（计算机应用技术专业论文）偏微分方程（pde）曲面造型及其交互式曲面设计技术.pdf

摘要 随着c a d 技术应用的日益普及，人们对几何造型方法提出了越 来越高的要求。对于复杂曲面的构造和高质量曲面的设计，b 样条 方法已不能满足人们的需要。为了提高曲面设计的能力，简化复杂 曲面的设计过程，近年来提出了一些新的曲面造型技术，如小波瞄 面造型方法、偏微分方程( p d e ) 曲面造型方法、能量曲面造型方 法等。 为了追踪先进研究趋向，本文研究了偏微分方程( p d e ) 曲面 造型方法在过渡面和自由曲面构造中的应用、偏微分方程( p d e ) 曲面的交互式生成以及与通用c a d c a m 系统的数据交换。 本文提出了一种更一般的四阶偏微分方程，带有三个矢量形状 函数，统一了现有文献中的各种四阶偏微分方程。因为这三个矢量 形状函数是以曲面参数“，矿为自变量的连续函数，替代了现有文 献中常用的常数，可以在整个参数域上变化，所以极大地提高了利 用偏微分方程( p d e ) 方法进行自由曲面造型的能力。同时，正因 为这三个矢量形状函数可以在整个参数域上变化，这就为曲面的交 互式设计提供了更大地灵活性，增强了曲面的局部控制能力。在偏 微分方程( p d e ) 曲面的交互式生成中提供了一套全局和局部的修 改工具方便用户使用。在偏微分方程( p d e ) 曲面的b 样条逼近方面， 本文作了一些讨论，由此得到的p d e 曲面易于与当前的c a d c a m 系 统进行数据交换。 关键词：偏微分方程曲面造型，c a d c a m ，过渡面，自由曲面， 交互式设计 a b s t r a c t w i t ht h es p r e a d i n ga p p l i c a t i o no fc a d c a m ，p e o p l ep l a c em o r e a n d h i g h e ra c q u i r e m e n t s o nc a g d t h et r a d i t i o n a ln u r b sb a s e d s u r f a c em o d e l i n gc a n ts a t i s f yt h en e e d st oc o n s t r u c tt h ec o m p l i c a t e d s u r f a c e sa n d g e n e r a t eh i g hq u a l i t ys h a p e t h i s i sam a j o rc h a l l e n g e f a c i n gs y s t e mo nc a g d a n dh a sg i v e nr i s et oan u m b e ro fa l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s ：t h e w a v e l e t s b a s e ds u r f a c e m o d e l i n g ，t h ep d es u r f a c e m o d e l i n g ，t h ee n e r g y b a s e ds u r f a c em o d e l i n ga n d s oo n i no r d e rt o i n v e s t i g a t e t h e p o t e n t i a l s o fp d es u r f a c e m o d e l i n g t e c h n i q u e ，as y s t e m a t i cs t u d y i sc a r r i e do u ti nt h ed i s s e r t a t i o n t h i s p a p e rp r o p o s e s am o r e g e n e r a l f o u r t ho r d e r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i t ht h r e ev e c t o rs h a p ef u n c t i o n s i tc o v e r sa l l f o r m so f e x i s t i n g f o u r t ho r d e rp d eu s e df o rf r e ef o r ms u r f a c a g e n e r a t i n g i ti sc a p a b l eo fg e n e r a t i n gs u r f a c e so f m u c h g r e a t e rv a r i e t y a sw er e p l a c et h ec o n s t a n tc o e f f i c i e n tu s i n ga r b i t r a r yf u n c t i o n so fu a n dv ，w h i c hc a nb ed e f i n e db yu s e r s ，t h i sc a no f f e ru s e r sm o r e f l e x i b i l i t y f o ri n t e r a c