（计算机软件与理论专业论文）基于emd的离散数字曲线曲面光顺方法研究.pdf

浙江工业大学硕士学位论文 基于e m d 的离散数字曲线曲面光顺方法研究 摘要 数字几何信号是一种非平稳 非线性的信号 传统的信号分 析方法如窗口傅里叶变换 小波变换等均有一定的限制难以取得 好的效果 经验模式分解 e m d 是一种新的非平稳 非线性信号分 析方法 它将复杂的非平稳信号逐步的分解成若干个具有不同特 征尺度的平稳的数据层与趋势项的叠加 使时 频同时局部化 具有自适应性 可以把奇异信号对处理结果的污染控制在最小范 围内 本文将数字曲线曲面视为离散几何信号 提出了一种基于 e m d 的数字曲线曲面的光顺算法 基于e m d 的离散数字曲线光 顺方法分为规则曲线 封闭曲线和任意曲线光顺 首先对数字曲 线进行一维参数化 将曲线展开成一维信号 然后采用e m d 对展 开信号进行多分辨率分解 得到不同尺度下的内蕴模式函数 i m f 去除高频的i m f 重构信号 最后将重构信号逆映射回二 维 得到光顺后的曲线 基于e m d 的离散数字曲面光顺方法比较 复杂 分为规则曲面光顺和非规则曲面光顺 规则曲面光顺主要 针对的是图像光顺 采用在水平以及竖直两个正交的方向上分别 进行曲线的e m d 光顺 再把光顺的结果叠加得到信号各层的二维 i m f 这样的做法减小了算法的复杂度 同时又保证了光顺的效果 浙江工业大学硕士学位论文 非规则曲面光顺即任意的扫描曲面 扫描点无规则排列 采用三 角剖分进行拟合上下包络面 然后根据e m d 方法插值得到平均 值 去除高频的i m f 重构信号 实现光顺效果 实验结果表明 本文算法可得到很好的曲线曲面光顺效果 本文算法在我们开发的医学图像三维重构 脚型建模和鞋楦曲面 重建等三个系统中得到具体应用 效果良好 关键宇 曲线光顺 曲面光顺 数字曲线 经验模式分解 e m d 内蕴模式函数 i m f d e l a u n a y 三角剖分 浙江工业大学硕士学位论文 r e s e a c ho nd i g i t a lc u r v e sa n d s u r f a c e ss m o o t h i n gm e t h o d b a s e do ne m d a b s t r a c t d i g i t a lg e o m e t r ys i g n a li sn o n l i n e a ra n dn o n s t a t i o n a r y t r a d i t i o n a l s i g n a la n a l y s i st o o l ss u c ha sf o u r i e rt r a n s f o r m w a v e l e tt r a n s f o r mc a n t d e c o m p o s e t h e g e o m e t r ys i g n a le f f i c i e n t l y e m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n e m d i san e ws e l f a d a p t i v em e t h o df o rn o n s t a t i o n a r y s i g n a la n a l y s i s i td e c o m p o s e sac o m p l e xn o n s t a t i o n a r ys i g n a li n t o s e v e r a ls t a t i o n a r yd a t al e v e l sa n dr e m a i n e dd a t al e v e lt os h o w st h ef i n a l t r e n d l o c a l i z e st h et i m e f e q u e n c ya tt h es a m et i m e e m dm e t h o dc a