（教学思想典型题专讲）高三数学一轮复习 函数的奇偶性与周期性.doc

函数的奇偶性与周期性 一、选择题1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上单调递增的函数是(b)(a)y=- (b)y=e|x|(c)y=-x2+3(d)y=cos x解析:y=-是奇函数,选项a错误;y=e|x|是偶函数且在(0,+)上单调递增,选项b正确;y=-x2+3是偶函数且在(0,+)上单调递减,选项c错误;y=cos x是偶函数且在(0,+)上有时递增,有时递减,选项d错误.故选b.2.设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=2x(1-x),则f等于(a)(a)-(b)-(c)(d)解析:由题意得f=-f=-f=-f=-2=-.故选a.3.已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在0,1)上单调递增,记a=f(),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(a)(a)ab=c(b)ba=c(c)bca(d)acb解析:依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又f(3)=-f(2)=0,f(1)=-f(0)=0,又f(x)在0,1)上是增函数,于是有f()f(0)=f(2)=f(3),即ab=c.故选a.4.(2013长春调研)设f(x)是定义在r上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)0,那么m2+n2的取值范围是(a) (a)(9,49)(b)(13,49)(c)(9,25)(d)(3,7)解析:依题意得f(-x)=-f(x),因此由f(m2-6m+21)+f(n2-8n)0得f(m2-6m+21)-f(n2-8n)=f(-n2+8n).又f(x)是定义在r上的增函数,于是有m2-6m+21-n2+8n,即(m-3)2+(n-4)24.在坐标平面mon内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2为半径的圆内的点,m2+n2可视为该平面区域内的点(m,n)与原点间的距离的平方,结合图形可知m2+n2的取值范围是(9,49),选a.5.(2013安徽省皖北高三大联考)已知周期为2的偶函数f(x)在区间0,1上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是(b)(a)f(-6.5)f(0)f(-1)(b)f(0)f(-6.5)f(-1)(c)f(-1)f(-6.5)f(0)(d)f(-1)f(0)f(-6.5)解析:由条件得f(-6.5)=f(6.5)=f(6+0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又f(x)在区间0,1上是增函数,所以f(0)f(0.5)f(1),故f(0)f(-6.5)f(-1).故选b.6.(2013山东济南二模)设偶函数f(x)对任意xr,都有f(x+3)=-,且当x-3,-2时,f(x)=4x,则f(107.5)等于(b)(a)10(b)(c)-10(d)-解析:由于f(x+3)=-,所以f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期等于6,又因为函数f(x)是偶函数,于是f(107.5)=f(617+5.5)=f(5.5)=f(3+2.5)=-=-=-=,故选b.二、填空题7.(2013宣城市一模)已知f(x)=asin x+bx+c(a,b,cr),若f(0)=-2,f=1,则f=.解析:由题设f(0)=c=-2,f=a+b-2=1所以f=-a-b-2=-5.答案:-5解析:由于函数f(x)的周期为5,所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又f(x)为r上的奇函数,所以f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.答案:-19.已知函数f(x)为奇函数,函数f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则f(3)=.解析:法一根据条件可得f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1.法二使用特例法,寻求函数模型,令f(x)=sin x,则f(x+1)=sin(x+)=cos x,满足以上条件,所以f(3)=sin =-1.答案:-1三、解答题10.(2013乐山市第一次调研考试)已知函数f(x)=-log2是奇函数.(1)求m的值;(2)请讨论它的单调性,并给予证明.解:(1)f(x)是奇函数,f(-x) +f(x)=0,即-log2 +-log2 =0,即log2=0,则=1,解得m=1,其中m=-1(舍),经验证当m=1时,f(x)=-log2 (x(-1,0)(0,1)是奇函数.(2)任取x1,x2(0,1),且设x10,log2(-1)-log2(-1)0,得f(x1)-f(x2)0,即f(x)在(0,1)内单调递减;由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数f(x)在(-1,0)内单调递减.11.已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求证:f(x)是周期为4的周期函数;(2)若f(x)=(0x1),求x-5,-4时,函数f(x)的解析式.(1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,有f(x+1)=f(1-x).即有f(-x)=f(x+2).又函数f(x)是定义在r上的奇函数,故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x).从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.(2)解:由函数f(