（基础数学专业论文）一类reinhardt域上的bergman核函数与陆启铿猜想.pdf

摘要 b e r g m a n 核函数理论在多复变函数论的发展中扮演了 个非常重要的角色 并且对很多相关领域的发展起到了促进作用 比如微分几何 泛函分析 经典位势 理论 函数论等领域 众所周知 有界域都存在b e r g m a a 核函数 但能够显式求出 b e r g m a n 核函数的有界域并不多 所以如何显式求出b e r g m a n 核函数是个很重要 的问题 至今仍吸引着数学家的研究 本文考虑一类r e i n h a r d t 域 其定义如下 h n m l k p 嬉 z 埘 c 时m 0 1 1 2 k o 在本文第二章 我们先利用域h 1 7 n n k p 的完备规范正交系和全纯自同 构群 通过一些特殊的i 函数关系式以及一些计算技巧 得到了域n 1 m 嗡k p 上b e r g m a n 核函数的显表达式 然后 利用膨胀原理 得到域h n m n k p 上 b e r g m a n 核函数的显表达式 这里值得指出的是 由于能显式求出b e r g m a n 核函 数的域的类壁很少 因此 b e r g m a n 核函数能够显式表出的域都是很好的域 是 值得研究的域 陆启铿猜想起源于陆启铿1 9 6 6 年的文章 关于常曲率的k i i h l e r 流形 中所 提出的一个问题 何种类型的域的b e r g m a n 核函数没有零点 1 9 6 9 年 波兰数 学家m s k w a r c z y n s 虹第一个把陆启铿提出的问题称为陆启铿猜想 如果一个域的 b e r g m a n 核函数没有零点 则称这个域为陆启铿域 近年来 对陆启铿猜想的研究 方法基本上都是先求出b e r g m a n 核函数 然后利用各种技巧去判断零点是否存在 在本文中 我们求出了h n m 佗 k p 的b e r g m a n 核函数的显表达式 然后 利用各种技巧 将b e r g m a n 核函数的零点问题转化成了多项式的零点问题 利用 r o u t h h u r w i t z 定理 我们讨论了变量k p 在什么情况下 域h n 1 1 k p h n 1 2 e p 与h n 2 1 k p 为陆启铿域 关键词 r e i n h a r d t 域 b e r g m a n 核函数 陆启铿域 i l 摘要 a b s t r a c t b e r g m a nk e r n e lf u n c t i o ni sv e r yi m p o r t a n ti ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s i t p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y f u n c t i o n a la n 出出 f u n c t i o n a lt h e o r ya n ds 0o n i ti sk n o w nt h a ta l lb o u n d e dd o m a i n si nc h a v eb e r g m a nk e r n e l f u n c t i o n b u ti ti sn o te a s yt oo b t a i ni t s om a n ym a t h e m a t i c i a n si m v eb e e nw o r k i n g o ni t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e ras p e c i a ld o m a i n i t sd e f i n i t i o ni sa sf o l l o w s h n m k p z w c 9 1 1 2 k 0 i nt h es e c o n dp a r t u s i n gt h ec o m p l e t eo r t h o n o r m a ls y s t e ma n dt h eh o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mg r o u po ft h ed o m a i n t h e nt h r o u g hs o m es p e c i a le q u a l i t i e so f rf u n c t i o na n ds o m ec o m p u t a t i o n a ls k i l l s w eo b t a i nt h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n o n 日 1 m 祀 k p t h e nw en s ei n f l a t i o nt h e o r y w eo b t a i nt h eb e r g m a nk e r n e l f u n c t i o no