2022年新高考全国I卷数学真题（解析版）

绝密☆启用前试卷类型：A

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填

写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡

右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

।若集合M={xIyfx<4},N={x|3x21}则MN=()

A.{x|04x<2}B.<x^<x<2|C.{x[3«x<16}D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求McN.

【详解】〃={x|0«x<16},N={x|xN；},^<x<16

故A/

故选：D

2若i(l-z)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法可求Z,从而可求Z+5.

1・

【详解】由题设有l-z=-=3=—i,故Z=l+i，故z+5=(l+i)+(l—i)=2,

1I

故选：D

3.在cABC中，点。在边AB上，BD=2DA.记C4=/〃,C0=〃，则CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3/"+2〃D.2m+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边AB上，BD=2DA，所以BO=2D4,即一=2(C4—COb

所以CB=3CO—2C4=3〃-2〃2=-2m+3〃.

故选：B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔

148.5m时，相应水面的面积为14O.()km2;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为ISO.Okn?,将该

水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约

为(币x2.65)()

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为肠V=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.

棱台上底面积S=140.0km2=140xl()6m2，下底面积5Z=180.0km2=180xl06m2，

AV=1/?(S+S,+V^7)=1X9X(140X106+180X106+V140X180X1012)

=3X(320+60>/7)X106«(96+18X2.65)X107=1.437xl09«1.4xl09(m3).

H

阳

故选：C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

11-12

A.—B.-C.~D.—

6323

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种,

21-72

故所求概率P=-------二—.

213

故选：D.

6.记函数/（x）=sin[Qx+?J+伙。＞0）的最小正周期为「若吾＜丁＜），且y=/（x）的图象关于点

（甘，2）中心对称，则，（9=（）

35

A.1B.—C.—D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

2〃*2zr272r

【详解】由函数的最小正周期7满足一＜T＜乃，得一＜—＜勿，解得2＜。＜3,

33co

又因为函数图象关于点（芬,21对称，所以阴口+二=%肛％€2,且5=2,

I2}24

所以0=-工+2%,攵eZ,所以0=*,/(x)=sin[?x+生+2,

632124)

所以/O=sin'乃+?)+2=L

故选：A

7.设a=O.le°」,b=",c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.

【详解】方法一：构造法

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-1),因为=———1=一——,

1+x1+X

当尤G(-1,0)时,f'(x)>0,当xw(0,+oo)时，'(x)<0,

所以函数/(x)=In(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/《)</(0)=0,所以111个一/<0,故=—ln0.9，即匕〉c，

19I9--1-1

所以/(一一)</(0)=0,所以In二+一<0,故二<ei。，所以--修°<上，

10101010109

故a〈b,

设g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<1),则g，*)=(x+l)e'+—~

令h(x)=eA(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-l),

当0<x<血—1时，"(x)<°，函数/z(x)=e«2—l)+l单调递减，

当Q-l<x<l时，〃(乃>0,函数/2*)=^，一1)+1单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0<x<及一1时，h[x)<0,

所以当0<x〈及一1时，g'（x）>。，函数g（x）=xe'+ln（l—无）单调递增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即O.le°」>—ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.\eQ',b=-^—,c-In(l-O.l),

1-0.1

①Ina—In8=0.1+ln(l—0.1),

令f(x)=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

1—Y

则ra)=i<o,

l-xl-x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—lnb<0,所以a<b；

②a-c=O.le°,+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l-x),xe(0,0.1],

„.,1(1+x)(l—x)e”—1

则g\x)=xexv+exv---------——-——-------,

1—X1—X

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a—c>0,所以a〉a

故c<a<b.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%,且34/43百，则该正

四棱锥体积的取值范围是()

2764

D.[18,27]

T'T

【答案】C

【解析】

【分析】设正四棱锥的高为/?,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正

四棱锥体积的取值范围.

【详解】•.•球的体积为36%,所以球的半径R=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2”，高为〃，

则广=2。2+〃2,32=2a2+（3-h）2,

所以6〃=/，2a2=l2-h2

iI2I4/21।/6

所以正四棱锥的体积V=-Sh=-x4a2xh=-x(l2---)x—=-/4----

3333669136J

所以V'

当3W/W2指时，Vz>0,当2c<”36时，V'<0,

所以当/=2遍时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为竽,

27Q1

又/=3时，丫=一，/=3百时，V=—

44

27

所以正四棱锥的体积V的最小值为一，

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是子源

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=1片九=2（6/Z—/22M=1（12-2/Z）/?X%,1X［（12-2〃）+"+与=竺（当且仅当

