（应用数学专业论文）基于稀疏规则库下的模糊插值控制及其应用研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 针对稀疏规则库下的模糊插值控制问题，本文在前人研究的基础上，突 破了传统模糊推理方法c r i 的缺陷，简化了已有模糊插值控制的控制步骤。 在被控对象模型未知的情况下，本文将多重模糊稀疏规则库下的线性插值推 理方法和样条插值函数应用到稀疏规则库下的模糊控制器的设计中。根据已 有规则和线性插值推理方法，在同一单调区间内建立新的规则，得到完备的 模糊规则库，使其满足各种模糊控制算法的控制输入要求。 本文给出的线性插值推理方法，是建立完备模糊规则库的有效途径，然 后在已得到的完备的模糊规则库上建立一个从控制输入到控制输出的近似控 制函数，按照该控制函数，可以轻易计算得到对应于任意控制输入的控制输 出值。由于l a g r a n g e 插值和n e w t o n 插值等分段低次插值方法存在不光滑现 象，而高次插值方法又存在龙格现象，故本文选用插值次数低而光滑性好的 样条插值函数，得到了具有更高逼近精度的模糊系统。 最后；为了验证上述思想的可行性和方法的可操作性，选取具有稀疏规 则库的汽车半主动悬架系统，利用m a t l a b 语言依次按照线性插值推理方法和 二元双三次样条插值模糊控制算法编程计算得到了半主动悬架系统的稠密完 备的模糊规则库，取得了在特殊路面激励下的仿真运动曲线，与常规模糊控 制方法比较，各项性能均得到了明显改善，说明了上述思想和方法具有很好 的应用前景。 关键词：插值推理；稀疏规则；样条插值函数；半主动悬架；仿真 西南交通大学硕士研究生学位论文第1i 页 a b s tr a c t f u z z yi n t e r p o l a t i v ec o n t r o lb a s e do ns p a r s er u l e si sv e r yi n t e r e s t i n g s o m e w o r k sh a v eb e e nm a d et ob r e a kt h r o u g ht h es h o r t c o m i n go ft h et r a d i t i o n a lf u z z y r e a s o n i n gm e t h o do fc r i ，a n ds o m es t e p so ft h ec o n v e n t i o n a lf u z z yi n t e r p o l a t i v e c o n t r o la l g o r i t h mh a v eb e e nd e l e t e di nt h i sp a p e r c h a r g e dw i t ho b j e c tm o d e l u n k n o w nc i r c u m s t a n c e s ，al i n e a r i n t e r p o l a t i v er e a s o n i n ga p p r o a c h u n d e r m u l t i d i m e n s i o n a lf u z z ys p a r s er u l e sa n dc u b i cs p l i n ef u n c t i o nw e r ea p p l i e dt o d e s i g nt h ef u z z yc o n t r o l l e rf o rs p a r s er u l e s a c c o r d i n gt ot h eo r i g i n a lr u l e sa n d t h e l i n e a ri n t e r p o l a t i v er e a s o n i n ga p p r o a c h ，t ob u i l dn e wr u l e sa tt h es a m em o n o t o n e i n t e r v a l ，a n dr e c e i v e dc o m p l e t e sf u z z yr u l e s ，w h i c hi ss a t i s f i e dt h er e q u i r e m e n to f t h ec o n t r o li n p u tf o re v e r yf u z z yc o n t r o la l g o r i t h m t h el i n e a ri n t e r p o l a t i v er e a s o