nh n m n k p l uq i k e n gp r o b l e mc o m e so nap r o b l e mi nl u sp a p e r t h ek i h l e rm a n i f o l d s w i t hc o n s t a n tc u r v a t u r e t h a tp r o b l e mi sc a l l e dl uq i k e n gc o n j e c t u r ef i r s t l y i n1 9 6 9b yms k w a r c z y n s k i i ft h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no nad o m m nh a sn o z e r o s t h ed o m a i ni sc a l l e dl uq i k e n gd o m a i n r e c e n t l y i fw ew a n tt or e s e a r c h l uq i k c n gc o n j e c t u r e w em t l s tf i r s t l yo b t a i nt h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no na d o m a i n t h e nu s es o m es p e c i a ls k i l l st oj u d g et h ep r e s e n c eo ra b s e n c eo fz e r o so ft h e b e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n i nt h e p a p e r w ef i r s t l yo b t a i nt h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no nh n m n k p t h e nw et r a n s f o r ml uq i k e n gc o n j e c t u r ei n t oap r o b l e ma b o u tz e r o so fap o l y n o m i a u s i n gr o u t h h u r w i t zt h e o r e m w eg i v es o m er e s u l t sa b o u tt h ep r e s e n c eo ra b s e n c e 摘要i i i o fz e r o so ft h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no n 日 1 l ep 日 1 2 kp a n d h n 2 l k p k e yw o r d s r e i n h a r d td o m a i n b e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n l uq i k e n gd o m a i n 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究工 作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在 文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 张讳 h 期山唧年s 月2 2 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留 使用学位论文的规定 学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅 有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版 保密的 学 讧论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 擞 i 韦 日期 2 q 踊 朔如归 序言 b e r g m a n 核函数的概念是波兰著名数学家s b e r g m a n 于2 0 世纪2 0 年代在研 究平面区域n 上的正交展开时引进的 1 它恰好是平方可积函数空间到平方可积 的全纯函数子空闻的正交射影的再生核 1 9 3 3 年 b e r g m a n 又把这 理论推广到 多变量的情形 b e r g m a n 核函数有着非常丰富的性质 在微分几何 函数空间 积分表示 数 学物理等领域都有重要的应用 例如 我们可以通过b e r g m a n 核函数在有界域上引 进b e r g m a n 度量 判断 个域是否是陆启铿域 常常会用到其b e r g m a n 核函数的 显表达式 6 j 我们已经知道 c l 中的任一有界域 都存在唯一的b e r g