n a l s or e d u c et h ep o l l u t i o no fs i n g u l a r i t ys i g n a l i nt h i s t h e s i s an o v e lm e t h o df o rd i g i t a l c u r v ea n ds u r f a c e s m o o t h i n gb a s e do ne m di sp r e s e n t e d t h em e t h o df o rd i g i t a lc u r v e b a s e do ne m dc o n t a i n ss i m p l ec u r v e c l o s e dc u r v ea n dr a n d o mc u r v e s m o o t h i n g t h ea l g o r i t h m i s c o m p o s e do ff o l l o w i n gs t e p s f i r s t l y p a r a m e t e r i z e dt h ed i g i t a l c u r v ei n t o1d t r a n s f o r mt h ec u r v ei n t o1d s i g n a l s e c o n d l y d e c o m p o s et h e1ds i g n a li n t oac o l l e c t i o no fi n t r i n s i c m o d ef u n c t i o n s i m f b yu s i n ge m d t h i r d l y r e m o v et h eh i g h f r e q u e n c yi m f sa n dr e c o n s t r u c t i n g t h es i g n a l f i n a l l y m a p p i n gt h e i n 浙江工业大学硕士学位论文 r e c o n s t r u c t e ds i g n a lt o2 da n dt h es m o o t h i n gc u r v ei so b t a i n e d t h e m e t h o df o rd i g i t a ls u r f a c eb a s e do ne m dc o n t a i n sr e g u l a rs u r f a c ea n d n o n r e g u l a rs u r f a c es m o o t h i n gi sm o r ec o m p l e x r e g u l a r s u r f a c e s m o o t h i n g f o r i m a g e i s c o m p o s e d o f f o l l o w i n gs t e p s f i r s t l y d e c o m p o s i n gt h eh o r i z o n t a la n dv e r t i c a ls i g n a lb yu s i n gc u r v ee m d s e c o n d l y m a p p i n gt h er e c o n s t r u c t e ds i g n a li n t o2 da n dt h es m o o t h i n g s u r f a c ei so b t a i n e d i td o s en o to n l yr e d u c et h ec o m p l e x i t yb u ta l s og a i n e x c e l l e n tr e s u l t n o n r e g u l a rs u r f a c es m o o t h i n gn a m e l yf r e es c a n n