一l y 定义映射j p 乙肘寸乙肘如下 刍i 号i 以 寺i 一昙i l i n 则以是巧m 上与容许复坐标系 u 仍z 的选取无关的复结构并且 j p p m 是m 上的 1 1 型光滑张量场 记为j 光滑张量场 称为复 流形m 上的典型复结构 如所周知 光滑流形上的光滑结构使得在流形上定义光滑映射成为可能 类似地 复流形结构使我们能够在复流形上引入全纯映射的概念 定义9 设f m 寸n 是复流形之间的光滑映射 以了分别是m n 上的典型复结构 则f 是全纯映射当且仅当了 工 五 j 其中 工 t m t n 是映射 的切映射 注1 复流形上的全纯函数是全纯映射的特例 其定义如下 设厂 m 寸c 是 孔令辉辛子流形 9 复流形上的复值函数 如果对于m 的每一个容许坐标卡 u 纯 复 合函数 仍一 q 7 p 寸c 都是全纯的 则称厂是m 上的全纯函 数 注2 全纯映射的另一个特例是复流形上的全纯变换 其定义如下 设f m 寸肘 是复流形肘到其自身的同胚 如果 和它的逆映射 1 都是全纯映 射 则称 是复流形肘上的全纯变换 m 上的全体全纯变换关于映射 的复合构成一个群 称为复流形m 的全纯变换群 在复流形上存在典型复结构的事实提示我们引入下面的定义 定义1 0 设m 是2 n 维光滑流形 如果在膨上存在一个光滑的线性 变换场 使得在每一点p m p 是切空间巧m 上的复结构 则 称 m 刀是一个近复流形 在近复流形之间可以引入伪全纯映射的概念 定义1 1 设 m 刀斗 了 是近复流形之间的光滑映射 如果厂的 切映射工满足了 工 工 则称 是从近复流形m 到n 的伪全纯映 射 定理1 2 设 m 刀是满足第二可数公理的2 n 维近复流形 则在膨上 必存在 一不变的黎曼度量 证明 这是在复向量空间矿上存在 一不变欧氏内积的直接推论 事实 上 现在m 上任意取定一个黎曼度量g 对于任意的p e m 以及任意的 j y 乙m 定义g x d 昙 g o z y g a x 容易验证 g 就是m 扬州大学硕士学位论文 1 0 上的 一不变黎曼度量 证毕 设g 是m 上一个 一不变黎曼度量 对于任意的p m 令 h x y g z y 二k x y v x y t p m 则h t p m l m c 是r m 上的复值实双线形函数 它满足 1 h y 幻 h x d 2 h x x g x z 0 其中等号只在x o 时成立 3 联 i i r 二弘 x y 因此h 是 乙m j r 所对应的复向量空间上的h e r m i t e 内积 于是我们有下面的定义 定义1 3 设c m 刀是2 万维近复流形 如果在m 上以光滑地依赖 于点p m 的方式 在每一点p 的切空间 乙m 刀上给定了一个 h e r m i t e 内积h p 烈p 则称h 为近复流形 m 刀上的一个h e r m i t e 结构 孔令辉辛子流形 2 局部理论 这节我们研究近复几何与线丛曲率的相互作用 我们的目标是当k 很大 时 构造线丛 y 的近似全纯截面 设 奶是紧的辛流形 有一个固定的相容近复结构 且线丛 寸矿有一个u 1 联络 曲率为一f 我们设g 是由国和 确定 的黎曼度量 g i k g 由 国和 确定 对任意一点p v 由d a r b o u x 定理 我们可以选择一个标架z 尻 b 2 斗v 其中b 2 是c 中的单位 球 且z o p 则z 回是c 4 上的标准形式 其中 0 0 弓i d g 氟 我们记国 i d a 4 去 z 暖一毛如 我们可以 口4 i a l 假设z 的所有导数 由度量g 和它的l e v i c i v i t a 联络来表示 是有界的 且不依赖于点p 的选取 我们同样可以假设z 在0 