m a n 核函 数 但能够显式求出b e r g m a n 核函数的有界域并不多 所以如何显式求出b e r g m a n 核函数是个很重要的问题 至今仍吸引着数学家的研究 由于从k 1 孑 很容易得到 o 0 因而下面我们只考虑k 孑 设如是n 的一个固定点 w f 2 是n 的全纯自同构变换 它把z o 映为 矗 设如 o 是此变换的j a c o b i a n 矩阵 令d e t 表示行列式 则有 g z o 丽 j 劢id e tj f 幻 1 2 1 若n 是个可递域 则z o 可以是n 内任意一点而再以z 表之 就得到如何求可 递域n 的b e r g m a n 核函数的公式 j 如 z c i d e t j r o 1 2 m 一 2 以上两式都可以用来求b e r g m a n 核函数的显表达式 对有界对称的齐性域 华罗庚利用 2 式得到了四类c a r t a n 域的b e r g m a n 核 函数的显表达式 7 这种计算b e r g m a n 核函数的方法我们称之为华方法 而对于 1 6 维和2 7 维例外域 殷慰萍利用华方法也得到了它们的b e r g m a n 核函数的显表 达式 8 1 2 序言 对非对称的有界齐性域 因为它全纯等价于s i e g e l 域 g i n d i k i n 利用复幂函数 的概念给出了齐性s i e g e l 域b e r g m a n 核函数的显表达式 9 许以超得到了n s i e g e l 域的b e r g m a n 核函数的显表达式 l o 综上所述可知 对任意的有界齐性域 如果它的全纯自同构群已知 利用华方 法我们就可以得到其b e r g m a n 核函数的显表达式 除了齐性域 还有很多域的b e r g m a n 核函数的显表达式被求出 比如蛋型域 由于它是包含原点为中心的r e i n h a r d t 域 而它的完备标准正交函数系已知 就可 以将b e r g m a n 核函数的无穷级数形式求出和函数 便得到b e r g m a n 核函数的显表 达式 这神方法我们称它为级数法 不少数学家利用此方法得到了一些结果 例如 对r e i n h a r d t 域 n p q 2 c j 1 w l l 2 p i i z l l 2 9 1 且q 1 d a n g e l o 在1 9 7 8 年给出了其b e r g m a n 核函数的 显表达式 l2 3 m 1 竹 1 且q 一1 d a n g e l o 在1 9 9 4 年给出了其b e r g m a n 核函数的 显表达式 13 4 m n 1 且p q 2 域 1 w 1 4 i z l 4 1 的b e r g m a n 核函数的显表达 式由v a l e n c o u r th e r c u l e 和j o d o n gp a r k 分别独立得到 l4 本文考虑一类r e i n h a r d t 域 其定义如下 h n m n k p z w c 0 f l l 2 k 0 k l 1k l 我们先利用域h 1 m n k p 的完备规范正交系和全纯自同构群 通过一些 特殊的r 函数关系式以及一些计算技巧 得到了域h 1 m n k p 上b e r g m a n 核 序言3 函数的显表达式 然后 利用膨胀原理 得到域日 m i k p 上b e r g m a n 核 函数的显表达式 这里值得指出的是 能显式求出b e r f f m a n 核函数的域的类型很 少 因此 b e r g m a n 核函数能够显式表出的域都是很好的域 是值得研究的域 本 文第 章求出了我们新引进域的b e r g m a n 核函数的显表达式 陆启铿猜想起源于陆启铿1 9 6 6 年的文章g 关于常曲率的k i i h l e r 流形 中所 提出的 个问题 3 何种类型的域的b e r g m a n 核函数没有零点 1 9 6 9 年 波兰 数学家m s k w a r c z y m k i 在 4 中第 个把陆启铿提出的问题称为陆启铿猜想 从 此以后很多数学家对此感兴趣 并开始研究这个问题 h a r o l dp b o a s 予1 9 9 8 年 在韩国召开的第三届k s c v 国际会议上以 l uq i k e n g 8p r o b l e m 为题对陆启 铿猜想的一些研究情况作了一个综合报告f 5 他感到解决这个问题非常困难 因 为从定义上讲 b e r g m a n 核函数实际上就是一个无穷级数 一般讨论一个无穷级 数的零点问题都比较困难 当然对b e r g m a n 核函数零点集的研究是很有意义的 例如 b e r g n m n 核函数在双全纯映照下的变换公式 k d z 面 k 0 2 f z f w d e t j r z d e m j f w z 三 r c z 4 序言 上面提到的岛 m n r t t l q 分别表示华罗庚意义下的第一类 第三类c a f t a n 域 芽表示z 的共轭 z 表示z 的转置 d e t 表示行列式 n m l 