t i v e s h a p ed e s i g n a n da c h i e v el o c a lc o n t r o lo n p d es u r f a c e s i nt h i sp a p e r , t h ea p p l i c a t i o no ft h ep d em e t h o di ng e n e r a t i n g b l e n d i n g s u r f a c e sa n df r e e f o r ms u r f a c e si sd i s c u s s e d i nt h e i n t e r a c t i v e s h a p ed e s i g n ag l o b a la n dl o c a ls e to fd e s i g nt o o l st h a t a l l o wu s e r st o i n t e r a c t i v e l ym o d i f y t h e s h a p eo fp d es a t f a c e a r e o f f e r e d u s i n gt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w em a k es o m er e s e a r c ho n t h eb s p l i n ea p p r o x i m a t i o n so fp d es u r f a c e s 。t h ep d es u r f a c ed a t a o b t a i n e db yt h i sm e t h o dc a nb et r a n s f e r r e dt ot h es y s t e mb a s e do n n lj r b s 。 k e y w o r d s p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ns u r f a c em o d e l i n g ，c a d c a m ， b l e n d i n gs u r f a c e ，f r e e - f o r ms u r f a c e ，i n t e r a c t i v ed e s i g n 华侨大学硕= l 学位论文 1 。1 曲面造型概述 第一章绪论 随着c a d c a m 技术的发展，几何模型已从最早的线框模型，发展到曲 面几何模型，又到现在的实体几何模型。 线框模型结构简单，易于理解，数据存储量少，操作灵活，响应速度快， 是进步构造曲面模型和实体模型的基础，但线框模型建立起来的不是实体， 不能对图形进行剖切、消隐、明暗处理、上色、物性分析、干涉检测等操作。 曲面几何模型的建立满足了自由型曲面的设计与制造、曲面相交、消隐、 明暗处理、上色等应用问题的需要，但这种模型对形体究竟存在于表面的哪一 侧没有明确定义，对于物性计算、工程有限元分析等应用，以及曲面造型在形 体的表示上缺少完备性。 实体模型的优点是在计算机内提供了对物体完整的几何和拓扑定义。随着 实体模型领域一些新概念的提出，如特征、约束等，实体几何模型的设计方法 也完全征服了设计人员。实体造型技术存在的主要问题是应用范围有一定的局 限性。许多问题如曲面求交、分类算法等有待解决。 当前c a d c a m 系统的发展趋势是将各种方法有机地结合起来，形成一 个整体，实体模型逐渐采用精确的曲面实体边界表示。这就是所谓的融合策略。 曲面造型( s u r f a c em o d e l i n g ) 是c a d c a m 系统中几何造型的关键组成 部分，是计算机辅助几何设计( c o m p u t e r a i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ，c a g d ) 和 计算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 的一项重要内容，主要研究在计算机图 像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船 舶、叶轮等的外形放样工艺，由c o o n s 、b 6 z i e r 等大师于二十世纪六十年代奠 定其理论基础1 1 】、【2 】i 3 1 。 1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的 矢量函数方法，并引入参数三次曲线。从此，曲线曲面的参数化形式成为形状 数学描述的标准形式。 19 6 4 年美国麻省理工学院的c o o n s 发表一种具有一般性的曲面描述方法， 偏微分方程( p d e ) 面造型及其交互曲面式设计披术 给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面。但这种方法存在形状控制与 连接问题。 1 9 7 1 年法国雷诺汽车公司的b 6 z i e r 提出一种由控制多边形设计曲线的新 方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线 曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进步发展奠定了坚实的基础。 