n i n ga p p r o a c hi sa ne f f e c t i v ew a yt or e c e i v e c o m p l e t e sf u z z yr u l e s t h e na l la p p r o x i m a t ec o n t r o lf u n c t i o nw a se s t a b l i s h e d f r o mc o n t r o li n p u tt oc o n t r o lo u t p u tu n d e rt h ec o m p l e t e sf u z z yr u l e s t h ec o n t r o l f u n c t i o nw a su s e dt oc a l c u l a t et h eo u t p u ti nr e s p o n s et ot h ee v e r yc o n t r o li n p u t b e c a u s et h ep i e c e w i s el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o na n dt h e p i e c e w i s en e w t o n i n t e r p o l a t i o nh a v et h en o n s m o o t hp h e n o m e n o n ，a n dt h eh i g ho r d e ri n t e r p o l a t i o n s h a v et h er u n g ep h e n o m e n o n ，s ot h ec u b i cs p l i n ef u n c t i o nw a sp u tf o r w a r dt o s t r u c t u r et h ea p p r o x i m a t ec o n t r o lf u n c t i o n ，w h i c hh a sl o wd e g r e ea n dg o o d s m o o t h n e s s t h a ti sa ni m p o r t a n ts t e pi nh i g hp r e c i s i o nt or e c e i v eah i g h e r a c c u r a c yo ff u z z ys y s t e m s a tl a s t ，i no r d e rt o v e r i f yt h ef e a s i b i l i t yo ft h e a b o v et h o u g h ta n dt h e o p e r a b i l i t yo ft h ea b o v em e t h o d s ，t os e l e c tt h ea u t o m o t i v es e m i a c t i v es u s p e n s i o n s y s t e m , o fw h i c hh a ss p a r s er u l e s ，a n du s e dt h em a t l a bp r o g r a m m i n gt oc a l c u l a t e t h er e s u l t u n d e rt h ec o m p l e t e sf u z z yr u l e s ，t h es i m u l a t i o no ff u z z yi n t e r p o l a t i v e c o n t r o l l e rb a s e do nc u b i cs p l i n ef u n c t i o nf o rt h es p e c i a lr o a de x c i t a t i o ni sb e t t e r 西南交通大学硕士研究生学位论文第l ii 页 t h a nt h ec o n v e n t i o n a lf u z z yc o n t r o lm e t h o d s t h a ts h o w st h ea b o v et h o u g h ta n d m e t h o dh a v eag o o da p p l i c a t i o np r o s p e c t k e y w o r d s ：i n t e r p o l a t i v er e a s o n i n g ；s p m s 。