都是正整数 k 0 p 0 本文第三章只讨论低维的情况 第一章准备知识 这一节我们引进一些要用到的定义和引理t 定义1 设n 是c 中的有界域 若n 的全纯自同构群包含下列变换 w a n 口 e i o q z a 一 a 1 一 其中口l o n 为任意实数 点a a l 一 o 可以属于qc l e f 以不属于q 则称n 为以 为中心的r e i n h a r d t 域 引理l 8 设n 是c 1 中包合履最的有界觑f n h r d 域 则 南 z ch 2 n 中的一组完备标准正交函数系 证证明见文献f l 翻 引理2f 设c t l 和n 2 是c 中的有界域 z 是从n l 到 的 双全纯映照 则q i 上的b e r g m a n 核函数翰 2 与n 2 上的b e r g m a n 核函数 k 啦 面 之间的关系如下 勘 i 如 d e t 磐 d e t 证 证明见文献 16 因此 对于域h 1 m k p 以下简称日1 如果我们能够找到其全纯自同 构群 可以不是最大群 满足 对域内的任意一点 z 都有一个全纯自同构 变换将它变为点 0 0 那么通过域的全纯自同构变换构造双全纯映照 可以使 计算其b e r g m a n 核函数的过程简化 由此引出 引理3 下列变换构成凰的全纯自同构群向 一定是最大群j 并且满足 可 以把h 1 内的任意点 f 毛t o 映到 f o 0 点 记这个全纯自同构群为a u t f p 1 一 1 z o l l 2 去 1 2 0 z t 暑 1 一 l 0 0 2 壶 1 一面o t 一毒 矿 1 一i i 翔4 2 一知 1 一 o a 彬 1 一l l t o 酽 t 啦 1 一w o w 2 一1 b 6第一章准备知识 其中 十正珲 地南 b 圳 研 1 一 l l w o l l 2 羔 证 计算可知 1 0 z 8 2 1 1 一 r 2 1 一l i z o l l 2 1 一i i z 炉 1 一l l 0 2 1 1 一t r 2 1 一i i o l l 2 1 一1 1 w l l 2 f 1 2 i 1 2 i 1 1 2 0 1 1 2 嚣1 1 一而 i 一苷 1 一l l w oj 1 2 蠢 1 一 0 w i 一蚤 因此有 l 1 2 k 一 1 一i i z 1 1 2 9 1 0 0 2 l i 2 k 1 1 l 翔i 2 9 1 1 一 o z r 2 9 1 一l l w o l l 2 1 1 一 0 r 2 1 1 一i j l 一2 9 1 一 i z o l l 2 9 1 一l i z l l 2 p i l i 0 w 2 1 一l l w o l l 2 1 一l l w l l 2 垮1 2 一 1 一 i z l l 2 p 1 一i l w l l 2 1 一i i z o l l 2 9 1 1 一 o z l 一2 p 1 一 1 w o l l 2 1 1 一i o w r 2 又 1 一i l z o l l 2 p 1 1 一 o z r 2 9 1 一1 1 w o 2 1 1 一i i 一2 0 垮1 2 一 1 一i i 0 2 9 1 一1 1 w l l 2 0 故 4 1 2 耳一 1 一i i z 1 1 2 9 1 一1 1 w 1 1 2 1 时有 厶 舻n l 采等去 证 用数学归纳法 m 1 时 令z r e 胡 llzl 冉h2pdv z i打doziz h z j oj o r 舻 r d r 群 r 2 一i z f 2 3 矗2 一r 2 1 r d r 兰 了二 十1 假设z 矽n 1 0 只 时 卅 舻 a r m 1 羔喘 则z b 0 r 时 令钿 v i n e 2 j 嘏nj r m d r m 帅f 铲 仆 川 幺j 争1 2 一 陬1 2 i 一t 1 2 1 d y 2 z 矗 7 r m r 2 可r i 2 干x 丽 m r l ra 业1d 端小2 瑚 1 峨 椭2 m 卜端 8 第一掌准备知识 得证 引理6 设p z 是z 的n 次多项式 p z q 耕p z 可以改写为如 下形式 荆 褰b 等掣 j 0 一7 其中如 b o p 1 吩 喜意耥小 一胁 证 利用归纳法 容易证之 引理7 对于z r 若 1 则有 姜端 器 证对等式右边进行t a y l o r 展开即得 引理8i 卅 r 膨胀原理 设d 是c 1 中的有界完备h a r t o g s 域 由不等式蚓2 烈 所界定 这里 c z c 而 z 在c 中某一个有界域内部是有界的 正的和连续的函数 g 是c 中的由不等式i i z t l 2 砂 z 所界定的域 这里z z 1 一 z m l z i l 2 玩 2 由于存在函数l z w s 使得d 的b e r g m a n 核函数k o 口 能表 为 2 w 窃 因而域g 的b e r g m a n 核函数f 岛 z 口 w 能由下列关系式给出 眦 细 一细叫 竺豢掣l 诅 这里 z 1 w 1 z m w m 第二章h n m 铊 k p 的b e r g m a n 核函数 