i n g s u r f a c e w eu s ed e l a u n a yt r i a n g u l a t i o nt of i tt h ee n v e l o p es u r f a c ea n dg e t t h e a v e r a g ev a l u e t h e n r e m o v et h e h i 曲f r e q u e n c y i m f sa n d r e c o n s t r u c t i n gt h es i g n a l e x p e r i m e n t ss h o wt h a tg o o dr e s u l t s a r eo b t a i n e db yu s i n gt h e s m o o t h i n gm e t h o d w eg e tas p e c i f i ca p p l i c a t i o ni nt h es h o el a s ts u r f a c e r e c o n s t r u c t i o n 3 d r e s t r u c i o no nm e d i c a li m a g ea n df o o tm o d e l i n ga n d g e tg o o dr e s u l t s k e yw o r d s c u r v es m o o t h i n g s u r f a c e s m o o t h i n g d i g i t a l c u r v e s e m d i m f d e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所提交的学位论文是本人在导师的指导下 独立进行 研究工作所取得的研究成果 除文中已经加以标注引用的内容外 本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果 也不含为获得浙江 工业大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料 对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人承担本声明的 法律责任 作者签名 勤芎 日期 2 8 年4 月l 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文 被查阅和借阅 本人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在年解密后适用本授权书 2 不保密毗 请在以上相应方框内打 扩 作者签名 蜃杓荔 日期 2 释 日 刷程辄搦哗醐 斛蝴c o 日 i4 浙江工业大学硕士学位论文 1 1 概述 第一章绪论 计算机辅助几何设计的概念 c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n 简写为 c a g d 是b a m h i l l 和r i e s e n f e l d 在1 9 7 4 年美国犹太大学的一次会议上提出 用 来描述计算机辅助设计的数学形式 它的主要研究内容是 自由曲线 曲面的表 示 设计 显示 分析及规格处理等 它借助数学的理论和方法同时融合计算机 应用技术解决计算机辅助设计中的种种数学问题 建立数学模型 随着日益激烈的市场竞争 新颖独特的外观和流畅的线条设计也就更显重 要 光顺性对于产品的质量 美观以及物理承载力和精度要求等都有直接而且十 分重要的影响 特别是飞机 汽车 船舶以及家电的设计 不光顺的曲线曲面还 会影响制造工艺 所以在计算机辅助几何设计中的重要任务之一就是根据给定一 系列数据点产生一条光顺的曲线 但是 由于数字化过程中的误差影响 即使 运用最有效的 研究最透彻的曲线方法 如b 样条曲线 2 或n u r b s 曲线 仍然 无法直接得到令人满意的插值或拟合曲线 这样 对曲线进行光顺 