但b g z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问题。 到1 9 7 2 年，d e b o o r 总结、给出了关于b 样条的一套标准算法。1 9 7 4 年 g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应用于形状描述，最终提出了b 样条方 法。这种方法继承了b 6 z i e r 方法的一切优点，克服了b 6 z i e r 方法存在的缺点， 较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接 问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。 但随着生产的发展，b 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥曲线 及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的 数学描述形式，容易造成生产管理混乱。为了满足工业界进一步的要求，1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 首次提出有理b 样条方法。后来由于p i c g l 等人系统地论述了非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法，终于使非均匀有理b 样 条( n u r b s ) 方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。 非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规 则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有 理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控 制和实现：n u r b s 方法是非有理b 样条方法在四维空间的直接推广，多数非 有理b 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于n u r b s 曲线曲面，便于继 承和发展。由于n u r b s 方法的这些突出优点，国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法作为定义 工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使n u r b s 方法成为曲面造型技 术发展趋势中最重要的基础。 1 2论文的选题 我们已经目睹了基于样条的曲面造型技术的发展，但它们都是多项式表示 华侨大学硕士学位论文 法。构造曲面时先定出曲面的轮廓线，再进行蒙面。这种造型方法形状不易控 制，在处理曲面过渡时，生成的曲面与原曲面除连接线有交线外，还可能有别 的交线。 随着c a d 技术应用的日盏普及，人们对几何造型方法提出了越来越高的 要求。以上介绍的几何造型方法已不能满足人们的要求。为了提高曲面设计的 能力，简化复杂曲面的设计过程近年来提出了一些新的曲面造型技术，如小 波曲面造型方法、偏微分方程( p d e ) 曲面造型方法、能量曲面造型方法等。 为了追踪先进研究趋向，本文研究了基于偏微分方程( p d e ) 方法的自由 曲面造型技术。 对于偏微分方程曲面造型问题的研究，虽然已经有了一定的研究成果，但 是大多数局限在具有一个常系数的四阶偏微分方程上，并且提供的曲面交互式 设计工具很少。因此，对于这些问题还有待于进一步地研究和完善。 1 3国内外在该领域的研究现状和动态 偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称p d e ) 方法是由英国l e e d s 大学的b l o o r 等人首先于2 0 世纪8 0 年代末将其作为一种曲面设计工具引入 c a g d 领域。其思想起源于将过渡面的构造问题看作一偏微分方程的边值问 题，而后发现使用该方法可以方便地构造大量实际问题中的曲面形体。 b l o o r 等人探索了p d e 方法在过渡面【4 】【5 】、自由曲面1 6 1 及n 边域曲面7 】 构造中的应用。同时也探索了这种方法在功能曲面设计凹】中的应用。船体、飞 机外形、螺旋桨叶片f 9 】d o 、【1 l 】等外形都可以由p d e 方法构造。 进两，l o w e ，b t o o r 和w i l s o n 提出一种方法把一般的工程设计准则( 如函 数约束) 融合到p d e 曲面的几何设计中l 引。这样就可能在设计过程中同时引入 几何约束、美学准则、物理和工程约束。另外，b l o o r 和w i l s o n 等人分别使用 基于配置法的b 样条和基于有限元法的非均匀b 样条【1 3 】逼近p d e 曲面，旨 在表明p d e 曲面和其他成熟的基于样条的曲面设计技术是相容的，因此p d e 曲面技术就能融入现有的商业设计系统。 