点的导数在r 圪上 关于近复结构是复线性的 则若用z 拉回近复结构 我们就得ntb 2 上丛映射 其中 z 专 o 1 表示的复结构了 像上面一样 的所 有导数有界 与点p 的选取无关 给定k 我们用伸缩系数为k 1 他的伸 缩映射来构成标架z 则有名 z t n 七 2 8 2 啼矿 t y 面 在标架名 下 由丛映射露表示的近复结构歹满足 1 刚 c k 1 1 2 怫 啊 既 这里的常数c 不依赖与点p 证明 很明显 如果我们把 限制在y 的一个内球上 了就在一个 扬州大学硕士学位论文 半径为o k 2 的球上 1 2 另一方面 v 上线丛 的曲率一腑m 的拉回映射名 i k a 在c 上的标准形式为 i c o o 所以我们可以把名提升为一个保持联络的丛映射 从标准线丛f 到线丛口 限制在p 的一个邻域的丛映射 联络矩阵为 a 仍记为岩 因此我们可以把善的截面仃看成是 的一个局部截 面 设否 7 表示由球七1 7 2 8 2 4c c 上的近复结构了和联络矩阵a 定义 的否算子 则百 j 门 秒 1 力 芦 可 4 1 t o 9 如果f e 十1 2 通过简单的计算我们有 矽 1 厂 瓦十一4 三窆z 魔毛e 刊 4 丢e 刊2 嗡 杰气哌 r 口 1 a 1 一4 昙 编嚷 塾瓯瑚 钞 4 1 抛十1 2 一 耋乞如a e 1 2 4 i i zz 1 4 越 乙如 刊2 h 岳 编丸 毛蚶 刊 乙丸 则孑 厂 一 以 乞出 弦1 d 2 由 1 得 2 i 否 j 正 阮l 阿 彳1 卅 m 17 2 e 1 4 2 不等式 2 是平坦模型上的高斯截面变成线丛 上的近似全纯截面的 一个很好的估计 我们同样也可以估计否 7 的导数 1 v b 三 m z 2 4 i i j v 瓦幻们4 1 孔令辉辛子流形 七 则我们有下面的结论 性质1 4 对矿上任一点p 充分大的整数置 存在矿上线丛 的 一个光滑截面仃 使得在矿上的点g 处满足 扬州大学硕士学位论文 竺 1 对固定的r 如果d k p g 矗 则i o p d c 1 2 h 驯 力d 3 i v v o i c 1 以 p q e k p 鼋 4 1 否仃 q l s 繇一 以 a q d p g 3 气 a q 5 i v 石 g 卜 一 a a p g 噍 p 鼋 3 e q 其中瓦是 上的否算子 v 是由v 中的l e v i c v i t a 联络和f 上的联络定义的协变微分 常数c 与k 的选择无关 证明 这个结论由上面的讨论很容易就得到了 主要的思想是标架名是 关于矿上度量g 的一个近似等距 所以我们只要把上面新标架下的估计 和矿上的不变估计作一下比较就行了 注 这里我们得到了一个重要的绪论 那就是由标架孑 下的导数估计在新 标架z 下可以得到相应的另一个估计 孔令辉辛子流形 3 整体构造 在这节我们将给出整体的构造过程 使得线丛 jv 的一个截面满足定理 3 的条件 构造的模块就是上节中的截面口 现在我们选取y 中的一些点 只 使得以p 为球心 勖一半径为1 的球能覆盖y 我们要强调的是这个 过程依赖于参数k 引理1 5 存在一个常数c 使得对每个参数t 我们可以通过一组中心 在p 的g i 单位球来覆盖v i 1 m 且对v 上另外一点q 有 村 或 们7 气 q a c r 0 1 2 3 1 1 证明 我们只证明引理为欧氏空间的情况 要用到的结论是 若 是c 中的格点 则对任意的a o c o e c 4 无限和 k c o e d 1 i z 关于 是 傩 一致有界的 固定一个不依赖与k 的有限覆盖 由标架o q 斗矿 j l s 给 出 其中qc c 是有界的 使得对所有的五y q 去卜一y 旧d o x 卿 