r u l e s ；c u b i cs p l i n ef u n c t i o n ； s e m i a c t i v es u s p e n s i o n ；s i m u l a t i o n 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本文主要创新点：在多重稀疏规则库下，本文给出了一种可以保证还原 性和推理结论模糊集正规凸性的的线性插值推理方法，将稀疏规则库扩充为 完备模糊规则库，满足各种模糊控制算法的输入要求；本文结合样条插值分 别建立了一元三次和二元双三次样条插值模糊控制算法，避免了隶属函数图 形调整问题，并且从理论与仿真两方面验证了方法的合理性与有效性；最后 本文将二元双三次样条插值模糊控制算法应用于汽车半主动悬架系统的控 制，从仿真上表明了该方法对实际控制器的设计具有很好的借鉴意义。 雨家劾 ， 口c l、z 弓 j 西南交通大学曲南父逋大字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密回，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：舶安扎 指导老师签名： 日期： - i , , - c i i 弓 日期： 乞。参p 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 模糊系统基础知识 德国近代数学家c a n t o r 创立的经典集合论是经典数学的基础，它建立 了“非此即彼”的经典数理逻辑，即在经典逻辑中，命题只能为真或只能为 假。这极大限制了我们对真实世界的描述。随着科学研究的不断深入，研究 的被控对象越来越复杂，非线性因素和不确定因素不断加入，相反对控制精 度的要求却相应的越来越高，面对以上矛盾，迫切需要对经典集合论进行推 广，以便于描述模型建立过程中出现的模糊性。 模糊理论是由美国著名控制论专家l o t f ia z a d e h 于1 9 6 5 年在名为“模 糊集合”的开创性论文中创立的。他定义了模糊逻辑，允许一个命题的真 值为区间 0 ，1 】上的任意值，从而突破了经典集合论中属于与不属于的绝对关 系。z a d e h 教授在这一领域的开创性工作，标志着数学的一个新的分支 模糊数学的诞生，它给出了对模糊现象进行定量评价的标准，极大拓宽了我 们解决问题的思路。 1 2 模糊系统与模糊控制 模糊系统是一个被精确定义的系统，模糊控制也是一种被精确定义的特 殊的非线性控制晗1 。所谓精确定义就体现在作为模糊控制的核心的模糊推理 上，而模糊推理是建立在模糊规则库基础上的。作为规则库细胞的每条规则 建立了从控制输入到控制输出的映射关系。当给定的输入事实恰好与某条规 则前件重合，并且来源于专家的控制经验和知识是精确的时候，那么毫无疑 问，输出结论就自然与该条规则的结论重合并且是精确的。而模糊控制又不 完全是精确的，这源于我们所选择的隶属函数的形状和所掌握的专家经验的 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 精确程度，但无论如何在任何条件下都不能达到百分之百的精确，但却可以 尽量缩小误差。 模糊系统和模糊控制的出发点是模糊规则库，落脚点是如何将输入事实 与已知规则库用一种算法结合在一起，使得输出结论在满足性能指标情况下 达到某种折中意义下的p a r e t o 最优1 。目前，我们最常用的是由z a d e h 教授 于1 9 7 3 年提出的推理合成规则方法( c o m p o s i t i o n a lm l eo fi n f e r e n c e ) ，简称为 c r 方法：假设彳是u 上的一个模糊集合，对于单输入单输出系统有 条“i f xi sa lt h e n yi sb i 规则的模糊规则库可以表示为【，xv 中的一个模糊关系q ， 那么输出结论模糊集口的隶属度可以写成q = l ，2 ，聆) 鳓。( y ) = s u p t b 爿( x ) ，心( x ，少) ( 1 - 1 ) 根据模糊规则库构造u v 中的模糊关系q 的不同心1 ，以及规则之间的 合成运算的差别，可以得到不同的合成推理方法( c g o ：z a d e h 型合成推理方 法、m a m d a n i 型合成推理方法、m i z u m o t o 型合成推理方法等。 文献【2 】和文献 4 】指出常见的z a d e h 型合成推理方法( c r i ) 不满足还原 性，因为当输入事实与已知规则前件重合时，输出结论不一定与该条规则的 结论重合，而m a m d a n i 型合成推理方法满足还原性，由此不难推知m a m d a n i 型模糊控制器在模糊系统与模糊控制中被广泛使用的原因。 