333333

4=4取到）,

当。==时，得。=辈，则匕in=La"=1（辈）2X』=2；

272337224

当/=36L时，球心在正四棱锥高线上，止匕时/?=^3+3='9

22

立。=*5=。=萃，正四棱锥体积匕=]_/%=1（挛>x?=旦〈里，故该正四棱锥体积取

22&'33^2243

值范围是[卫

43

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知正方体A8Cr>-A4GR，则（）

A.直线BG与0a所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90°

C.直线8G与平面叫。。所成的角为45°D.直线8a与平面A8C。所成的角为45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接gc、BG，因为£）A//gC,所以直线与所成的角即为直线8G与。4所

成的角，

因为四边形BBC。为正方形，则故直线BG与。A所成角为90°,A正确；

连接AC，因为44_1平面BBCC，B&U平面则A4J.BG，

因为BCJ.BG,4480=片，所以平面A5C,

又ACu平面4瓦。，所以BG^Ca，故B正确；

连接AC，设AGiBR=O,连接3。,

因为8瓦_L平面A£GQ,C0u平面A8|CQ],则6。，用8,

因为BQQBIB=BI,所以G。，平面B8QQ,

所以NCR。为直线BG与平面B8QQ所成的角，

设正方体棱长为1，则。0=也，BC\=C，sinNG8O=*=J,

128G2

所以，直线8G与平面8力所成的角为30,故C错误；

因为GC，平面ABC。，所以NC/C为直线BG与平面ABC。所成的角，易得NQBC=45，故D正

确.

故选：ABD

10.已知函数/(为=%3-X+1,则()

A./(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/(%)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数

的几何意义判断D.

【详解】由题，r(x)=3f_i,令〃力＞0得x＞且或

令r(x)＜o得一走＜》＜立，

33

所以“X)在(_oo,_g),「?,+00)上单调递增，(一乎，迫)上单调递减，所以x=±#是极值点，故

A正确；

因-*)=1+竽＞0，/哼)=1一¥＞0,/(-2)=-5＜°，

所以，函数“X)在-00,一上有一个零点,

、

当时，f(-V)f即函数/(x)在+°o上无零点,

3I31137

综上所述，函数/(x)有一个零点，故B错误;

令〃0)=X3一元，该函数的定义域为R,h(-X)=(-X)3-(-X)=-X3+X=-/z(x),

则力(X)是奇函数，(0,0)是力(幻的对称中心,

将力(x)的图象向上移动一个单位得到/*)的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

令/'(x)=3f_l=2,可得x=±l,又/⑴=/(—1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-l,当切点为(一1,1)时・，切线方程为y=2x+3,故D错误.

故选：AC.

11.已知。为坐标原点，点41,1)在抛物线C：x2=2py(〃>0)上，过点B(0,-l)的直线交C于P,。两

点，贝IJ()

A.C的准线为y=-lB.直线A3与。相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立A8与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式

可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2”，所以抛物线方程为f=y,故准线方程为y=一,，A错

4

误；

kAB=—^=2,所以直线A5的方程为y=2x-l,

1~0

y=2x-l

联立〈，，可得V-2x+l=0,解得x=l,故B正确；

x=y

设过B的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁=丘-1,P(x„yi),Q(x2,y2),

y=kx-\

联立〈，得Ax+l=O，

x2=y

△=公一4>0

所以<x^x2=k,所以&>2或攵<一2,%必=（用W）2=1，

xxx2=1

又1。尸1=Jx；+y：=Jx+犬，1。。=£=M+£，

所以ICPI•Ic。1=Jx%（i+x）（i+必）=x依2=1攵l>2=|O4『,故c正确;

因为BQ

|8P|=Jl+/|x",Ih71+FIx2I.

所以|BPHBQb（l+/）|x/2l=l+/>5,而|BA『=5,故D正确.

故选：BCD

12.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若-g(2+x)均为偶

I，J

函数，则()

A./(0)=0B.g(-；)=0C./(-l)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】方法一：转化题设条件为函数对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项

判断即可得解.