2 j x 一叫 我们也可以选取小的开子集0 c0 j c q 使得y 被q 的象所覆盖 设 是c 一中的格点口 一 拓一 其中口 芒 必t z 这样以格点为中心 半径为妻t 彤的欧氏空间的球就覆盖了c 一 设 巾 n d 则当 i 很大时 这些中心在 中 半径为敫的单位球就覆盖了m d j 当s 从 1 取到s 我们定义集合 p c 矿为 的并 这样由这些中心在a 的既 单位球就覆盖了矿 因为s 不依赖与七 要使引理中的和式有界 只要对每 扬州大学硕士学位论文 1 6 个j 置 d e d p d b g 有界就行了 当d k p 们 七 即 p e a o 攻p 彩 女嗄时 p g 0 所以当丘充分大时 若鼋不在垂 q 中 冠 d 0 若q o z 在 q 中时 我们就估计出了一个界 r q 2 r 七么1 2 一吖e 一 1 2 一州么 2 i 一 i i o l 脚2 e i e o 其中 是固定的格点j 1 尹n c z 国亿 国 七 z 证毕 从现在开始 对每个 i 我们假使有一组固定的p f l m 满足引理 的条件 我们记c r a 为了得到所需要的截面 我们考虑截面q 的一个近 似线性组合 设由复数 i l m 组成一个向量虫 我们有 的一个截面 f 3 s j e d 3 t o r t我们通常设系数l q l l i i 引理1 6 对满足b i s l 的任一向量鲤r 截面s 在矿上处处满足 h c l o z s o 存在一个数 功与k 无关 使得对任 意大的k 我们可以选取一组点a 满足引理的条件 且存在着这样的一个分解 把集合i l 2 肼 分成 个互不相交的子集 j tu 2u u 使得对 每个口 如果a 所 l 则a p i p j d 更精确地 我们可以设 n d 1 c d 证明 对固定的整数d 标准的格点 z 40 亿 可以分解为d 一的余 集 d a 且在同一个余集中任两个元素间的距离至少为d 现在仿照引理 1 2 的构造 因为组的个数s 与k 无关 放只要分解每组a 则相应格点的一 个余集分解就达到了目的 在保持构造的情况下 我们可以把分解看成是用 d 种颜色给球涂色 我 们的主要策略是在构造的每一个阶段 调整系数6 0 属于相同的l 即f 这样我们从任意向量鲤o 例如 o 和相应的截面 o 5 一开始 在构造 的第一个阶段 我们将使堡 的系数q o 属于 其它的保持不变 得到一 个向量c o 和一个截面j 1 5 一 在第二个阶段 我们使堡 的系数属于i z 得 到一个截面s 2 依次等等 在构造的过程中 这些阶段的总数目 依赖于d 而不是依赖于七 当然在每个阶段 我们将保持b 4 l 1 有了上面的框架 我们开始讨论调整系数的准则 重要的思想是在阶段口 我们将获得属于l 的球上的数目有一定控制的横截 这些球由口着色 如果记吃 ub 一l e l 口n 扬州大学硕士学位论文 1 8 则o 巧c c y 我们想得到的是对一个合适的占 截面s 4 在 w s n 圪上满足i 西 i e 其中w s 表示零集 更一般地说 这就导致 了在每个阶段的两个要求 1 系数属于l 的变换必须获得属于l 的球上的控制横截性 2 系数属于l 的变换不能破坏属于l o 时 如果对任意的z e u 职z 一叫 帮 导数满足f 0 9 f 笮 我们 就称 在u 上是玎一横截到m 的 注 很显然 这个定义在c 扰动下是稳定的 如果 是玎一横截到国 的 g 斗c 是另外一个映射满足j i s g l lc i 艿 则g 是0 7 一d 一 横截到国的 当然如果刁 f 则当k 充分大时 在 w s nb i 上阮j i c 4 s 引理2 0 设s s 中的系数向量望满足l l s l 