1 9 9 3 年b l o o r 和w i l s o n 利用参数边界条件构造了p d e 几何实体，拓宽 了p d e 方法学的几何覆盖范围。 偏微分方程( p d e ) i 抽面造型及其交互曲面式设计技术 在理论上，基于偏微分方程的方法有个必然的优点，即定义一个曲面的大 部分信息来自于曲面的边界条件，这就允许通过少量的参数来生成和控制曲 面。通过改变边界条件和p d e 中的形状控制参数口，可以生成各种曲面形状。 u g a i l 和b l o o r 等人对曲面交互式图形控制作了相应的研究、【17 1 ”，主 要集中讨论三个方面：力源函数f ，形状控制参数n ，通过p d e 曲面的b 样 条表示用控制顶点对曲面进行调整。 美国n e wy o r k 州立大学的q i nh o n g 教授和加拿大t o r o n t o 大学的 t e r z e p o u l o r 教授研究了基于n u r b s 表示的动态曲面 2 0 】设计方法。q i nh o n g 教授的博士生d uh a i x i a 在其基础上将p d e 曲面造型方法和基于物理模型的 曲面造型方法结合起来2 ”，拓宽了p d e 方法的应用范围，并利用隐式偏微分 方程研究了散乱点数据的拟合| 2 2 】【2 3 】。 英国b o u r n e m o u t h 大学的j i a nj z h a n g 等人研究了偏微分方程的 p s e u d o l e v y 序列解”】。 国内北京航空航天大学的朱心雄教授及其博士生马岭对基于偏微分方程 的曲面造型方法开展了研究，并取得了一定的研究成果f 2 4 】、旧1 2 6 、 2 7 1 、 2 8 】。北 京航空航天大学的余正生、雷毅研究了基于n u r b s 的p d e 曲面构造法及其 应用，由非均匀有理b 样条曲线曲面给定边界条件( 边界值或者再加上边界 导矢) ，用偏微分方程来构造曲面【2 9 1 。 上海复旦大学谭永基教授在p d e 曲面造型中的反问题进行了研究，提出 了一种基于偏微分方程反演自动决定偏微分方程系数和边界条件的p d e 曲 面造型的新方法 3 0 】_ 1 3 t 、 3 2 1 。 1 4 论文的研究内容与组织 先前的工作主要集中于讨论如下的类双调和偏微分方程 等+ 口2 导灿删一，v ) q 。 由于偏微分方程组中的形状控制参数对p d e 曲面的形状影响很大，前面 提到的各种技术除了边界曲线控制和修改偏微分方程的系数外，对于直接交互 式p d e 曲面的设计技术较少，且常规的p d e 技术控制整个参数域，局部控制 华侨大学硕士学位论文 较弱。基于以上几点原因，在总结前人工作的基础上，本文着重在以下两个方 面做了进一步探索：本文提出一个更一般的四阶偏微分方程来进一步提高利用 偏微分方程( p d e ) 方法进行曲面造型的能力；在曲面的交互式设计中，提供 更多的曲面设计方法。 论文内容安排如下： 在第二章中介绍偏微分方程的基本概念，偏微分方程的求解方法一解析 解方法和数值解方法； 在第三章中给出采用偏微分方程( p d e ) 方法进行曲面造型的基本原理， 在前人的基础上提出一种更一般的四阶偏微分方程，讨论了偏微分方程( p d e ) 方法在构造过渡曲面、自由曲面中的应用以及拼合偏微分方程( p d e ) 曲面； 在第四章中讨论偏微分方程( p d e ) 曲面交互式设计的各种技术，并给出 了一套全局和局部的修改工具： 在第五章中介绍偏微分方程( p d e ) 曲面的b 样条表示； 在第六章中给出了生成偏微分方程( p d e ) 曲面的原型系统的结构框架图 及若干功能模块的介绍； 最后第七章为本文的总结，并对后续的研究作了展望。 1 5 论文的创新之处 在使用偏微分方程方法进行曲面造型时，有两点需要首先考虑： 第一，偏微分方程的阶数与计算效率和生成曲面的能力相关。阶数越高， 计算效率越低，但生成曲面的能力却越强大。 第二，偏微分方程中的形状控制参数对偏微分方程曲面的形状影响很大。 基于以上情况，本文提出了个含有三个矢量形状函数的四阶偏微分方 程，它统一了现有文献中所有的四阶偏微分方程。而且这三个矢量形状函数是 以曲面参数u ，v 为自变量的连续函数，替代了现有文献中常用的常数，它们 可以在整个曲面参数域上变化，所以极大地提高了利用偏微分方程方法进行曲 面造型的能力。 现有的文献在偏微分方程曲面的交互式设计方面主要集中在讨论全局形 状控制，而在局部形状控制方面则较弱。因为本文中的三个矢量形状函数是曲 偏微分方程( p d e ) 曲面造型及其交互曲面式设计技术 面参数“，v 的连续函数，可以在整个参数域上变化，这就为曲面的交互式设 计提供了更大地灵活性，增强了曲面的局部控制能力。同时本文还提供了一套 全局和局部形状控制工具供用户使用。 华侨大学硕士学位论文 第二章偏微分方程的求解 2 1 偏微分方程简介 在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函 数来描述已经显得不够了，不少问题用多个变量的函数来描述。 如果个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分 方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如 果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么 这种微分方程就是偏微分方程。 