1 2 1m a m d a ni 型模糊控制 m a m d a n i 于1 9 7 4 年首次提出f u z z y 逻辑控制，并给出一种基于c r i 方 案的f u z z y 控制算法，被称为m a m d a n i 型控制算法，至今仍是一种被广泛使 用的有效算法。假设模糊规则库只有一条规则“i f xi sat h e n yi sb ”，输入事 实为【，上的模糊集a ，m a m d a n i 提出的两种模糊蕴涵关系q 删或q 御的隶 属函数分别表示为 ( x ，y ) = m i n b 一( x ) ，儿( y ) 】 ( 1 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 ( x ，少) = 心( x ) 心( y ) ( 1 3 ) 当彳利时，取卜范数为最小算子，心_ 口( 工，y ) 用口埘( x ，y ) 代替，得输 出结论模糊集b 的隶属度为 心( y ) ：s u ，p ， m i n 【以( x ) ，- - 詹( 、y 1 1 j ：“，、( 心( x ) ) 铂( y ) o 。4 2 s u p i ，| ij j2 雪ij 砌( 曲s 砌( j ，) 、 当4 利时，取扣范数为最小算子，心一口( 工，y ) 用( x ，y ) 代替，得输 出结论模糊集b 的隶属度为 心( y ) = s u p m i n 儿( x ) ，心( x ) 儿( y ) 】) = s u p l u 彳( x ) 地( y ) 】 ( 1 - 5 ) = l 口( y ) 从算法的还原性角度来讲，m a m d a n i 型模糊控制算法是一种有效算法。 但从实际应用中遇到的控制响应时间、调整时间、控制精度等方面来看该算 法还有很多工作需要改进，为此有必要从其他角度来重新进行思考。 1 2 2 模糊插值推理与模糊插值控制 尽管常规模糊控制算法在很多方面发挥了巨大作用，但是它们在处理控 制问题时存在一个致命的缺陷，就是只能处理模糊规则库是稠密完备的情况， 一旦遇到模糊规则库是几乎处处稀疏的情况，而输入事实又恰好落在稀疏规 则之间的“空隙”时，则得不到任何有意义的推理结果1 。 所谓完备的模糊规则库通常是指满足如下条件： 第一，隶属函数必须是正规凸模糊集； 第二，对于每个输入事实，在模糊规则库中都至少存在一条规则做出响 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 应，使其隶属度不为0 。 得到完备的模糊规则库是实现模糊控制的前提条件，随着我们处理系统 的复杂程度的加大，在很多时候，我们获得的专家知识和控制经验是不充足 的，或者在有些时候，为了简化模糊规则库，可能会人为的减少规则数，这 些都会导致最后的模糊规则库是稀疏的。对此，许多学者涉足于稀疏规则情 况下的插值推理方法的研究，运用数学的插值方法由已知规则得到以输入事 实作为前件的未知规则，进而得到所需要的推理结果。 文献 6 】指出从某种意义上讲，模糊控制器就是一种插值器。模糊插值控 制是紧随模糊插值推理应运而生的，当我们能够使用模糊插值推理方法对模 糊规则库进行扩充完备的时候，自然可以由某种插值方法实现由控制输入到 控制输出的插值运算。 1 3 模糊插值推理与控制的国内外发展现状 当1 9 7 4 年，m a m d a n i 和a s s i l i a n e j 建了模糊控制器的基本框架，并将模糊 控制器应用于蒸汽机控制的时候，模糊理论的研究思路变的日益清晰。国外学 者l t k 6 c z y s d k h i r o t a 于1 9 9 3 年率先提出了模糊插值推理理论h 1 。但后来经 过石岩等人验证发现l ( h 法存在缺陷：它不能保证前件是正规凸模糊集的前提 下推理结论一定是正规凸模糊集，于是石岩等人给出了两个确保结论模糊集 是三角形隶属函数的推理条件阳1 。为了保证推理的合理性，国外学者主要基于 相似性在已知规则的前提下，推出过渡规则，当输入事实与过渡规则的前件越 相似，则输出结论就与过渡规则的结论越相似阳10 | ，在具体操作上，有学者从模 糊集的重心出发n ，有人从模糊集的核集出发n 羽，有人从模糊拉格朗日插值推 理方法着手n 引，有人逐渐涉猎多变量规则的处理n 4 1 。 但存在以下问题：计算复杂，很难保证推理的实时性；未曾涉及更加复杂 的多重多输入多输出稀疏规则库的插值推理；尽管已经产生了众多的插值推 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 理方法，但把插值推理理论运用于实际模糊控制器的设计的相关文献还很少。 