便成了关键 的一个步骤 因此 曲线的光顺在工业界 尤其是制造加工业受到了越加广泛的 重视 同时 由于曲线的光顺判断最直接的是用眼睛去判断 在判断的过程中带有 主观因素 对寻求光顺准则和光顺算法造成了阻碍 光顺算法研究一直是令人感 兴趣又很困难的问题之一 1 2 曲线曲面光顺相关研究 1 2 1 光顺的准则 在c a g d 中 把用来改善几何实体中的不符合人意的特征方法定义为光顺 曲线曲面光顺是计算机辅助设计 c a d 和计算机辅助几何设计 c a g d 的关键 浙江工业大学硕士学位论文 技术之一 因为在逆向工程中 曲线曲面设计的原始数据往往来自实物测量数据 测量过程中不可避免的存在系统误差和随机误差 造成测量数据存在扰动 由这 些数据重构的曲线曲面是不光滑的 甚至出现波纹 皱折或锯齿 而几何光顺性 不好的产品在加工过程中会加大难度 增大成本 并且直接影响产品的性能和美 观 尤其是像汽车 飞机 轮船等对光顺精度有很高的要求 因此需要对设计的 曲线曲面进行光顺处理 光顺 和我们日常生活中经常说的 光滑 是两个不同的概念 不能混淆 光顺 是一个工程上的名词 而 光滑 是一个数学上的名词 一直以来对于 曲线光顺的准则是什么是存在争议的 每个学者都持有自己的观点 直观来说 直线 圆 圆弧等这些简单几何形状都公认为是光顺的 相反的 如果说一条曲 线拐来拐去 有很多尖点或许多拐点 那么就认为这样的曲线是不光顺的 此外 在船体数学放样中 通常认为在插值于给定型值点的所有曲线中 通过这些型值 点的弹性木样条是最光顺的 但很难给光顺下一个大家都认同的定义 光顺性 3 1 仍然是一个模糊的概念 因为光顺性涉及几何形状的美观性 难免带有主观因素 的影响 另外 在不同的实际问题中 对光顺的要求也各不相同 因此 迄今为 止对光顺性还没有一个统一的标准 在不同的文献中对光顺准则有不同的提法 我们只能根据光顺性的客观的一面提出光顺准则 不同的文献中对光顺准则的提法虽略有差异 但是有很多共同点 对于平面 曲线 光顺准则1 f a r i n 等提出 如果曲线相应的曲率曲线是连续的 有适当的 符号 如果曲线的凹凸性已知 且尽可能地接近一个有着尽可能少的单调段的 分段单调函数 就称这一条曲线是光顺的 光顺准则2 苏步青 刘鼎元等提出 1 二阶参数连续 2 没有多余拐点 3 曲率变化比较均匀 光顺准则3 施法中等提出 1 二阶几何连续 指位置 切线方向与曲率矢量连续 2 不存在奇点与拐点 2 浙江工业大学硕士学位论文 3 曲率变化比较均匀 4 应变能较小 光顺准则4 k j e l l a n d e r 提出 三阶导跳跃最大的地方曲线应该被光顺 光顺准则5 p o l i a k o f f 等提出 曲率平方七0 2 关于弧长的积分为最小作为光顺准则 对它往往做下面的线 b 性处理 即假设x f 中的f 表示弧长 那么 可以用面的简化形式e j 1 x f 1 2 出作 为光顺准则 至于空间曲线 马利庄和石教英给出了如下的光顺准则 1 二阶光滑性 1 曲线的二阶导矢连续 从而曲率连续 2 低次样条的曲线 二次 在节点的曲率可能有一个跳跃 此时要求跃度 和尽可能小 即 ik t k t t l c 1 1 2 不存在多余拐点 即不允许出现下述情况 1 曲线应出现g 个拐点 而拟合 插值 逼近 时出现了多于g 个拐点 2 不应该出现拐点的地方出现了拐点 3 曲率变化比较均匀 当曲线上的曲率出现大幅度改变时 尽管没有多余 拐点 曲线仍不光顺 因此要求光顺后曲线的曲率变化比较均匀 4 不存在多余变挠点 5 挠率变化均匀 类似于曲线 曲面的光顺也有自己的准则 3 1 但曲面光顺的准则就要比曲线 光顺复杂多了 也更难精确给出 有一种提法是 用任意一张平面与曲面的截口 曲线的光顺性作为曲面的光顺性判据 但这个准则很难以付诸实用 在实际应用中 样条曲面的网格线的光顺性可以依照曲线光顺准则判断 如 果经过光顺处理后 沿u v 两个参数方向的网格线都达到了光顺要求 样条曲面 也就是有了一个合乎光顺要求的网格骨架 但是想要达到双向网格线都光顺并不 