如果等式不止一个，则称为偏微分方程组。偏微分方程( 组) 中的最高阶导数 的阶数称为偏微分方程( 组) 的阶。 如果一个偏微分方程( 组) 对于所有的未知函数及它的各阶导数来说都是线 性的，则称其为线性偏微分方程( 组) 。在线性方程中，不含有未知函数f 及其偏 导数的项称为自由项，当自由项为零时，方程称为齐次的。 偏微分方程的解和积分曲面的定义为：设函数，在区域d 内具有偏微分方 程中所出现的各阶连续偏导数，若将f 代入此偏微分方程后能使其在区域d 内 成为恒等式，则称f 为此偏微分方程在区域d 中的解。仁，( _ ，z ：，x n ) 在n + 1 维 空间( _ ，x 。，f ) 中是一曲面，称为此偏微分方程的积分曲面。 一个偏微分方程的表示如下： 爿瓦+ 曰名+ e 0 = f ( z ，儿f ，只，0 ) ： ( 2 1 ) 这里a ，占，c 是常数，称为拟线性( q u a s i l i n e a r ) 数。 如果b 2 4 a c o ，则( 2 1 ) 式称为双曲线型( h y p e r b o l i c ) 方程。 偏微分方程需加上一定的条件( 定解条件) 才能求出未知函数，求偏微分方 程在定解条件下解的问题称为定解问题。 偏微分方程的定解问题分为三类： 塑堂坌垄垄! ! 里璺堕墅堕型丝墨窒皇堕堕苎堡苎苎查 ：! ： 1 ) 初值问题； 2 ) 边值问题； 3 ) 混合问题。 2 2 偏微分方程的求解解析解方法 所谓解析解方法是指通过某种方法求得方程解的解析表达式。对于不同的方 程和不同的定解问题，必须采用不同的方法，最常用的是分离变量法和积分变换 法。本节介绍p d e 曲面造型中用到的分离变量法。 设o = o u 1 ，o v 2 刀) ，给定类双调和方程 ( 熹膏要闽) = 0 ( 孑+ 。万) 爿( ) 2 0 ( 2 2 ) 及其周期边界条件 ix ( o ，v ) = 只( v ) ，x o ，v ) = 只( v ) 一，( o ，v ) = d o ( v ) ，肖。( 1 ，v ) = 吐( v ) 。( 2 3 ) lx ( u ，o ) = x ( u ，2 x ) 其中x ( “，v ) 为所求曲面，p o ( v ) 只( v ) 为给定的边界曲线，d o ( v ) 和吐( 为对应 边界曲线处的跨界导矢，日为光滑参数。 通过变量分离法可得到问题( 2 2 ) 在条件( 2 3 ) 下的解： x ( u , v ) = 以( “) + ( a ( u ) c o s n v + b ( u ) s i n n v ) 。 ( 2 4 ) 月= j 其中4 ( “) ，b 。( “) 具有如下形式 以( h ) = a o o + a o i + 2 甜2 十n o 】甜3 ， a 。( “) = ( 口。l + 口。2 u ) e 。”+ ( 口。】+ a n 4 u ) e 一删“， e 白) = ( 屯1 + 包2 u ) e “+ ( 吃3 + 吃。u ) e 1 ”。 其中口。，和( i = 1 ，4 ) 是矢量常数，可由边界条件( 2 3 ) 确定。具有这种形式 的解一般称为周期( 或者闭带) 解。 ( 2 4 ) 式具有一定的理论意义：在某些特殊的条件下( 如：边界条件仅含 有有限项f o u r i e r 级数) ，可以求出形式较为简单的解。对于较为复杂的边界条件， 华侨大学坝士学位论文 用( 2 4 ) 式计算将会遇到一些困难，如4 ( “) ，玩( “) 不易计算，级数收敛速度慢 等，此时需要采用数值解方法求解。 2 3 偏微分方程的求解数值解方法 应该指出，偏微分方程的解虽然可以通过解析解方法求得，但是我们不能忽 视由于某些原因有许多问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际 需要的近似程度的近似解，即它的数值解。 偏微分方程边值问题有许多数值解法，如有限差分法、有限元法以及边界元 法等。它们有各自的优点和适用范围，而有限差分法则最为简单，适用面广。当 求解区域是矩形时差分方法显得特别简单方便。 2 3 1 有限差分方法简介 有限差分法对参数区域离散化统一采用矩形网格剖分，然后把偏微分方程中 所有的偏导数用它们的离散逼近采样点替换，如下图所示。 i - 2 ，j i - l ，j - l j - l ，ji - l 。p 1 i ，r 2i , j jf ，i p 1i ? j 2 】+ l ，一1 计l ，j什1 j + l l 1 凸分 i + 2 ， l 口jl bj 曲面离散：( 7 1 ) 二维参数域的离散，( b ) 连续曲面的点离散 其求解方法如下： 根据连续函数f ( x ) 的t a y l o r 展开式，可以得到导数的中心差分逼近公式 川z 塑学， * 地坐筝世幽， 堡堂坌立堡! ! 旦璺些堕堕型墨茎銮兰塑堕塾堡盐苎查二坐- 二 是沿。轴的一个分隔。将这种方法应用于偏导数，通过分隔连续参数域“和v 分别为。和。个离散点，使得爿0 ，v ) 为蜀，的集合。例如，给定一对参数值 “，v i i ， x ( 1 9 i , v ) ) 变成，x ( “。