由于有很多学者认为涉及三次样条插值函数的方程求解困难，而舍弃它，从 而忽略了它处理插值问题所具有的光滑性、连续性等优点。 国内相关研究可以说与世界同步。北京师范大学的李洪兴教授在文献 6 中指出：模糊控制器本质上是插值器。他把模糊控制器的设计与插值理论结合 到了一起，但他所研究涉及的模糊规则库同样是稠密完备的情况。结合国外研 究稀疏规则库插值推理的热潮，国内许多学者也纷纷提出了自己的相关研究。 王天江等给出了综合考虑两条规则之间的关系，以输入事实所围成的面积与 规则前件所围成的面积的比例，以及它们的重心的水平距离的比例关系为插 值依据的相似插值理论n 豇1 6 】；王宝文等则提出了基于模糊集之间的相似关系 的可以解决多重多输入多输出的稀疏规则库的插值推理方法，但经过实例验 证却不满足还原性n 引；张华等人对z h i h e n gh u a n g 和q i a n gs h e n 提出的基于 重心的模糊插值推理算法进行了改进，使其不仅适用于三角形隶属函数，而且 也适用于梯形隶属函数n 钉；丁承君等人给出了基于线性插值的模糊控制方法， 该算法很好的解决了传统模糊控制的不足，清除了传统模糊控制的继电器特 性，解决了控制规则数与实时性之间的矛盾n 射。 在众多的研究面前，我们欣慰于插值理论的不断完善和改进，同时仍然 要看到以下问题需要继续进行深入研究：在保证推理算法还原性和推理结论 模糊集正规凸性的前提下，进行算法的简单化改进和能够处理复杂的稀疏规 则库能力的提升；对稀疏规则库进行插值推理的扩充完备，建立基于多元样条 插值的模糊控制器，将几者结合进行模糊控制的仿真实验等。 1 4 本文研究的主要内容及论文结构 本文所研究的稀疏规则库下的模糊插值控制，就是在有限的专家经验的 基础上试图寻找一种线性插值推理方法，努力以较高的精度来扩容已有规则 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 库使之形成完备的规则库，建立基于样条插值的模糊控制算法，给出从控制 输入到控制输出的一种映射关系，实现一种优于常规模糊控制效果的模糊控 制。为此，本文研究的主要内容如下： ( 1 ) 对多重模糊稀疏规则库下的线性插值推理方法的研究 b a o w e nw a n g 等人在文献 1 2 】中提出了基于模糊集元相似度可以解决多 重模糊稀疏规则库下插值推理问题的方法，但经过验证发现，该算法不满足 还原性。本文将对该方法进行改进，使得改进后的方法不仅可以保证推理结 论模糊集的正规凸性，而且满足算法的还原性，此外计算简便。 ( 2 ) 对基于样条插值的模糊控制算法的研究 当规则库满足完备规则库的标准时，就可以使用常规模糊控制算法进行 控制。由于插值算法可以对已有规则进行不断细化，使得控制效果更优。李 洪兴教授使用的插值方法是拉格朗日插值法，文献 1 9 】给出了基于牛顿插值 算法的模糊控制器，文献 2 0 还给出了基于泰勒插值和矩形域上曲面磨光插 值的控制算法。尽管上述方法使得控制精度得到很大改善，但存在以下缺陷： 要么完全依赖于所选择的模糊集隶属函数的形状，要么只能近似还原模糊集 的峰点值。本文给出一种只依赖完备规则库中的所有输入输出数据对，直接 建立从控制输入到控制输出的映射关系，给定一个输入值，经过该模糊控制 器的计算就可以得到比较满意的控制输出值，使得被控系统以尽可能小的误 差来跟踪参考输入。 ( 3 ) 上述两种方法在半主动悬架控制中的应用 人们对半主动悬架的控制经验是有限的，所形成的模糊规则库必然是稀 疏的。为了验证上述两种方法的有效性，依次使用线性插值推理方法对其规 则库进行扩充，达到稠密完备标准后，就从完备后的规则库中提取所有的输 入输出数据对，把所有的输入输出数据对送入到模糊插值控制算法中得到半 主动悬架的模糊插值控制器，实现对它的控制。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 根据本文所研究内容的特点，本文拟采用理论与实际相结合的研究方 法。在理论分析方面主要利用数学知识进行推导证明、实例验证等；在实际 应用方面首先实现对具有传递函数表达式的未知系统的仿真实验，验证上述 方法的有效性；然后再把上述理论应用到一个实际系统汽车半主动悬架 中，以说明上述理论具有很好的应用前景。 