小问题大用处：高中数学小问题集中营之必修一：集合：专题二-子集个数问题.doc

一、问题的提出根据所给条件确定一个集合子集的个数，综合一点的，常和与其他知识结合在一起进行考查，技巧性较强，使不少同学“望而生畏”，简单一点的，通常通过列举确定子集个数问题，而不少同学在列举时常出现遗漏与重复计数的现象，导致结果错误，鉴于上述两种情况，有必要对此问题作一下探讨。二、问题的探源1.子集的定义文字定义：一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）,记作 AB（或 BA）,读作：“A包含于B”（或“B包含A”）这时,我们也说集合A为集合B的子集.符号定义：若,有,则称AB.解读：(1)理解子集的概念时可赋予其通俗的现实意义,如公司的一个部门,学校中的某个班级等.(2)“A包含于B”中的“于”是“被”的意思,简单地说就是A被B包含.“”类似于“”,开口朝向谁谁就“大”.2.子集的性质1.自反性：任何一个子集都是它本身的子集,即.2.传递性：若,且,则.解读：理解子集的两个性质,可类比不等式的性质,如自反性可与“”类比,传递性可与“若,则”类比.3真子集如果AB,但存在xB,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）.4真子集的性质1. 空集是任何非空集合的子集.2.若A B,B C,则A C.解读：“若A B,B C,则A C”可与“若, ,则”类比.5.有限集的子集个数要确定非空有限集合A的子集的个数，一般需先确定集合A中的元素的个数，再求解若集合A中有n个元素,求它的子集个数,可用乘法原理：在一个子集中,每个元素都有被选中与不被选中两种可能,由乘法原理可知：A的子集个数为 ,由此可得到以下结论：若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n1,非空子集个数2n1,非空真子集个数为2n2.当集合的子集个数较少时，一般用列举法列出所有子集，其中不要忽略空集和集合本身三、问题的佐证【课本溯源】写出集合的所有子集【问题提出】问题1：空集有多少个子集？【答案】1个，即。问题2：有多少个子集？【答案】2个，即，。,问题3：写出集合的所有含有元素a的子集【答案】 问题4：集合有多少个子集？【答案】共16个，分别为， ，。【提醒】为了避免重复与遗漏，可按照子集中元素个数进行有顺序的列举，注意空集 与集合本身也是该集合的子集。【拓展探究】试把下面的探究题看成一个问题来分析和求解，实现多题归一。 已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,(1)集合A的含有6个元素的子集数是 _；(2)求满足1,2,3BA的集合B的个数是_；(3)满足的集合B的个数是_；(4)若C是A的含有4个元素的子集,且满足对任意或,则集合C的个数是_；已知，且满足，则，则集合C的个数是_.分析：(1) 用列举法：， ， 共7个；(2)写出4,5,6,7的子集,再加入元素1,2,3就是符合条件的集合B,所以B的个数等于集合4,5,6,7的子集数,即；(3)集合1,2,3的子集加入元素4,5,6,7就是符合条件的集合B,所以集合B的个数就是1,2,3的子集数,即；(4)根据题意,符合条件的子集有1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,1,2,4,5,1,2,5,6,1,2,6,7,2,3,5,6,2,3,6,7,3,4,6,7,共10个.根据，则，可知M中，若有元素1，必有元素7；若有元素2，必有元素6,若有元素3，必有元素5；故可把问题转化为确定含有以下4个元素：的集合的真子集个数，故答案为15. 四、问题的解决1已知集合，则集合的真子集的个数是（ ）A B C D2已知集合M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN，则P的子集共有（ ）A2个 B4个 C6个 D8个3已知集合，则集合P的真子集的个数为（ ）A3 B4 C1 D24满足条件的所有非空集合的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5.若集合，则的子集个数为（）A2 B3 C4 D166.已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D47已知集合，则集合的真子集共有 个8已知非空集合A、B满足以下四个条件：AB=1，2，3，4，5，6，7；AB=；A中的元素个数不是A中的元素；B中的元素个数不是B中的元素若集合A含有2个元素，则满足条件的A有 个9满足的所有集合的个数是 .10. 已知集合A=xR|x2-3x+4=0,B=xR|(x+1)(x2+3x-4)=0,要使APB,求满足条件的集合P.11.已知集合A =xN|-1x4,且A中至少有一个元素为奇数,则集合A共有多少个?并用恰当的方法表示这些集合.参考答案1D【解析】由题意可知共有个元素，所以集合的真子集的个数，故选D.2B3C【解析】由于，所以集合P只有一个元素，有个真子集4C【解析】满足条件的有如下：,共3个故选C5.C【解析】，的子集为6.D【解析】由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4满足ACB的集合C可以是1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4个77【解析】集合含有3个元素，则子集个数为，真子集有7个85【解析】集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，2不在A中，5不在B中，则A=1，5，B=2，3，4，6，7；A=3，5，B=1，2，4，6，7；A=4，5，B=1，2，3，6，7；A=5，6，B=1，2，3，4，7；A=5，7，B=1，2，3，4，6满足条件的A有5个故答案为：5910.由A=xR|x2-3x+4=0=,B=xR|(x+1)(x2+3x-4)=0=-1,1,-4,由APB知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为1或-1或-4或-1,1或-1,-4或1,-4或-1,1,-4.11.【解析】这样的集合A共有11个.因为xN|-1x4=0,1,2,3,又A =0,1,2,3且A中至少含有一个奇数.故A中只含有一个元素时,A可以为1,3,A中含两