要求出域h n m 川k p 上的b e r g m a n 核函数的显表达式 只要算出n 1 时相应域h l 的b e r g m a n 核函数就行了 因为对 用膨胀原理 就可以得到 为 一般情况时的b e r g m a n 核函数 我们首先考虑n 1 时的情况 设a u t h i 为引理3 所给的全纯自同构群 f a u t 研 映射把域甄内任 意一点 f z w 映为点 o 0 记甄 乏 乏 面 为域历的b e r g m a n 核函 数 由引理2 有 球 械 捌圳 o o 衲0 d e t 瓮筹 l 一 错 2 rl l a e t 篝筹 l 陋簧m c 筹删割二 1 一1 1 o l l 2 景 1 i o z t 一制 卜i l w o lj 2 去 1 一 0 叫 一击j 2 所以只要求出坼 p 0 o f 0 0 r p w 钢jh i 的b e r g r a a n 核函数 这里为了方 便 我们用f 来代替f 由于h 1 是r e i f r h a r d t 域 由引理l 知甄的标准完备正 交函数系是 茬笔若舞 川 例 所以由b a n 核鳓舣球 o 咖 薹群 因此利用引理5 经计算得到 0 0 2 i f l 巧d y f d y z d y 伽 j m 枷 1 1 卅1 d r 1 一 2 p 等 1 一i l w l l z 等d y z d y 叫 o o oj b m 0 1 伊 0 1 1 2 暑j 厶 1 1 一忙旷 p 学d y 上郴 1 1 一 旷 等 叫 7 r 7 r r p 学 1 7 f n r 与 1 j 1f p 警 m 1 r k 丝 n 1 令a 等 则 妒旷2 k i r m 1 a 错 蹴群 这是a 的 m n 1 次多项式 因而也是j 的 m n 1 次多项式 令 q j k m 1 1 1 4 q l 则q j 是j 的 m n 1 次多项式 最高项系数为 p m 由引理6 删 芝1 k 等掣 q o k 等等犁 v o w7 其中k 却 1 尸m b o q 一1 0 所以由引理7 们有 k 妾若端 一 m 风 鲫 n 黑5 o 1 1 4i i j o 刖 卅玑r e 三 n 1k o o 车铲 捌 u u j k m 制7 r 巾 t l 1 萎1 k 1 1 口 1 1 一m 廿 1 让f 变回f 注意f 是f 在变换f 下的像 并令z o z 蛳 w 者 这样我 4 1 2 i 引2 1 一i l z l l 2 一昙 1 一l l w 1 2 一 x 厶 j e 蔓l 璺墨鲤堡堕墼l l 综上我幻得到域奶的b e r g m a n 核函数 硷 已 叫己 k 一 m r m i 1 雾1 b r v 1 1 一x 一 删 1 一 i l z l l 2 一胁 1 嚣 i l l w l l 2 一 1 壶 其中x 蚓 嚣一肛 一嚣 1 一j j 叫i 一毒 下面推广到n 为一般情况时 令f x v ok r 扣 1 1 一贾 一扣 其中舅 1 1 f 1 1 2 1 一肛j j 2 一暑 1 一 怕 一j 令i i 1 1 2 t 则 f x f 0 j 1 2 1 1 1 4 2 一景 1 一m 2 一击 c t l l z l l 2 0 1 1 2 由风的b e r g n m n 核函数 对f 应用膨胀原理 即引理8 我们得到n 为一 般情况时 h n m n k p 的b e r g m a n 核函数 k f f z 赢加 纠一k 帅 1 丌 n 1 型 烨坐业 1 1 1 4 1 2 一 1 嚣 1 1 1 w l f f 一 l 去 k t 一 型 墨2 0 x n 一1 i 一 2 一旦铲 1 一i l w l l 2 一掣 1 一i l z l l 2 一 m l 嚣 1 一i l w l l 2 一加 l 壶 a 一l k 一 仇 7 r 一 m q n n 二三一f 元 1 h 2 一 m 1 韵 1 一i l w l l 2 一 l 器 k 一 m n k 一 m i 誊1k r 扣 1 一贾2 一扣 1 一i l z l l 2 一 1 繁 1 一i l w l l 2 一加 1 十是 第三章h n m 钆 k p 上的陆启铿猜想 我们在上一章求出了域h n m 佗 k p 的b e r g m a n 核函数 这一章我们讨 论一下这个b e r g m a n 核函数有无零点 由引理2 要讨论 0 2 0 0 命题1 假如 o o 幢0 o o o 矿 0 o 属于h n m 弼k p 刖 i i l 1 妒l 1 p 0 证 见文献 1 6 命题3h n m 川k p 是陆启铿域当且仅当方程f y 的所有零点都落在 r e ys 内 证 设z a b i n b r 则0 2 b 2 丽1 a j 1 我们令a y 一 则y 的多项式f r 可转化为a 的多项式g a f y 的所有零点都落在r e ys 内等价于g a 的所有零点都落在r e as0 内 设 g a a 9 a 其中n 是g a 的首项系数 9 a 为首项系数是1 的多项式 这 样我们就可以利用定理1 判断是否9 