本文各章节组织结构如下： 第1 章为绪论，主要介绍课题的研究背景、与课题相关的基础知识、国 内外研究现状以及本课题的研究内容和研究方法等； 第2 章主要基于推理算法的还原性和模糊集的正规凸性，提出了一种可 以处理多重模糊稀疏规则库扩充完备问题的线性插值推理方法； 第3 章是本文的主要研究内容之一，在使用第2 章给出的线性插值推理 方法对稀疏规则库扩充完备后，建立一种直接使用输入输出数据对来得到一 种基于样条插值的模糊控制算法，以便于解决多输入单输出系统的高精度控 制问题； 第4 章是本文的另一个研究重点，结合线性插值推理方法和基于样条插 值的模糊控制算法来解决具有稀疏规则库的汽车半主动悬架的控制问题，用 实际系统的控制效果来验证说明上述方法的正确性和可行性。 最后，对全文进行总结，并对进一步工作进行了展望。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第2 章多重模糊稀疏规则库下的线性插值推理方法 1 9 8 2 年，m m i z u m o t o 和h j z i m m e n r m a n n 用“西红柿问题为例首先 提出了稀疏规则库的概念，即当规则库中的规则前件不能完全覆盖输入空间 中的任意一个输入事实时，就称该规则库为稀疏库，换言之，凡是不满足完 备规则库标准的规则库均为稀疏规则库。当输入事实恰好落在稀疏规则库的 相邻两个规则之间的“空隙 时，采用常规的任何种c r i 方法都得不到任 何有效推理结果。为了解决在这样情况下推理失效的尴尬，k 6 c z y 和h i r o t a 在1 9 9 3 年首先提出了k h 线性插值推理方法，开辟了由已知规则来推知未知 规则的先河。不久，就有众多学者开始涉足于稀疏规则库的插值推理方法的 研究。 b a o w e nw a n g 和q i n g d az h a n g 等人根据模糊集相似关系给出了一种新 的可以利用模糊集核集的方法，以求处理多重模糊稀疏规则库下的插值推理 问题，但是经过检验发现当输入的观测值与已知规则的前件重合时，却没有 得到相应规则的结论，显然该算法不满足还原性。本章拟从映射角度来诠释 模糊推理前件和结论模糊集之间存在的对应关系，并结合模糊集的位置和几 何形状给出一种可以解决多重稀疏规则库问题的线性插值推理方法，以求保 证推理结论的合理性、还原性和模糊集的正规凸性。 2 1 多重模糊稀疏规则库下的线性插值推理 为了较确切的研究多重模糊稀疏规则库下的线性插值推理，下面首先给 出关于稀疏规则和稀疏规则库的描述。 2 1 1 稀疏规则库 1 9 8 2 年，m m i z u m o t o 和h - j z i m m e n r m a n n 用“西红柿问题”为例首次 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 提出了稀疏规则库的存在，如图2 1 所示。图2 1 ( 表示输入变量模糊集的 隶属函数，图2 1 ( 6 ) 表示输出变量模糊集的隶属函数，图中横坐标表示输入 变量或输出变量的论域，纵坐标表示输入变量或输出变量的隶属度。 “西红柿问题 的推理描述如下： 规则1 ：如果西红柿是红色的，那么西红柿是熟的； 规则2 ：如果西红柿是绿色的，那么西红柿是生的； 输入事实：某个西红柿是黄色的 问推理结论是什么( 即这个西红柿的成熟状态是怎样的) ? ( 口) 输入变量缃隶属函数 图2 1 西红柿问题 按照常识，推理结论应该是“西红柿是半熟的 ，但是按照传统的任意 一种c r i 算法一般都得不到任何有意义的推理结果，原因是“西红柿问题 的规则库是稀疏的，没有一条规则的前件可以覆盖该输入事实。 2 1 2 多重模糊稀疏规则库下线性插值推理的基本概念 多重模糊稀疏规则库下的线性插值推理涉及到的基本概念主要如下 【7 】【2 l 】【2 2 】 2 3 】： 西南交通大学硕士研究生学位论文第10 页 注：本文以下出现的论域若无特殊说明均假定为实数区间。 定义2 1 假设a 是论域x 上的任意一个模糊集，对于隶属函数( x ) ， v a x b ，若条件心( x ) m i n ( 心( 口) ，心( 6 ) ) 成立，则称模糊集a 是凸的 ( 口，x ，b x ) 。 定义2 2 设4 是论域x 上的模糊集，记k e r ( a ) = x u 爿g ) = 1 ) ，称k e ，一口) 是模糊集么的核集。假设a 是论域x 上的任意一个模糊集，若存在某个洳， 使得心( x o ) = 1 ，则称该模糊集是正规的。 定义2 3 假定么l 和么2 是论域x 上的任意两个模糊集，称么1 小于么2 ， 记作a l a 2 ，若v 口l o ，l i ，满足下面两个条件： ( 1 ) i n f 4 口) i n f a 2 口) ： ( 2 ) s u p a t a ) s u p a 2 口) ； 其中，4 口和4 口分别是么l 和a 2 的口截集，i n f x i 口) 是4 口的下确界， s u p a 。) 