，v ，) 变成x 。，和x ( u i _ h , 0 ) 变成x 。，。同理，连续函数 a ( “，v ) ，6 ( “，v ) ，c ( “，v ) ，f ( “，v ) 在给定的参数值l d i _ 】处分别变成 。，b u ，c i , j ，只，。采用中心差分近似，有 0 4 x x t 。“- 4 x j i + 6 x 。一4 x j i + 苎盟 2 _ _ 一 乩4 h a 4 _ k x 。墨：出二! 墨：生! ! 苎：! 二! 兰生! 竺生! ( 25 ) o v 4 h 。 盟。叠盟二堕：! 些尘j 兰监兰# 望芷生正堡芷兰盟 o u 2 a 边界条件的离散处理： x ( o ，v ) = 昂( v ) ：2 p o ， x o ，v ) = e ( v ) ；以，= j p l a 为了与方程的离散误差相同，在边界处将“向结点各外延一排，得到五以“， 这两排结点可通过导数边界条件获得其近似值： x o ( o v ) ：d o ( v ) ：乏 d o i 即：x 吖= x 一2 h d 0 2 x 。( 1 ，v ) ：d ( v ) ：! 学= d ， 即：= x + 2 h d l 2 ， 在其他边界上的边界条件可以类似地处理。 在离散的边界采样点上应用边界条件和在内部点上利用 到埘h 个差分方程 q x = b ( 2 5 ) 式就可以得 ( 2 6 ) 华侨大学硕士学位论文 髓! ，芝，：叠一， x = ( 置，x ”以。) 7 ， b = ( 6 1 以电。) 7 。 其中a = ( ) 是m x m 阶非奇异矩阵，工= ( t 嘞) 7 ， b = ( 6 】b 2 ) 7 。 纠”1 ) ，其中x i v 是选择的一个m 阶向量，作为方程组的解的个初始猜测。迭 代法就是根据某种方法对初始猜测一0 1 进行修正，并得到一个新向量一”，将它作 量一2 1 ，依此类推，就得到一个序列。1 ) ，希望l i r a x ”= x 。 x = ( ，一b 一1 爿) 工十b b ( 2 7 ) 偏微分方程( p d e ) 曲面造型及其交互曲面式设汁技术 于是建立一个迭代公式：一”| 】= 馓【“+ c ，v = 0 ，1 ，2 ，。其中一0 1 是给定的初 始猜测，g 通常被称为迭代矩阵。 2 3 3g a u s s s e i d e l 迭代和超松驰迭代( s o r ) 将系数矩阵a = ( n i ) 作如下形式分解：a = d l r ，其中d 、l 、r 分别是 a 的对角、下三角、上三角矩阵。 在( 2 7 ) 式中若取b = 口三，则迭代方程变为 一”+ 1 1 = ( d 一三) 一1 r x ”1 十( d 一上) b ， 这就是g a u s s s e i d e l 迭代方法，迭代矩阵为。；( d - z ) 。r 或 2 专一z ，a 、i , ) ，x d 蕃。 若在每次g a u s s s e i d e l 迭代方法后，对方程组的近似解作进一步的松驰校正， z - - i v + u 2 i b l 一，a i , j 。x v 川+ 丢1 ， 矿吐工+ ( 书”一x l v l ) ， 其中称为松驰因子，这就是超松驰迭代( s o r ) 方法。其迭代矩阵为 l ? 如r = ( d 一上) _ ( ( 1 一c a ) d + c a r ) 。 2 3 4有限差分方法和迭代方法在本文中的应用 有效地利用某些迭代法的初期好的收敛性和另一些迭代法后期好的收敛性， 将几种迭代方法组合使用，可望产生较好的收敛效果。 初始几步迭代采用g a u s s s e i d e l 迭代，以后恒用带有最佳松驰因子的s o r 方 法。这样会避免初始迭代过程中s o r 误差的增大现象，从而提高迭代过程的效 率。 给定偏微分方程， h v ) 嘉+ 6 ( 州) 翥+ c ( 刚) 剖啪) - f ( ) ， 及其边界条件， 华侨大学硕士学位论文 x ( ，v ) = 【v ) x 扭，v o ) = 呓( v ) x ( u ，v ) = # ( v )x ( “，v 1 ) = p 3 ( v ) x 。( “。，v ) = d 。( v ) x 。( “，v o ) = d 2 ( v ) 。 置，( “，v ) = d ，( v ) 以( “，u ) = d 3 ( v ) 利用( 2 5 ) 式得相应的差分方程为： a 。鱼兰立孚型立鱼 吨生正望型羔吐型五笔霉堡芷当正些幽 , ；，苎：! 蔓二! 墨：! ! ! ! 苎：! 二! 苎：! ：! 墨：! 。“h4 = 只，。 ( 2 8 ) 将上式整理得： ( 6 a i ，+ 4 岛，+ 6 q ) 彳。+ ( 一4 a 。一2 包，) 五。，+ ( - 4 a “- 2 b e ，) 置。， + a 、j x i 。l 。i 七q i i x 1 j i 斗c j j x _ j 。! + c j i x l 卜_ 2 + 卜4 c i i 一2 b j x _ j h + ( 一2 包，一4 q ，) 五。一，+ 4 ，( 五“川+ 鼻扎川+ 置“川+ 置“川) = h 4 f ，。 为方便迭代处理，将，e 式改为： 其中 ， x i ，= 置。