（教师用书）高考数学大一轮复习（选修45）.doc

选修45不等式选讲 第一节绝对值不等式考情展望1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，br)；|ab|ac|cb|(a，br).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxr|x0r(2)|axb|c、|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考向一绝对值三角不等式的应用设不等式|x2|a(an*)的解集为a，且a，a.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值【解】(1)a，a，a，且a，因此a，又an*，从而a1.(2)由(1)知，f(x)|x1|x2|，又|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时等号成立故f(x)的最小值为3.规律方法11.本题常见的错误：(1)不能由a，得a；(2)第(2)问中，不能利用绝对值三角不等式进行放缩，这是失分的主要原因2利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件对点训练对任意x，yr，求|x1|x|y1|y1|的最小值【解】x，yr，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|3.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.考向二含绝对值不等式的解法(2014课标全国卷)设函数f(x)|xa|(a0)(1)【证明】f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5，得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5，得0时，x，因此2且1，a2.(2)法一由(1)知f(x)|2x1|，记h(x)f(x)2f|2x1|2|x1|，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.法二记h(x)f(x)2f，则|h(x)|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|1.当且仅当(2x1)(2x2)0时，即x或x1时等号成立，则k1.规律方法31.第(2)问求解的关键是转化为求的最大值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)2将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向对点训练已知函数f(x)|x3|2，g(x)|x1|4.(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；(2)若不等式f(x)g(x)m1对任意xr恒成立，求实数m的最大值【解】(1)依题意，f(x)1，即|x3|3.3x33，0x6，因此实数x的取值范围是0,6(2)f(x)g(x)|x3|x1|6|(x3)(x1)|62，f(x)g(x)的最小值为2，要使f(x)g(x)m1的解集为r.应有m12，m3，故实数m的最大值是3.课时检测绝对值不等式(建议用时：45分钟)1解下列不等式：(1)|2x1|2|x1|0；(2)|x2|1|1.【解】(1)原不等式化为|2x1|2|x1|，两边平方，化简得4x148x，解之得x.原不等式的解集.(2)由|x2|1|1，得1|x2|11，即0|x2|2，2x22,0x4.原不等式的解集为x|0x42若关于x的不等式|x1|x3|a的解集是r，求实数a的取值范围【解】(1)当a0时，由于|x1|x3|(x1)(x3)|4恒成立若使原不等式的解集为r，只需a4，则0，a2.综合(1)、(2)知，实数a的取值范围是(，0)23设f(x)|x2|x，g(x)|x1|，解不等式g(x)f(x)【解】由g(x)f(x)，得|x1|0，(*)当x1时，(*)式化为(2x)(x1)x0，3x1.当1x0，1x0，则x3.综合(1)、(2)、(3)，原不等式的解集为x|3x34设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值【解】(1)当a1时，f(x)3x2化为|x1|2，x3或x1.所以f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)f(x)0|xa|3x0.(*)不等式(*)化为或由于a0，不等式组的解集为.依题意，得1，故a2.5(2014重庆高考改编)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围【解】设f(x)|2x1|x2|，则f(x)当x5；当2x；当x时，f(x).因此f(x)的最小值为，于是原不等式对xr恒成立，则a22，解之得1a.故实数a的取值范围为.6已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围【解】(1)由f(x)3，得|xa|3.解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，g(x)的最小值为5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m对xr恒成立，知实数m的取值范围是(，57(2015大连模拟)设函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若不等式|ab|ab|a|f(x)(a0，ar，br)恒成立，求实数x的范围【解】(1)f(x)不等式f(x)3的解集为0,3(2)因为|ab|ab|2|a|，得2|a|a|f(x)，由a0，得2f(x)，即|x1|x2|2.解得x或x.实数x的取值范围是x或x.8(2015郑州质检)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围【解】(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值【解】(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值定理3：如果a，b，c为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立一般形式的算术几何平均值不等式：如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2比较法(1)比差法的依据是：ab0ab.步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号(2)比商法：若b0，欲证ab，只需证1.3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立4几个重要的不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立(2)定理2(柯西不等式的向量形式)：设，是两个向量，则|，当或是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)定理3(二维形式的三角不等式)：设x1，y1，x2，y2r，那么.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0或存在一个数k，使aikbi(i1,2，n)时，等号成立.考向一比较法证明不等式已知a0，b0，求证：.【解】法一()0，.法二由于111.又a0，b0，0.规律方法11.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1(b0)2作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号对点训练求证：(1)当xr时，12x42x3x2；(2)当a，b(0，)时，aabb(ab).【证明】(1)(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)20，12x42x3x2.(2) ，当ab时，1；当ab0时，1，0，1；当ba0时，01，1.aabb(ab) .考向二综合法证明不等式(2013课标全国卷)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.【证明】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.规律方法21.综合法证明的逻辑关系是：ab1b2bnb(a为已知条件或数学定义、定理、公理，b为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”2综合法证明不等式，利用已证的不等式为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式对点训练(2014江苏高考)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.【证明】因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.考向三分析法证明不等式(2015郑州质检)若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y远离m.(1) 若x21比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3b3比a2bab2远离2ab.【解】(1)由题意知|x210|10|，即|x21|1，所以x211或x211，解得x或x，所以x的取值范围是x|x或x(2)要证明a3b3比a2bab2远离2ab，即证|a3b32ab|a2bab22ab|，因为ab，故a2bab222ab，a3b322ab.所以只需证a3b32aba2bab22ab.即证明a3b3(a2bab2)0，化简得(ab)2(ab)0显然成立，所以a3b3比a2bab2远离2ab.规律方法31.(1)善于把“新概念”，“新运算”转化为我们熟悉的“旧概念”、“旧运算”，并严格按照规定进行操作(2)第(2)问证明关键有两点：将结论转化为证明绝对值不等式；抓住基本不等式，巧妙去绝对值符号2分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：.对点训练已知a0，求证： a2.【证明】要证原不等式，只需证 2a，a0，两边均大于零因此只需证a244a2222，只需证2 ，只需证2a22，即证a22，又a22显然成立，原不等式成立考向四柯西不等式的应用(2014福建高考)已知定义在r上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.【解】(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.规律方法41.第(1)问活用绝对值不等式的性质，回避分类讨论，优化解题过程2第(2)问构造两个数组，使之与柯西不等式有相似的结论，从而利用柯西不等式给出证明当然本题亦可利用基本不等式放缩将条件平方转化证明，请读者完成对点训练已知a，b，cr，且a2b3c6，求a24b29c2的最小值【解】由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，a24b29c212，(*)又a2b3c6，当且仅当，即a2，b1，c时，(*)式取等号从而a24b29c2的最小值为12.课时检测不等式的证明(建议用时：45分钟)1(2015太原调研)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，求(ambn)(bman)的最小值【解】a，b，m，n为正数，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，当且仅当mn时，取“”故(ambn)(bman)的最小值为2.2设a0，b0，ab1，求证：8.【证明】a0，b0，ab1，2ab1.因此，4.则(ab)2248.故8成立3(2014陕西高考改编)设a，b，m，nr，且a2b25，manb5，求的最小值【解】由柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25.当且仅当时，等号成立，故的最小值为.4设不等式|2x1|1的解集为m.(1)求集合m；(2)若a，bm，试比较ab1与ab的大小【解】(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以mx|0x1(2)由(1)知a，bm可知0a1,0b0.故ab1ab.5已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立【证明】因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立；当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立因此当且仅当abc3时，原式等号成立6(20