【详解】［方法一］:对称性和周期性的关系研究

对于/(x),因为为偶函数，所以/•1_2x)=/(g+2x)即=+①，所以

3

/(3-x)=/(x),所以/*)关于x=2对称，则/(-1)=/(4),故C正确；

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于x=2对称，

由①求导，和g(x)=7'(x)，得

（（3

|+xo-g---FX,所以

（2

g(3—x)+g(x)=O,所以g(x)关于g,0)对称，因为其定义域为R,所以g(g)=O,结合g(x)关于

x=2对称，从而周期T=4x(2_1')=2,所以==0,g(-l)=g(l)=_g(2),故B

正确，D错误；

若函数/(*)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定了(X)的函数值,

故A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(7tr),则/(x)=Lsin(7rx)+c,显然

兀

A,D错误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为/(3一2》)，g(2+x)均为偶函数，

所以/(|一2%)=/(1+2%)即/(5一元)=/1?+'\|，g(2+x)=g(2—%)，

所以"3-x)=〃x),g(4-x)=g(x),则/(—1)=/(4),故C正确；

函数/(x),g(x)的图象分别关于直线x=3,x=2对称，

2

又g(x)=r(x),且函数〃x)可导，

所以g■|)=0，g(3-x)=—g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g==g(—l)=g(l)=—g(2)，故B正确，D错误；

若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/*)的函数值,

故A错误.

故选：BC.

【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该

题的通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中x2y6的系数为(用数字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】可化为(x+y)8—j(x+y)8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为11一2］(x+y)8=(x+y)8-：(x+>)8，

所以(1一:'》+)，)8的展开式中含龙2〉6的项为©自2,6心电3寸=_28%2卜6,

(1-2)(x+y)S的展开式中x2yb的系数为-28

故答案为：-28

14.写出与圆f+y2=1和(X—3)2+(y—4)2=16都相切的一条直线的方程_______________

【答案】y=一二3X+5三或y7—325或x=—l

■442424

【解析】

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】［方法一］:

显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+by+c=o,

〒曰©1[3+4"C」

于是否瓦」

Jl+/

故=1+。2①，|3+4Z?+c|=|4c|.于是3+4)+。=4。或3+4)+。=T。,

24,4

b=—

b-0

再结合①解得《,或《7或一《3

c-l255

c―一-_-_

~13

所以直线方程有三条，分别为x+l=O,7x—24y—25=0,3尤+4y—5=0.

(填一条即可)

［方法二J

设圆/+V=1的圆心0(0,0),半径为4=1,

圆。一3)2+。-4)2=16的圆心。(3,4),半径弓=4,

则|。。|=5=/;+4，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+l=0符合题意；

又由方程(x-3>+(y-4)2=16和Y+,2=1相减可得方程3x+4y—5=0,

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3)，=0,

4

直线OC与直线x+l=()的交点为(一1,-§),

4k-17

设过该点的直线为y+—=Z(x+l),则|3|「解得k=一,

42+1

从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)

［方法三］:

圆3+9=1的圆心为0(0,0),半径为1,

圆(X-3)2+0—4)2=16的圆心01为(3,4),半径为4,

两圆圆心距为斤不=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,

如图，

433

当切线为/时，因为坛q=g,所以勺=一］,设方程为y=—jx+W>0)

d——f"।=1535

0到/的距离「于，解得「=己，所以/的方程为y=—±x+2,

F16444

当切线为初时，设直线方程为"+y+〃=0,其中〃>0,k<Q,

id==i

J1+4725

由题意《，解得《,y=—X-----

的+4+p|-252424

p=一

J1+&224

当切线为〃时，易知切线方程为％=-1,

1一，+9或1工尸生或尤=_1

故答案为:

-44-2424

15.若曲线y=(x+a)e'有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

【答案】(f),-4)U(0,+<®)

【解析】

【分析】设出切点横坐标方,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于X。的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】♦.,y=(x+a)e',y'=(x+l+a)e",

设切点为(％%)则％=(4+a)e%,切线斜率左=(%+1+。)6%,

切线方程为：y-(x()+a)e*=(N)+l+a)e*(x-x(J,

•••切线过原点，，一(而+a)e*=(玉)+1+。)&"(一天)，

整理得：x^+axo-a=O,

•.•切线有两条，.♦.△=/+4。〉0,解得。<-4或。>0,

的取值范围是(7,-4)(0,+的)，

故答案为：(-°。,-4)(0,-KQ)

22

16.已知椭圆C:5+±=l(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为耳，F2,离心率为过耳且垂

直于A々的直线与C交于。，E两点，|。£|=6,则工4£)£的周长是.

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为f+六=1,BP3X2+4/-12C2=0,根据离心率得到直线

A工的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线。石的方程：x=#y-c,代入

椭圆方程城+4丁-12c2=0,整理化简得到：13y2-6疯7-9。2=(),利用弦长公式求得c=一,得

8

13

a=2c=一,根据对称性将.ADE的周长转化为△居。石的周长，利用椭圆的定义得到周长为4。=13.