j + j ( 2 9 ) ( 6 a “+ 4 包，+ 6 e ，) ，+ ( 一4 口“一2 包，) 五扎，+ ( 一4 以一2 岛，) 以扎 6 a t i + 4 b 。i + 6 c 。i 十 n 、j x j 。u + a i , j x t _ 2 i + c i i x 。2 + c i j j x 。2 十4 c 。一2 b 1 x 。+ 6 a 1 i + 4 b 。j i + 6 c i j ( 一2 b i ，一4 c 。j ) 五小。+ 6 j ，( 置“ l + 置扎川+ x i 州+ x 。一，) 6 a ，+ 4 4 + 6c j 这里3 i s m 一2 且3 j 茎n - 2 。 相应的边界条件离散为： 偏微分方程( p d e ) 曲面造型及其交互曲面式设计技术 五i ，2 ，u j 奠l i5 p 2 i x 。= p 1 ，x ，。2 p 3 兰：二苎i ：d o ，j x 。，= 置，一2 h d o j 生出：叽j：xm_l,j-2帆2h j 1j j 生二血：d 2 j x i ，。= 五，。一2 h d 2 ， 墨型二墨盟：d3。j五。：五h+2材3，2h i 1 ，l _ 设点 2 ，j 满足( 2 8 ) 式，就必须求得x 。，。值x o ，未知，因为它位于区域 之外。然而可利用上述边界条件的数值差分方程学= d 。， j 凰。，= x 2 ，一2 h d o ，得到近似值。 同理，对于 脚+ 1 ，力、 i ，o ) 、 i ，”+ 1 ) 点可类似处理。 在迭代过程开始时，必须得到所有内部网格点的初始值来进行迭代，通常的 做法是用边界值的平均值来作为内部网格点的初始值。一个迭代过程包括将式 ( 2 9 ) 应用到所有的内部结点。用式( 2 。9 ) 右边对所有的内部结点连续执行迭 代，直到( 2 9 ) 右边的余项l ，“减少到零”( 即h s ，2 蔓i 肌一1 且2 兰n - 1 ) 。 通过利用超松驰迭代法( s o r ) 可提高所有余项k ， 减少到零的收敛速度。超松 驰迭代法( s o r ) 使用迭代公式： x i = 一，+ j ， ( 2 1 0 ) 这里的参数0 9 位于1 2 范围内。在超松驰法( s o r ) 中，对网格内所有点应 用式( 2 1 0 ) 直到k ，l 。的优化选择基于线性方程组的迭代矩阵特征值，而 且在这种情况下可通过下面的公式得到： 4 如果包含有导数边界条件，则必须重写在点 2 ，刀、 n - 1 ，力、 i ，2 ) 、 i ，m 一1 j 华侨大学硕士学位论文 处的方程以适合迭代过程。包含松驰参数0 9 的计算公式如下 x 2 i = x 2 i + c o r 2 j i t x i = x n i + 饼、? 。i x i m l = x i 一l + i 一1 。 本章小结 本章介绍了有关偏微分方程的一些基本概念，在求解偏微分方程时常用的解 析解方法和数值解方法。着重介绍了数值解方法中利用有限差分方法将偏微分方 程转化为一代数方程系统，然后阐述了求解该代数方程系统的迭代方法。 偏微分方程( p d e ) 曲面造型段其交互曲面式设计技术 第三章基于偏微分方程方法构造曲面 3 1 偏微分方程方法的基本原理 通常，人们在三维欧几里德空间构造曲面，设 爿( “，v ) = ( x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( “，v ) ) 表示曲面上的点，参数( “，v ) 可以看作平面区域 q 中的点，x 可以视为由q 到三维空间r 3 的映射x ：q 斗r 3 。当玑v 为常数时， 曲线就定义了曲面上的坐标系。 假设所求曲面= x ( u ，v ) 满足偏微分方程： e 。( 并) = ，( ”，v ) ( 3 1 ) 其中e 。表示以“，v 为自变量的聊阶偏微分算子，f ( u ，v ) 表示以“，v 为自变量的 矢量函数。 在几何造型中最受关心的是边值问题，即p d e 方程是只有边值条件而没有 初值条件的定解问题。采用椭圆型偏微分方程： ( 等“争州叫州) i ( 甑 ( 3 2 ) ，( “，v ) 的解释意义如上，d 是曲面形状的控制参数，女是根据给定边界条件( 边 界值及边界导数的阶数) 选择偏微分方程的阶数。若要构造c o 曲面，取1 ；若 构造c 曲面，k 取2 ；若构造c 2 曲面，女取3 ：依此类推。 目前，在曲面几何造型中，国内外常采用如下的四阶类双调和方程 ( 熹“2 脚 v ) 叫“i v ) ，( “ v ) q ； ( 3 3 ) 对于该方程，为确定x ( “，v ) ，需要事先指定x 及其法矢筹沿求解区域q 的边 界m 的值。x 的边界条件( 也称为位置边界条件) 确定曲面片边界曲线的形状， 同时也确定其参数化过程：掣的边界条件( 也称为导数边界条件) 确定曲面离 华侨大学硕士学位论文 开边界曲线的方向和速度。 值得指出的是：方程( 33 ) 中的偏微分算子表示了种光滑过程，即曲面 内任意点的函数值是其沿边界的某种意义下的平均，所得曲面是边界曲线之间的 光滑过渡。参数c 控制着“，v 两个参数方向的相对光顺率。 对于偏微分方程的选择没有特殊的限制。但到目前为止，只采用了形如式 ( 3 3 ) 的椭圆偏微分方程。其原因可归结为： 1 ) 若边界条件足够光滑，则椭圆偏微分方程的边值问题所构造的曲面是光 滑的。 2 ) 它有一定的物理意义，如下述方程( 3 4 ) 所示。 