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三角变换与解三角形一、三角变换与求值例1、 分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少； （3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现： （1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有、2、2，（需要把2化为，2化为）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。 解法一： 解法二：（从“名”入手，异名化同名） 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 注在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。二、正弦定理、余弦定理的运用例2、已知abc的三个内角a、bc成等差数列，其外接圆半径为1，且有。（1）求a、bc的大小；（2）求abc的的面积。解析：a+b+c=180且2b=a+c，b=60，a+c=120，c=120a。，=， 又0a180，a=60或a=105，当a=60时，b=60，c=60，当a=105时，b=60，c=15，点评：要善于借助三角形内的部分变形条件，同时兼顾三角形的面积公式求得结果。例3、在abc中，sina+cosa=，ac=2，ab=3，求tana的值和abc的面积.解法一：sina+cosa=cos（a45）=，cos（a45）=.又0a180，a45=60，a=105.tana=tan（45+60）=2.sina=sin105=sin（45+60）=sin45cos60+cos45sin60=.sabc=acabsina=23=（+）.解法二：sina+cosa=，（sina+cosa）2=.2sinacosa=.0a180，sina0，cosa0.90a180.（sinacosa）2=12sinacosa=，sinacosa=.+得sina=.得cosa=.tana=2.（以下同解法一）三、 解三角形应用举例例4、如图，已知abc是边长为1的正三角形，m、n分别是边ab、ac上的点，线段mn经过abc的中心g，设mgaa（）（1）试将agm、agn的面积表示为a的函数（分别记为s1与s2）；（2）求y的最大值与最小值。解析：（1）因为g是边长为1的正三角形abc的中心，所以 ag，mag，由正弦定理得，则s1gmgasina。同理可求得s2。（2）
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