4

c

【详解】・・,椭圆的离心率为e=—=—1,，Q=2C,・♦•从=〃2一/=302,•・.椭圆的方程为

a2

v-2V2

}+g=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨设左焦点为片，右焦点为鸟，如图所示，:

7T

AF2=a,OF【=c,a=2c,NA片O=§,.•.△Af；鸟为正三角形，••♦过6且垂直于A心的直线与C

交于。，E两点，DE为线段AF,的垂直平分线，.•.直线。石的斜率为立，斜率倒数为有，直线。E

3

的方程：x=6y-c,代入椭圆方程#+4丫2_12/=0,整理化简得到：13y2一6百cy-9c2=0,

判别式△=（6&『+4X13X9C2=62X16XC2,

|DE|=J1+(6)|X-%|=2X*=2X6X4XR=6,

13--13

c=—,得a=2c=—,

84

•••£>£为线段A行的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=EF2,：.ADE的周长等于△6OE

的周长，利用椭圆的定义得到△鸟。E周长为

\DF2\+\EF2\+\DE\^DF2\+\EF2\+\DFt\+\EFt\^\DFt\+\DF2\+\EFt\+\EF^2a+2a^4a^13.

故答案为：13.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

fS]1

17.记S.为数列｛q｝的前〃项和，已知q是公差为一的等差数列.

（1）求｛《,｝的通项公式；

111c

(2)证明：---—++一<2.

a2an

〃(〃+1)

【答案】（1）

2

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得与=1+：（〃-1）=胃，得到S“=（〃+2）.,利用和与项的关

an333

系得到当〃22时，4=S,।=（"+2""_（〃+l"，i,进而得:利用累乘法求得

a„=〃（丁,检验对于n=1也成立,得到｛4｝的通项公式a,=?勺1）；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到'+」-++—=2|1一一二］,进而证得.

4a2a„\n+ij

【小问1详解】

,5.

a.=1,：.S=a=l,：.—=l,

ttq

*、

又•••&是公差为1的等差数列，

l«J3

4,3，）33，

.•.当时，s“

3

.„CC（〃+2”“（〃+1）%-

••%=，_51=----------------,

整理得：（〃-

a〃+1

即一n^

%n-\

为qan-\an

•a=〃|X=X」X...X"Tx——

…〃4%an-2%

134n〃+lH（n+1）

=lx—X—X...X------X------=-----------

12n-2n-12

显然对于〃=1也成立，

...｛凡｝的通项公式〃“="（?1）;

【小问2详解】

，=^=2仕」

an+\nn+\

cosA_sin2B

18.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

14-sinA1+cos2B

2万

（1）若。=丝，求3；

3

（2）求二:"的最小值.

【答案】（1）一;

6

⑵4及一5・

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将c°sA=化成

1+sinA1+cos28

cos（A+fi）=sinB,再结合0<3<曰，即可求出;

IT7E/72-kh2

（2）由（1）知，C=—+8,4=——26,再利用正弦定理以及二倍角公式将化成

22c2

,2

4cos23+--——5,然后利用基本不等式即可解出.

cos-3

【小问1详解】

cosAsin252sinBcosBsinB

因为,即

1+sinA1+cos282cos2BcosB

sinB-cosAcos8-sinAsin8=cos(A+B)=-cos。=；，

而0<3<色，所以B=2；

26

【小问2详解】

7171

由(1)知，sinB=—cosC>0,所以一<。<兀,0<3<一,

22

而sinB=-cosC=sinC--,

所以C=]+3,即有A=^—2B,所以B£^0,—J,CG

所以=sin"：sin*=cos?23+Jcos?B

c1sin2Ccos2B

(2cos28—I)?4-1-cos2B

=4cos2B+—4——5N2际-5=4及-5•

cos2Bcos-8

当且仅当cos?B=乎时取等号，所以）:的最小值为40—5.

19.如图，直三棱柱ABC—45G的体积为4,ARC的面积为2夜.

（1）求A到平面ABC的距离；

（2）设。为AC的中点，AA=AB,平面ABC_L平面ABgA,求二面角A—8D—C的正弦值.