是一件容易的事 因为对一个方向网格线进行的光顺处理 将影响到另一方向网 3 浙江工业大学硕士学位论文 格线 很可能原来己经合乎光顺要求的网格线遭到破坏 因此改动一个数据点 要考虑到对该点的两条网格线的影响 光顺处理沿两个参数方向交替反复进行 直至达到双向网格线的光顺性都合乎要求 然而 曲面网格线光顺了 不等于样 条曲面就光顺了 就单一曲面片来说 四条边界光顺了 不等于曲面片内部形状 也光顺了 因为四条边界可以保持不变 仅改变双三次曲面片的角点混合偏导矢 将影响曲面片的内部形状 对整张样条曲面也存在这个问题 因此 有必要给出 曲面光顺的准则 1 一些关键的曲线 比如说飞机或船舶曲面的骨架线 需要是光顺的 2 网格线没有多余拐点 或平点 和变挠点 3 主曲率 低次曲面 在节点处的跃度和足够小 4 高斯曲率变化均匀 而n o w a c k i 和r e e s e 认为 对于曲面 其光顺性应与矩形弹性薄板在小挠曲 变形下的应变能有关 对于实际目的来说 因其理论应变能公式太复杂 建议了 一个简化近似的应变能公式 e 肚 霹 凼 卜2 即曲面的应变能为主曲率墨 砭的平方和在整张曲面上的积分 曲面的光 顺准则就是使由这样的积分表示的应变能量小 但上述积分式是小挠曲变形下给 了的 对于大挠曲是否适用沿未可知 还有以中曲率k 毕或绝对曲率 z i kl i i 作为曲面光顺准则等 1 2 2 国内外关于曲线曲面光顺的研究 国际上对光顺的研究开始在6 0 年代初 最主要的应用是船体数学放样 目 前曲线曲面光顺的研究主要集中在参数曲线曲面 4 7 1 曲线曲面光顺方法根据选 点情况不同可以分为两种类型 局部光顺方法和整体光顺方法 引 如果每次仅修 改少数型值点 称为局部光顺法 各种选点修改法都属于这一类型 对于数据点 密集型的曲线曲面就不适合使用此方法 因为当点的密集程度太大 无法用肉眼 选定需要修改的型值点 就没有办法光顺 如果每次修改全部型值点 称为整体 光顺法 如最小二乘法 9 能量法 l o 小波方法 1 1 1 等 4 浙江工业大学硕士学位论文 1 9 6 9 年 h o s a k a 在能量极值原理的基础上给出了一种包括光顺空间曲线和 大挠度曲线在内的光顺方法 其基本思想跟最小二乘法一样 是偏离和光顺两部 分的加权平均 不同之处在于采用累加弦长三次参数样条作为拟合曲线 且目标 函数中的剪力跃度改成样条的能量积分 1 9 8 3 年 k i e i l a n d e r 提出一种参数三次样条曲线和双参数样条曲面的局部光 顺方法 该方法利用与坏型值点相邻的两个型值点和这两点处的切矢信息 在允 许误差范围内将坏点移动到较好的位置以得到光顺的曲线 该方法是局部修改型 值点 故只对坏点进行处理 而不需改变全部型值点 但它不能从理论上证明修 改后的曲线比原曲线光顺 1 9 8 7 年 法林 f a r i n 等提出了一种通过 节点消去与插入 对b 样条曲线 进行光顺的方法 该方法是局部选点修改法 依据所给定的光顺准则 找到曲线 上需要修改的点所对应的节点 利用b 样条曲线的节点消去该节点 以使曲线 在该节点对应的点处的光顺性得到提高 此后 为了保持曲线的节点结构不变 再重新插入被消去的节点 国内学者在光顺处理方面也作了一些有益的探索 1 9 7 4 年 山东大学和沪东造船厂协作 在船体数学放样的实践中 提出了 圆率法 该方法是局部选点修改法 直接从离散型值点分布的几何位置出发判断 型值点列的光顺性 进而找出坏点予以光顺修改 故偏差不会像整体光顺法那样 大 同年 苏步青和忻元龙提出了基样条法 该方法首先构造插值三次样条函数 然后找出使曲线二阶导数符号序列连续变号的点进行初光顺 以消除多余拐点 再找出使二阶导数插分符号序列连续变号的点进行精光顺 光顺过程采用剪力跃 度平方和作为目标函数 1 9 7 5 年 齐东旭等提出了一种强调保凸性质的数值拟合方法 称为磨光法 该方法首先利用构造的磨光函数对原曲线进行磨光 同时强调保凸 若这样处理 的偏离太大 则再采用一种叫做 盈亏修正 的方法进行补救 一般来说 经过 修正以后的磨光函数将更接近于原型值点 