a 的所有零点都落在p e a 0 内 以此来 判断h n m n k p 是否为陆启铿域 下面我们就分情况讨论一下 3 1h n l 1 k p 是陆启铿域的充要条件 在这一节 我们讨论的域如下 h n 1 1 k p c z c w c i k 0 2 此时 q j 0 1 0 1 k p 0 1 吲 所以 b o 0 b l k 一尸 一1 b 2 p 1 k 一3 p b 3 p 多项式f y 化为 f y b 3 n 2 1 y 2 6 2 1 y b l p 2 1 y 2 尸 f k 一3 p n 1 y k p j f 一1 设p p n 2 1 则p 0 将y a 代入f y 得 g a p a 2 c 1 a c 2 其中c t 学 c 2 学 由定理1 知 g a 的所有零点都落在p e as0 内 当且仅当 1 c l 0 2 c l c 2 0 这又等价于 20 镌 0 第i 章陆启铿猜想 计算得知t p 2 十1 p k k 一3 p n 1 一p 1 2 1 1 k 一 1 1 一k i p 1 k k 2 一k 一3 一1 吲p 一1 k k 2 y 2 p n 2 1 y 1 p k k 一3 p 7 2 1 一3 p 1 p 1 k o 下面对n 分情况讨论域h n 1 1 k p 为陆启铿域的充要条件 1 由 k 2 一导 0 得 p 曼2 k 2 所以当且仅当p s2 k 2 时 域h i 1 1 k p 为陆启铿域 o n 2 与 p k 2 等 若k 1 上式恒大于零 此时 域h 2 1 1 k 尸 为陆启铿域 若k 0 所以 0 此时域日 1 1 k p 都是陆启铿域 综上 我们得到 定理2 域h n 1 l k p 只有在下列情况下为陆启铿域 o n 1 p 2 k 2 o n 2 i k 1 2 k 3 第三章陆启链猜想 3 2h n 1 2 k p 是陆启铿域的充要条件 这一节我们讨论的域如下 日 1 2 k p f c n z c 叫 c 2 0 1 1 2 0 将y a 代入f y 得 g a a a 3 c 1 2 c 2 a c 3 其中c l 掣 饧 掣 c 3 譬 由定理1 知 g a 的所有零点都落在p e a 0 内 当且仅当 1 e l 0 2 c i c 2 一c 3 0 3 c 3 c l c 恐一c a 0 这又等价于 0 j 1 0 f 1f 2 a f 1 计算得知 p 士3 2 1 2 3 p k k 一6 p n 2 r 1 4 一1 2 p k 3 k 一7 p 1 8 k p k 一1 2 k 1 卦 8 一8 舻 6 n 2 1 8 n k 4 n 一1 n 2 5 n 一2 i p k 2 k n 4 k n 一3 y 3 p n 3 2 1 y 2 2 3 p k k 一6 p n 2 1 y 一1 2 p k 3 k 一7 p 1 第三章陆启铿猜想 1 一6 p n 3 2 1 y 2 3 p k 十k 一6 p n 2 1 6 p 2 k 3 n 1 p 2 1 0 计算可得 2 0 静 卢 卢 1 一a l 0 我们设 三 尸 j f n 卢 o 卢 y 一a j n 1 p n 3 p k k 一3 p 一1 p n 3 p k k 舻 2 p 3 p 一p 3 一p k i 2 k 一1 6 n 6 p 2 9 n 5 p 3 n 3 k a n 一1 1 l n 9 p 2 9 n 6 p l k 2 n n 一2 2 n 1 1 3 p 2 p p 2 f 2 一3 2 1 下面对 分情况讨论域h n 1 2 k p 为陆启铿域的充要条件 o n 1 由 筹 4 舻一3 p 一1 0 得 p 4 k r 2 1 此时 l 1 p k 2 k 6 p 2 7 p 3 舻一 3 p 2 p 2 k 3 p 1 6 p 2 7 p 3 一p 0 所以当且仅当p 4 k 广2 i 时 域h 1 l 2 k p 为陆启铿域 o n 2 射k k 1 4 k 一1 k 一2 2 k 1 p 若k s i l 恒小于零 若 k psk 2 i 一q k i 2 4 k 1 1 的条件下 分情况讨论l 2 只 o 是否成立 i k 乎 此时 p k 2 k 一 i 2 4 k k 1 i 3 1 p 2 2 4 p 3 p 2 3 p 2 p p 一4 p 2 0 第三章陆启崔猜想 i i k 2 孚 此时l 2 p k 3 1 p 2 2 4 p 3 一4 p 2 0 所以只有下列情况下 域h 2 1 2 k p 为陆启铿域 1 k 0 此时只需要讨论 0 的充要条件就 可以了 3 k 2 2 k 3 2 舻一1 扫 若k 1 当p 删k 2 k 3 吨m 0 若k 2 l 恒大于零 所以只有下列情况下 域h 3 1 2 k p 为陆启铿域 1 l p 葡k 2 骈2 k 3 2 k 1 4 2 2 k 3 2 k 一1 p k k 2 4 k 1 若k 当p 2 3 k 2 k 3 2 1 4 一k 2 f f l 时 鹏 0 若k 2 恒大于零 所以在下列情况下 域h 4 l 2 k p 