3 ) 许多学者在研究散乱点数据插值、图像处理、曲面光顺及自由曲面造型 时采用了类似于方程( 3 3 ) 的变分形式。 方程( 3 3 ) 是“类双调和”方程，双调和方程的物理意义是一平面弹性薄 膜在法向压力作用下的位移所满足的偏微分方程 ( 嘉+ 如训到) ( 3 4 ) 其中因变量z 表示位移，自变量z ，y 为笛卡尔坐标。可以利用s ( x ，一) 直观地改变 薄膜的形状。a l f e l d 利用方程研究了散乱点数据的插值问题 3 8 。c a g d 领域的许 多学者利用这种思想研究了构造曲面的方法，如w i l l i a m s p 9 、c e l n i k e r 和g o s s a r d 4 0 1 。然而，当利用边值问题设计曲面时，必须采用参数形式，即坐标x ，y ，z 是因 变量，参数坐标是自变量。这样可以通过选择合适的边界条件和偏微分方程对各 个坐标分量分别进行调整。对于本文所考虑的曲面设计方法，上述物理背景只能 作为一种解释工具。 p d e 曲面的形状由边界条件和所选择的偏微分方程确定。p d e 方法具有如 下特点： 1 构造过渡面简单易行，只需给出过渡线并计算过渡线处的跨界导矢。 2 所得曲面自然光顺。曲面由曲面参数的超越函数表示，而不是简单的多 项式。 3 确定一张曲面只需少量的参数，并且对设计者的数学背景要求较少：用 户只需给出边界曲线和跨界导矢即可产生一张光顺的曲面。因此用户的 偏微分方程( p d e ) 曲面造型及其交互曲面式设计拙术 输入工作量较小。 4 可通过修改边界曲线和跨界导矢及方程是的一个物理参数来调整曲面的 形状。 5 易于功能曲面设计。功能曲面设计最终归结为一些泛函的极值问题，这 些泛函的自变量是形状参数，形状参数的多少直接关系到求泛函极值问 题时计算量的大小。p d e 曲面形状完全由边界条件确定，所需形状参数 较少，从而可以降低计算耗费。 3 2 偏微分方程曲面的理论表达式及实现方法 本节给出p d e 曲面的两种解析表达式并对其进行必要的理论分析。 3 2 1偏微分方程曲面的级数表达式 1 ) 四边p d e 曲面的级数表示 假设在空间给出了首尾相接的四条曲线( 位置边界条件) ，沿这四条曲线还 给出了跨界导矢( 导数边界条件) ： x ( o ，v ) = p o ( v ) ，( 石，v ) = 0 ( v ) x ( “，o ) 2 ( ”) ，x ( “，万) 2 b ( “) f e ) 以( o ，v ) = d o ( v ) ，以( 仃，v ) = d ( v ) “ 肖，( “，0 ) = d ：( “) ，墨( “，石) = 以( “) 。 如果参数域为矩形域【o ，厅】【o ，石】，那么满足方程( 3 3 ) 的齐次形式和条件 ( 3 5 ) 的级数形式解为： 彳( 刚) = 4 ( u ) s i n ( n d + b o ( v ) s i 盯( ) ， h = 0 系数4 ( “) ，b 。( v ) 具有如下形式： 4 ( “) = ( a 。l + n 。2 u ) e ”+ ( 口。3 + 。4 u ) e ( 3 6 ) 鼠( v ) = ( 。+ ：v ) e ”+ ( 玩，+ 瓯。v ) e ”。 其中口。和( i = 1 ，4 ) 是矢量常数，可由给定的边界曲线通过f o u r i e r 分析的方 法得到。 在曲面内部使f o u r i e r 级数解( 3 、6 ) 收敛的充分条件是如下积分有界 华侨大学硕士学位论文 e r ( v ) d v ，l ：r 只( v ) d v ，i 是( v ) 幽，f r 墨( v ) 如 d 。( v ) d v ，f d ，( v ) d v ，f d ：( v ) d v ，r ( v ) d v 对实际的物理曲面，上述要求是合理的。若这些要求得到满足，则由上述级 数表达的曲面在区域( o ，石) ( o ，石) 内对“。v 无穷可微，若要求上述级数表达的曲 面在曲面边界也无穷可微，则二阶导矢e 。在“= 0 和“= 口，x ，。在v = 0 和v = 丌， 以，。在区域的角点至少应是分片连续的。 边界条件的选取是由曲面的边界曲线及其跨界导矢确定的。通过调整跨界导 矢五，和五的大小和方向，可以影响曲面离开边界曲线的速度和方向，从而达到 调整曲面内部形状的目的。 2 ) 周期p d e 曲面的级数表示 在第二章的2 2 节中已讨论。 从( 2 4 ) 和( 3 6 ) 可以知道：由p d e 方法生成的曲面由曲面参数的超越函 数表示，而不是简单的多项式，因此所得到的曲面是光滑的。 3 2 2偏微分方程曲面的积分表示 考虑方程 c 熹+ 知2 工叫，。 理论上我们可利用g r e e n 函数写出该方程解的积分表达式。若x ，y ，z 中任意 一个分量为庐，厂是，的对应分量，那么在q 内p 点的值可以通过及宴在 边界a q 上的值沿。的积分得到： 孵) = 去黔未c 蚴粕舡出+ 去炒西， ， 其中c 表示在边界q 上取值，是l 印1 a c e 算子( 导+ 嘉) ，g = g ( 只q ) 为g r e e n 函数，是关于p 和q 的函数，对q 内固定的点| p ，它是q 的函数，并满足： a ) v 4 g = 0 ，o q ， 偏微分方程( p d e ) 曲面造型及其