【答案】（1）0

⑵—

2

【解析】

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得BC_L平面建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【小问1详解】

在直三棱柱ABC—44G中，设点A到平面\BC的距离为h,

则匕-ABC=§SA8C.h=3h.=匕…BC=]SA8C'AA=§匕8C-AMG—§

解得/?=友，

所以点A到平面ABC距离为血；

【小问2详解】

取AB的中点£连接AE,如图，因为AA=A8,所以AE_LAB,

又平面ABC_L平面AB4A,平面ABC'平面

且AEU平面ABBIA，所以AEJ_平面ABC,

在直三棱柱ABC—4与G中，8片J.平面ABC,

由3。u平面ABC,3。＜=平面43。可得4£，8。，BB,1BC,

又AE,B旦u平面AB与4且相交，所以BCJ_平面AB4A,

所以BC,BA,B片两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得AE=应，所以AA=AB=2,仲=2板,所以8C=2,

则A（0,2,0）,4（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以A。的中点，

则由）=（1,1,1）,A4=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

m-BD=x+y+z=0

设平面ABD的一个法向量相=(x,y,z),则4

m-BA=2y=0

可取加=(1,0,-1),

n•BD=〃+/?+c=0

设平面BDC的一个法向量〃=.,反c),则《

n•BC=2。=0

可取7=(0』,—1),

贝…/，〃\"m即-n=不环1=子1

73

所以二面角A-BD-C的正弦值为，1—

2

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两

类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机

调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该

疾病乐P(B\A)与品P(总B\的A)比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标

为R

P(A8)

(i)证明:

(ii)利用该调查数据，给出P(A|8),P(A|西的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.

〃

附K2(ad-be)?

(a+b\c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)R=6；

【解析】

【分析】(1)由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为

患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；

(ii)根据(i)结合已知数据求R.

【小问1详解】

出口如小一^ad-bc)1_200(40X90—60X10)2

田O矢口A.———,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又P(K?26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

【小问2详解】

⑴因为心吗a•迪&尸(硒P(A)

P(B|A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以人3.3.回

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以R=.四国,

P(A\B)P(A\B)

(ii)

由已知P(A|8)=型，P(A|B)=—,

100100

-60——90

又P(A|B)=——，P(A|B)=—,

100100

P(A|B)P(A\B)A

所以R=--=----------=—=Q

P(A|B)P(A\B)

21.已知点A(2,l)在双曲线C：1—_=1(«>1)±,直线/交C于尸，Q两点，直线AP,AQ的斜率

a-Q~_1

之和为0.

(I)求/的斜率;

(2)若tan/PAQ=2jI,求△P4Q的面积.

【答案】(1)-1；

(2)1672

9

【解析】

【分析】(1)由点42,1)在双曲线上可求出“，易知直线/的斜率存在，设/:丁="+加，

。(西,乂)，。(心斗)，再根据kAP+砥°=0，即可解出/的斜率；

(2)根据直线ARAQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，根据tan/PAQ=2也即可求

出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的

方程以及尸。的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出盘2的面积.

【小问1详解】

V2V241

因为点A(2,l)在双曲线。：之——2_=1(^＞1)±,所以=一一--=1,解得力=2,即双曲线

a-a-Iaa-\

易知直线/的斜率存在，设/：丁=履+〃?，。(与％)，

y=kx+m

联立＜/2可得，(1一242卜2一4〃血•一2加-2=0,

.万一y=1

所以，西+/=—^^,中2="必，4=16〃二一4（2加2+2）（2公-1）＞0=/一1+2公＞0

2k—12k—1

且人±乎.

所以由Z“+MQ=0可得,三+壮。,

即（%1-2）（Ax2+m-l）+（x2-2）（Axj+m-l）=0,

即2kxix?+（m-l-2Z:）（x14-x2）-4（m-l）=0,

ll……2m2+2/1八,/4mk、4/八八

所以2"X^TT+（'"一一2"）［一^711一4（根一）二°，

化简得，8攵2+4攵-4+4〃?（左+1）=0,即（攵+1）（2左一1+/〃）=。，

所以攵=-1或加=1一2%，

当机=1一2左时，直线/:丁=日+加=左（兀-2）+1过点A（2,l）,与题意不符，舍去，

故A=-1.

【小问2详解】

［方法一］：【最优解】常规转化

不妨设直线PAAQ的倾斜角为因为£„>+阳°=。，所以。+£=兀，由(1)知,

2

xix2=2m+2>0,

当A8均在双曲线左支时，NPAQ=2a,所以tan2a=2J5,

即&tan?a+tana—0=0，解得tana（负值舍去）

此时力与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当A3均在双曲线右支时，

因为tanNPAQ=2j5,所以tan(/7-a)=2夜，即tan2a=一2夜，

即VStan。a-tana-0=0，解得tana=血（负值舍去）,

于是，直线24:了=夜(%—2)+1,直线PB:y=—夜(x—2)+1,

>=凤-2)+1

联立《炉,可得，-X2+2(V2-4)X+10-4V2=0,

-----y=12

127

因为方程有一个根为2,所以号=10_；立,%=."二5,

同理可得，qJO+y,yQ=~4于5

5I।162+1—1―

所以尸。：x+y——=0,|尸。|=二，点A到直线PQ的