另外一个向量堡 除 了系数属于l 的外 其余的与虫相同 即如果 萑j 则 并且 设如果 l h 一 o j l s 盯 记s 5 生 设石 六 是表示这些截面的函 数 则下列成立 1 对任意的i 肛 一z 怿c j 2 若i e 埘 q 只 则l k 一z 一只此 矗 c e x p d 名 j 证明 这两个引理的证明是直接的 主要的过程是h l 在矿 上有界 则由否 s 否 z 盯 p z 吼 工市 可以看出瓦j 否 q 的界给出了 瓦z 的界 类似地对全协变导数也有相应的结论 又由于瓦 石 矽 这样我 们就从近复结构的否一算子否 过渡到了标准的百一算子 证毕 现在我们可以对球上的函数用局部的结论了 对一个整数p 我们记巳表 示函数q l o g p 1 一 定理2 1 对艿 o 以表示 上函数厂的集合 则 扬州大学硕士学位论文 1 c i 2 i m i r 8 则存在一个只与维数厅有关的整数p 使得对任何艿 o 艿 o 里 证明 这个定理的证明要用到横截性的估计以及实数的复杂性 过程比较复 杂 可以参看参考文献i 0 现在准备工作都已经做好了 我们可以进行整体构造 我们假设从构造的口 阶段开始 已经选好了望 一 对某个小的正数 7 0 t 一等价地 石一坼是绯 疋 以一横截到0 的 但是五一v 是表示截面s 2 的函数 其中 如果 f 哆 q 如果j i 留 q 一一v f 总结一下 假设有边界条件 4 我们可以通过改变单独的系数8 i 至多瓦 得到的一个新的截面铲在球b j 上是瓯 疋 以横截的 进一步地 若在合适 的半平面上选择q 我们可以假设b 1 现在我们对所有的f 同时做这些变换就可以定义新的向量生 和新的 截面s 4 了 即 若 叠j q 4 m 1 若j e l 4 q 一7 当j e l 为了控制j 8 在标准球马上的横截性 我们把它作为是对截面 s 的小的挠动 由引理2 0 的 2 式 局上这两个截面差的c 1 一模是有界的 界 为c 鼹p 一矽 以 所以j 4 在易上是i i q 魄 以一横截的 也就是说 c e x p 一哆彳 丸 三绋 以 瓦 我们可以约去方程两边的因子丸 再通过合适 地选取p 把常数c 放进去则条件就变成了 5 晰d 彳 绯 屯 假设条件 5 满足 通过选取很小的p 我们可以假设线 以 疋 t 则新的截面s 在圪上是处处蹿 一横截的 其中节 i 1 绯 巳 以 最后 我们得到了q 晚 既 c 1 7 鲱0 7 州 所以通过重新定义p 我们就可以假 扬州大学硕士学位论文 设r g 铆 1 研 了 我们用下面的性质总结一f 上面的讨论 性质2 2 存在常数p l 和p 使得r 的一个截面j 1 s 在心 上是r 一横截的且满足r 1 p 如果又有 1 忘嘿s 瓯铆 玎 2 e x p 一 g 则存在另外一个截面 s 4 5 矿 在 v 上是 吼一横截的 其中 钆 q 铆一 一 证明 见上面的讨论 需要注意的是巩 r 所以条件r o 实数序列冀 口 1 z 满足工 工 t p l o g x q 则对任意的q p 存在一个只与q 和而有关的整数q 满足 z y y p l o g y 就成立了 现在我们用数学归纳法证明 取口l l 且当口 1 时 q a 口i l o g z 口1 成立 即 一 g 1 口1 l o g o o r 1 成立 设口 k 时 结论成立 即 以s q k 口1 l o g k 口1 y i 当口 七 l 时 工l l p l o g x l l y 女 p l o g y l 一 电 y l 啕 p l o g y 咱 l 故结论成立 证毕 现在我们对序列 一l o g 应用这个引理 其中r 是由前面性质2 2 归纳 定义的 r q 叩 