为陆启铿域 1 k j 1 p 2 3 k k 3 2 4 k 2 盯i 2 k i 1 5 耳 2 8 k 一1 p k 2 k 5 2 1 着k 当p 笔渊时 旭 0 若k 2 恒大于零 所以在下列情况下 域日 5 1 2 k p 为陆启铿域 第三章陆启铿猜想 1 0 所以 当n 6 时 域日 1 2 k p 都为陆启铿域 综上我们得到 定理3 域h n 1 2 k p 只有在下列情况下为陆启铿域 n 1 p 4 k i 2 p k 2 psk 2 k k i 2 4 k k 1 1 2 k 22 3 o k 1 p k 2 2 1 2 一k k 2 3 2 k 2 1 4 o k p s 器筠拦嚣 阿k 5 r j 膨 尸 等镓器铲 e k 2 6 由于h v m 礼 k p 传 z c m 押 i 陵l 2 1 0 2 1 1 2 尸 1 一 h n n m 参 刍 所以h n 2 1 k p 上的陆启铿问题可由已给出的h n 1 2 k p 上的结论 得出 定理4 域h n 2 l k p 只有在下列情况下为陆启锃域 第三章陆启馑猜想 n 1 k 望 e n 2 r 砂譬 p 4 k 2 p k 2 k p k k p 4 k p 2 k 2 p o n 3 俐k p 2 p 2 一k 2 k 2 2 k 3 p 2 k 2 p o n 4 以j k p 3 2 3 p p 一2 k s2 k k 2 p 4 k p 例k p e n 5 0 k 6 参考文献 l b e r g m a ns o b e rd i ee n t w i c k l i n gd e rh a r m o n i s e h e ad e re b e n eu n dr a u m e sn a c h o r t h o g o n a lf n n k t i o n e n a n no fm a t h 1 9 9 2 9 6 2 3 7 2 m o s t o wgd a n ds i ny t ac o m p a c tk i h l e r s u r f a c eo fn e g a t i v ec u r v a t u r en o t c o v e r e db yt h eb a l l a n no fm a t h 1 9 8 0 1 1 2 3 2 1 3 6 0 3 l uq i k e n g o nk h l e rm a n i f o l d s w i t hc o n s t a n tc u r v a t i l r e i nc h i n e s e a c t am a t h e m a t i c as i n i c a 1 9 6 6 1 6 2 6 9 2 8 1 t r a n s l a t e dg c h i n e s em a t h e m a t i c s 1 9 6 6 8 2 8 3 2 9 8 1 4 jm s k w a r c 司c n s k i t h ed i s t a n c ei nt h e o r yo fp s e u c o n f c c m a tt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h el u o i k e n gc o n j e c t u r e p r o c a m e r m a t h s o c 1 9 6 9 2 2 3 0 5 3 1 0 5 5h a r o l dpb o a s l uq i k e n g sp r o b l e m j k o r e a nm a t h s o c 2 0 0 0 3 7 2 2 5 3 2 6 7 1 6 b o a sh c o u n t e r e x a m p l et ol uq i k e n gc o n j e c t u r e p r o e o fa u l e r s o c 1 9 8 6 9 7 辨3 7 5 7 华罗庚 多复变数函数论中的典型域的调和分析 北京 科学出版社 1 9 5 8 8 y i nw e i p i n g t w op r o b l e m so nc a f t a nd o m a i n s jo fc h i n au n i vo ft e c h n 1 6 2 1 3 0 1 4 6 9 g i n d i k i nsg a n a l y s i so fh o m o g e n e o u sd o m a i n s r u s s i a nm a t hs u r v e y s 1 9 8 4 1 9 l 一8 9 1 0 1 x uy i c h a o o nt h eb e r g m a nf u n c t i o n so fh o m o g e n e o u sb o u n d e dd o m a i n s s c is i n i e a 1 9 7 9 s p e c i a li s s u ei i 8 0 9 0 1