使得偏离变小 1 9 7 8 年 董光昌提出了回弹法 该方法通过新老两组型值点交替的固定和 回弹 使样条的能量逐次减少 曲线也就趋向光顺 可以看作是一种迭代逼近的 5 浙江工业大学硕士学位论文 能量法 它把平直段的坏点挑出来加以局部处理 保证了曲线的弯曲方向 能量法是现有的曲面光顺 1 2 以4 的算法中应用最为广泛的处理方法 它的基本 思想就是让曲面的整体能量在一定的约束条件下面达到最小 这个方法的最大特 点是具有很强的又成熟的物理背景 经过光顺处理后得到的曲面整体效果非常 好 能量法曲面光顺的基本原理是采用 弹性薄板的应变能力较小 为光顺的准 则 它假想在数据点与曲面之间连接着弹簧 来光顺有误差的散乱数据点集 它 并不要求数据点集是有序的 因此可以克服 光顺 和 插值 的矛盾 从而使 曲面可以得到所需的形状 它进行曲面光顺的处理的最优表达式为 rm i n e v 1 d d 窆羔 屹一瑶 z s 跳转到 b 否则 c f 红 c i 即为第歹个内蕴模式分量 这里占 般取0 2 0 3 最终可把原始信号表示成式 2 3 形式 x y c r 智 一 2 3 当q 分量或是余数兄变得非常小的时候 或是当余数变成一个单调函数的 时候 就无法提取出更多的内禀性模式函数 可以停止分解过程 2 4 例子详解 e m d 方法分解将一个非平稳信号分解成若干个内禀性模式函数和一个趋于 常量或是缓慢变化的单调函数 下面以一个仿真信号来描述e m d 分析方法 1 7 i 一搴g刁爱 孵口c鼙多 浙江工业大学硕士学位论文 厂 f 口s i i l 2 万卵 b s i n 2 7 r f 2 t 1 t c s i n 2 7 r f 3 t 1 t 2 4 式 2 4 所示的仿真信号是由三个模拟信号叠加而成 一个为频率固定的正 弦信号 另外两个为瞬时频率各异的线性调频信号 式中的口 b c 分别对应其幅 值 而石 f 2 t 1 a t 1 分别表示其瞬时频率 在一定的时间历程中 可 能会出现一定的频率重叠现象 此时对其原始数据进行a r 模型分析 会造成分 析误差 但是因它们的瞬时频率完全不同 故通过e n i d 分解可有效的将其分离 开来 取a 1 0 b 5 c 1 0 z 5 h z 五 1 0 h z 六 1 5 h z 仿真信号及e m d 分解各内蕴模式分量的时域波形如图2 8 所示 这里只给出部分数据 采样频率 为1 0 0 0h z 图中 a 为原始信号 b d 分别表示组成原始信号的三个分量 e 是信号e m d 的趋势分量 如图2 8 所示 对于复杂的多瞬时频率信号 经过e m d 分解可有效的分解 到各个模式分量中 在此基础上对各个模式分量 或者对感兴趣的模式分量 建 立a r 模型 实现自回归分析 从而将系统特征信息更清楚 更准确的表达出来 笛 o 2 s i o 0 i o 5 o 5 图2 8 仿真信号及e m d 分解分量时域波形 浙江工业大学硕士学位论文 2 5 本章小结 本章简单列举了目前的光顺算法存在的两个缺点 对密集点型曲线的算法复 杂度太高和无法选取要修改的 坏 点 介绍了与e m d 相关的包括内禀性模式 函数在内的几个数学概念 详细介绍了e m d 算法的理论基础 e m d 算法应用 的两个前提条件以及算法实现步骤 举例说明了e m d 算法的实现过程和结果数 据 1 9 浙江工业大学硕士学位论文 3 1 概述 第三章基于e m d 的离散数字曲线光顺方法 对于离散数字曲线 采用e m d 分析方法进行分解 计算的复杂度比上述方 法小 适用的范围广泛 该方法首先对曲线进行一维参数化 即将曲线展开成一 维信号 然后对展开的一维信号进行e m d 的多分辨率分析 去除平均频率较高 的内蕴模式分量 重构信号 最后将重构的一维信号逆映射回二维 得到光顺后 的二维数字曲线 由于曲线的复杂性 我们需要采用不同的一维参数化方法 在二维离散数字曲线中 根据其形态的不同把曲线大致分为三类 1 简单曲 线如图3 1 所示 2 简单封闭曲线如图3 2 所示 3 