r o 户 对某个依赖与户的常数c 我们得 到粗略的界g 一 面i c 万 因此q 仞一 石丽c 否j 矿 其中 就 是上面的 颜色数 我们又知道n c o n s t a d 其中d 是分离参数 所以当 很大时 g 钆一 五i c 百 而对充分大的 g 彳 五i c 而成立 也 即q 仞 e 一吃成立 因此我们断言如果参数d 足够大时 性质2 2 的条件 2 在每个阶段都满足了 至于性质2 2 的另一个条件 1 它只包括k 而不包括 d 且参数k 不影响r 的值 故对某个固定的d 我们可以选取 1 中足 够大的k 对每个阶段都适用 这样就得到了在整个矿上都是钆一的截面 扬州大学硕士学位论文 s 也即完成了定理3 存在性结果的证明 孔令辉辛子流形 4 进一步的结论 我们将要考虑我们构造的子流形 当j 寸a o 时的渐近性质 我们证明 对次数为2 的流 y 上光滑 2 l 一2 一形式组成的空间的对偶 有 更精确地我们将证明 性质2 4 存在一个常数c 使得对任何检验形式妒 q 2 n 2 矿 有 b 一去户 叫s 傩卸酬 这里r 一模是根据矿上固定的度量g 计 算得到的 证明 设j 是 的截面切断睨 卜形式4 j 1 珊在吸的补集上 有一个积分奇点 因为函数i z l l 在c 中原点的一个邻域是可积的 所以可认为 是矿上的一个流 它是 的一个奇异联络形式 这个联络形式4 联络 七国 零集呒之间的关系包含在下面流的的方程中 翻 矾一嘉国 这就是说 对任何检验形式伊 有p 一去尹人口 一 一 却 所以我们要 畋 y y 证明的结论就变成了对不依赖于七的某个常数c j 1 4 l 咖 c i 成立 现在 变换到重新赋值的度量g 和矿上由g 一单位球构成的标准覆盖 则矿的 体积形式收缩七一一且小球的数目为0 七一 而v s 的模收缩了七彤 所以只 要证明对每个球由度量 定义的孵i 是一致有界的 我们知道切变导数 扬州大学硕士学位论文 是一致有界的 所以只要控制1 嗣4 的积分 像以前 样 我们甩球上 的 标准平凡化来重新表示截面j 且推导出考虑函数 总的来说 我们想要得到的结 果可以由下面的性质很容易得到 性质2 5 给定p o 设b 是2 8 2 c c 6 上满足条件p i ic js f i i l 且在i 卅 p 的点处i 卅 p 的复值函数f 的集合 则对任意的p 存在一个常数c 使得对b 中所有的厂 有 南咖 c 证明 对任意的厂 我们首先把 的积分分成b 2 中l 卅 p 的区 域j l 和 p 的区域j 2 很明显1 2 的界为2 口 p 一 所以只要控制 即可 对盯 c i d p 设乙 厂 1 c o n b 现在我们知道在 i s l p 的点 有i 别么 p i 刎 所以由上面的讨论可知 的导数是满的 则集合z 是光滑的余维数为2 的子流形 在z p 上任 g 我们设j s p 为厂导数的行列式的模 限制在在那个点垂直于z 的c 的2 维子空间中 由这个垂直平面和c 上面积形式定义 则我们有一个 余面积 公式 占南咖 三眢咖 其中l2 乡 1 办且砂是子流形z c 矿 上 普通的诱导测度 现在只需要简单的线性代数去证明 o 酬2 i 别2 2 4 l 1 2 必 刎2 一l 别2 3 么且以的下界给出了 l c o c o n 嚣t v o l z 则只要找到对所有的l a l p 茁 z 的体积的 一个界就行了 为了得到这个结果我们用反正法来证明 我们可以假设如果存在 孔令辉辛子流形 中的一个序列z 和序列0 l 使得z 增加到无穷 如果需要的话可以 选择一个子序列 则z 在b 2 4 的内部是收敛到 由万一算子的一般椭圆估计 某个c 1 中的l i n l 厂且q 收敛到l i m