是4 。的上确界，卢1 ，2 。 定义2 4 假定泸以= o - ei i = l 2 ，k ) 为模糊规则库，么f 为第i 条规则的 前件，局为第i 条规则的结论，若规则前件之间出现了空隙，则称规则库u 是稀疏的，若进一步约定al 叫2 叫i 叫计l ；，i n f ( s u p p 0 2 ) ) ) ； 其中，s u p ( ) 是关于“”的上确界，i n f ( ) 是关于“”的下确界， s u p p ( ) 是“”的支集，是所有在“”上隶属度为非零值的元素集合。 按照定义2 9 ，常见的某一对称区间 一a ，口】上的语言值n b ，n m ，n s ， z e ，p s ，p m ，p b 便可以排序为n b n m n s z e p s p m p b 。 定义2 1 0 称碍( a ，b ) 关于a 为单调增( 减) 的，如果辟( 彳，b ) 关于a 保序( 反保序) ，即v a ，a 。a 有 a 么。耳( 么，b ) 硝( 么。，b ) ( 群( 彳，曰) 硝( 彳，b ) ) ， 同样可规定群( 彳，召) 关于b 的单调增( 减) 性。当碍( 彳，b ) 关于彳和b 均为 单调增( 减) 时，称硝( 么，b ) 为完全增( 减) 的；当硝( 么，b ) 关于a 单调增 ( 减) 而关于b 为单调减( 增) 时，称碍( 么，b ) 为混合单调的2 5 1 。其中 a a ，b b 。 下面即将建立的线性插值推理方法恰好是通过z 来逼近辟，通过z 来 逼近硝，使得 并且满足 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 z + ( 4 ，研) 全g z ( 4 ，巧) 全p 二 z ( 口：，= ( 口：，= 无 在石+ 和作用下得到的吒和p 二的作用域分别见图2 - 2 和图2 - 3 。 易( 岛( 图2 - 2 在石作用下的输出结论模糊集c ：的作用域 吃( 易( 4 ( 4 ) ii 4 ( 4 ) 图2 - 3 在作用下的输出结论模糊集p 二的作用域 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 其中玩，巧，分别是模糊集4 ，研，g ，成的核集的中心， 4 a ，研b ，吒c ，p ：d ，l k m ，1 ，l 。( 2 6 ) 与( 2 - 7 ) 说明，规则前 件模糊集的核集中心与规则后件模糊集的核集中心对应。 本章使用常用的拉格朗日插值方法来求解结论中模糊集c 二的中心。彳 可以视为如下具体映射的一般化。 由糊= 耦m f 为输入事实删数娓互和互分 别是规则1 和规则2 前件的模糊数向量。在上式中分别代入对应的距离表达 式就可以推出以下公式： k c ( g ) g ( g ) 蒜夥彬( ) 存器弘8 ， 上面的公式确定了从f 至：i jk c ( 吒) 的映射关系，k c ( q ) 和k c ( ) 是 已知参数，是自变量，只要f 确定了，映射所对应的函数值k c ( 吒) 就确 定了，并且该映射为线性映射。 由若干组参数建立若干个映射，得到对应的模糊集的中心。模糊集的中 心确定后，模糊集的位置也就确定了，下面对模糊集的形状加以描述。为了 说明问题的简便，本章首先就梯形隶属函数形状的模糊集加以讨论，然后随 即可雷同确定三角形隶属函数形状的模糊集，而具有高斯型隶属函数形状的 模糊集在确定模糊集的中心后可使用本章相同方法来计算求解几何参数o r ， 随即得到结果。 对于具有梯形隶属函数形状的模糊集c 二，首先计算模糊集的中心，然 后确定其核集的宽度w ( 吒) ，第三步分别求解梯形左右两条斜边的斜率，最 后计算得到梯形四个顶点的横坐标。 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 由型点盟：兰【茎：! 鱼! ：竺：! 鱼婆葙型量盟：兰! 竺：! 鱼! ：竺：( 箜丛 d ( f ，e ) d ( k ( c o ) ，k 工( ) ) d ( f ，e ) d ( k r ( 吒) ，k r ( c 二) ) 经过计算化简合并可得到 w ( 巴) = w ( q ) 赢+ w ( 吒) 赢( 2 - 9 ) w ( c ：f ) 和w ( ) 是已知参数，f 是自变量，当f 己知时，上面映射所对 应的函数值w ( g ) 可求解。