任意曲线如图3 3 所示 图3 1 简单曲线图3 2 简单封闭曲线 图3 3 任意曲线 简单曲线指规则的高频信号和低频信号的叠加 曲线本身很简单 完全符合 进行e m d 方法进行分解的前提条件 可以看成是一维的信号 简单封闭曲线是 高频信号和封闭圆的叠加 其可以看成分布均匀的物质 首先求出质心的坐标 然后转化成极坐标形式 最后展开成一维信号进行e m d 处理 任意曲线如图3 3 曲线 它具有任意性 但却是实际生活中最常见的 也是最复杂的形式 它的表 现没有一定的形式 从形式上看还是二维的曲线 如果要利用e m d 方法进行分 解必须要进行一些预处理 使其符合条件 本文首先估计一条大致的平均线作为 基准线 再按法向量到原曲线的距离值作为光顺量进行展开成一维信号处理 最 后映射回到原来曲线 浙江工业大学硕士学位论文 3 2 简单曲线的e m d 光顺方法 e m d 方法主要通过三次多项式样条曲线 3 4 3 6 1 插值信号的极大值点和极小值 点 拟合信号的上下包络线 进一步计算瞬时平均包络 迭代筛选以获得适合计 算瞬时相位和瞬时频率的i m f s 提取信号的局部特征 3 2 1 三次样条曲线拟合 高次插值函数的计算量大 有剧烈振荡 且数值稳定性差 在分段插值中 分段线性插值在分段点上仅连续而不可导 分段三次埃尔米特插值有连续的一阶 导数 如此光滑程度常不能满足物理问题的需要 样条函数可以同时解决这两个 问题 使插值函数既是低阶分段函数 又是光滑的函数 并且只需在区间端点提 供某些导数信息 定义1设在区间 口 b 上取n 1 个节点 a x o 西 毛 b 函数 y f x 在各个节点处的函数值为 厂 而 o o 1 n 若s x 满足 1 s 薯 乃 i 0 1 n 2 在区间 b 上 s x 具有连续的二阶导数 3 在区间 而 而 i o 1 n 1 上 s 工 是x 的三次多项式 则称s 力是函数y 厂 功在 口 6 上的三次样条插值 此时 样条函数s x 称为周期样条函数 且有 s x o o s 瓦一o s 而 o s 吒一o 由于s x 在每个小区间都是三次多项式 因此定义第i 段曲线为 墨 z q 岛 x 一五 q z 一再 2 d i x x 1 3 3 1 其中x 毛 靠 汪o 1 n 1 式中的a i 6 f q d i 为待定系数 设曲线段以易 a 为端点 故有 2 1 浙江工业大学硕士学位论文 s 而 咒 a i s 而 坛 咒 6 f 吃 c h 7 喀譬 鬼 一 又 功 岛 2 q 鼍一一 3 盔 鼍 x i 2 薯 岛 3 2 由于s 曲7 芷 p i 处一阶导数连续 故 h s i 即 岛 2 c i h i 3 d i h 2 b l 3 3 由式 3 2 3 3 联立 求出q 4 代入式 3 1 得n 驰m 州卜咖c 毪产一半 训2 学一鼍产 卅3 o 0 1 n 1 由于s 工 的二阶导数在型值点p 处连续 故有 硅 z g 功 对s x 求导联合式 3 5 得到 s i c 班2 幸c 鼍产一半 对上式加上一定的边界条件就能得出结果 3 2 2 算法设计与实现 3 4 3 5 3 6 简单曲线已经符合进行e m d 光顺的两个前提条件 可以直接利用e m d 方 法进行光顺 设曲线信号为x f 则简单曲线的e m d 光顺步骤为 第一步 找出曲线上的极值点集 包括极大值点集和极小值点集 数字曲线 是一个离散的点集 求极值点很方便 只需要判断当前点和前后两个点的大小 如果前一个点跟后一个点都比当前点大 那么当前点就是极小值点 如果都比当 前点小 那么当前点就是极大值点 对于特殊情况 如当前点跟前一点值相等 严格来讲并不符和极值点的定义 但可以根据曲线的特殊性需求来决定将它设定 2 2 浙江工业大学硕士学位论文 为极值点还是普通点 另外起始点和末尾点的处理可以根据边界的处理方法处 理 第二步 用三次样条曲线拟合极大值包络和极小值包络 拟合出上下包络 这样就将原信号完全的包括起来 第三步 求出上下包络的代数平均值 这个代数平均值就是我们曲线光顺的 结果 m i 竖 塑 3 