采用相同方法，可依次求解第三步，得以下两个 公式： 后工( 吒) 甜( g ) 存黑 七r ( 吒) 纠( g ) 矗 ( ) 蔬 彬( ) 最 第四步：具有梯形形状的模糊集g 的四个顶点的横坐标分别为 口( 吒) = 6 ( 吒) 一1 七( q ) 6 ( 巴) = k c ( 吒) 一w ( 吒) 2 c ( c s ) - k c ( 巴) + w ( g ) 2 d ( 巴) = c ( c ；o ) + l k 尺( 吒) ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) 若所有模糊集的形状取为三角形隶属函数，则求解模糊集吒 6 ，c ) 的 公式依次变为 6 ( 吒) = k c ( 吒) 口( 嚷) = 6 ( 吒) 一1 尼( 吒) 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 c ( 吒) = 6 ( 吒) + 1 后只( a ) 输出结论中模糊集p 二可以类似计算得到。 定理2 1 给定一个双输入双输出模糊控制系统，其控制规则如规i ) ! l j ( 2 1 ) 式，a 与b 分别是两个输入变量在各自论域上的模糊划分，并且满足定义2 9 ， 则碍( 彳，b ) 或砖( 彳，b ) 关于么或曰单调增( 减) ，或碍( 彳，曰) 或砭( 彳，b ) 完全 单调增( 减) ，或碍( 么，b ) 或砭( 彳，b ) 混合单调的充要条件是石( 么，b ) 或 片( 彳，b ) 具有相应的单调性。其中a a ，b b 。 证明：现给出碍( 彳，b ) 混合单调的充要条件是石( a ，b ) 也是混合单调的 详细证明过程，其他情形的证明可类似得到。 必要性“ ：设硝( 彳，b ) 关于a 单调增，而关于b 单调减。先来证明 z ( 彳，b ) 关于a 单调增。事实上，彳+ 是建立在( 么，曰) i 专c 的几种线性映射的 综合，它也是一种广义上的线性映射。在证明过程中只考虑模糊集形状是梯 形隶属函数的情形( 其他情形类似) ， v ( a ，占) ，( 彳，曰) ，( 么。，男) ，彳，么，么a ， 彳彳。彳。k c ( 彳) k c ( 彳) k c ( 么。) j 碍( 么，b ) 碍( 么，召) 碍( 彳。，b ) j c c c 。( 碍( 彳，召) = c ，群( 彳，b ) = c 。，耳( 4 。，b ) = c 。) k c ( c ) k c ( c ) k c ( c 。) 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 若规则碍( 么，b ) 和碍( 彳。，b ) 是已知的，而规则群( 彳，b ) 的结论模糊集 c 是未知的，按照处理计算梯形模糊集的公式( 2 8 ) ( 2 1 5 ) ，c 在石作用下是 可以计算的。为了与上面区别，由z 计算得到的c 记为c 厂。 蒜黑+ 石黑乩赢筹印朋。d ( 互，f ) + d ( f ，最) d ( 互，f ) + d ( f ，e )d ( 互，f ) + d ( ，e ) 叶1 叫 k c ( c ) k c ( c ) k c ( c 。) c g - c 。( z ( 彳，曰) = c ，石+ ( 彳，b ) - c , ，石+ ( 彳，占) = c “) 所以彳( a ，b ) 关于as i g n ，同理可证z ( a ，b ) 关于b 单调减。 充分性“仁”：设彳( 彳，b ) 关于么单调增，而关于b 单调减。 v ( 彳，b ) ，( 彳，召) ，( 么。，召) ，彳，彳。，彳。a ，在彳 乍m - f ，使得 z ( 彳，b ) = c ，石( 么，曰) = c ，z ( 4 。，曰) = c 。成立，那么显然规则碍( 彳，b ) ， 碍( 彳。，召) 和辟( 么。，召) 必然经过这些结论模糊集c ，c n c 。再由定义( 2 8 ) n 定义( 2 一l o ) 给出的序关系，易知硝( a ，s ) y e 于a 单调增，而关于b 单调减， 证毕。 定理2 1 揭示了控制规则库与基于多重模糊稀疏规则库的线性插值推理 方法所建立的函数之间的对应关系。 定理2 2 本文设计的多重模糊稀疏规则库下的线性插值推理方法满足 算法还原性。 证明：仅就模糊集形状选择为梯形隶属函数的情形给出证明。假设规则 为形如式( 2 1 ) 的严密规则，输入事实与规则1 前件重合( 输入事实与规则2 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 前件重合的情形可以雷同确定) ，即a k = 4 f ，研= 岛。 首先求解输出结论模糊集c 。， 由于i 再= 。而 西虿= l ，所以把它们代入式( 2 8 ) 可以得到模糊集巴的核集中 心足c ( 吒) = k c ( q ) ，进而把它们代入式( 2 - 9 ) 得w ( 吒) =