6 2 第四步 计算终止条件s d 如果s d 大于阈值 就需要继续分解 算法流程图如图3 4 所示 3 2 3 试验结果与分析 图3 4 流程图 图3 5 所示的曲线是一个高频的函数 一个低频的函数和一条直线的叠加 曲线形状简单 直接采用简单曲线的算法步骤 经过e m d 方法光顺的每一步结 果如图3 6 和3 7 所示 图3 7 中的结果曲线保留了原曲线的形态趋势 但去除 了高频部分的噪声 浙江工业大学硕士学位论文 图3 5 原信号 图3 6 极值点和上下包络线 图3 7 一次光顺的结果 3 3 封闭曲线的e m d 光顺方法 3 3 1 算法设计与实现 封闭曲线是简单封闭且与圆同构的曲线 是一种特例 由于封闭曲线不能直 接看成是一维的信号 对x 或是y 也没有办法求取极值 为了使它能够用e m d 方法进行光顺 我们需要在读入数据之后 将原曲线展开成一维的信号 封闭曲线如图3 8 所示 基于e m d 的光顺步骤如下 第一步 根据曲线的特殊性 首先由输入点的坐标计算曲线的质心坐标 因 浙江工业大学硕士学位论文 为封闭曲线是与圆同构的 所以可以利用极坐标将点的表示形式从p 薯 z i 转 化成p 房 佛 以质心为极点建立极坐标系 将三维表示形式转换成二维表示形 式 大致估计质点的坐标为x 垦凸 量 盟 刀 如图3 9 苎 丝 丝 丝 刀 图3 8 原信号图3 9 质心 第二步 计算出质心坐标之后 就能很方便的计算曲线上每个离散点的极坐 标尸 岛 岛 待o 1 n 谚 o 2 7 t 将离散点按p p 展开 得到一维离散信 号 对离散点用3 次b 样条曲线拟合 可以得到连续的一维信号 这样就满足了 e m d 光顺的前提条件 如图3 1 0 所示 p 0 图3 1 0 锥信号 第三步 展开成一维的离散信号之后 光顺方法又回归到简单曲线的光顺方 法问题上 利用前后两点的值与当前点值进行比较求出极大值点集和极小值点 集 第四步 用三次样条曲线插值极大值点集和极小值点集 求出上包络和下包 络 第五步 根据上下包络计算出代数平均数 肌 华 去除高频的m f 如图3 1 1 所示 第一条曲线是求出了上下包络线 第二条曲线是提取出的高频 信号 第三条曲线是光顺一次后的曲线也就是平均值 浙江工业大学硕士学位论文 图3 1 1e m d 分解 第六步 将代数平均数根据p 一口重新映射回原始数据中 得到新的坐标 即得到光顺后的数字曲线 如下图3 1 2 所示 图3 1 2 结果信号 具体的算法流程图如下图3 1 3 所示 浙江工业火学硕士学位论文 3 3 2 试验结果与分析 图3 1 3 流程图 算法中介绍的例子具有特殊性 日常生活中的曲线很少是类同于以上曲线 但是这个算法对于不规则的封闭曲线也是同样适用的 不规则的封闭曲线按照上 面的算法进行光顺 得到的结果如图3 1 7 所示 浙江工业大学硕士学位论文 图3 1 4 原信号图3 1 5 质心 图3 1 6e m d 分解图3 1 7 结果信号 由于e m d 是一种自适应分解 本文只对展开信号作1 次e m d 分解 如果 原始曲线包含多种杂波噪声 用户可根据需要进行2 次或多次e m d 分解 得到 不同尺度的i m f s 去掉高阶的i m f 则可得到更光顺的曲线 当然 去掉多个 i m f 会造成滤除噪声的同时去除了曲线的细节特征 因此 分解的次数要根据具 体应用而定 3 4 任意曲线的e m d 光顺方法 3 4 1 算法设计与实现 更多的情况是曲线一点规则也没有 甚至没有封闭 这种曲线不能按照求质 心转成极坐标的形式来展开 为此 本文提出构造一基准曲线 沿此基准曲线进 行一维展开的方法 这种方法相对前面的算法更为复杂 但其适用性也更广 对 曲线基本没有形状上的要求 如图3 1 8 所示的曲线为例 讨论任意曲线e m d 光顺的步骤 浙江工业大学硕士学位论文 图3 1 8 第一步 计算图3 1 8 原始曲线上每一点的曲率 求出曲线上曲率局部极点 巧 计算每个相邻的曲率极值点的中点m 得到由曲线起点m o 中点鸩 终 点m 构成的点序列 用3 次b 样条曲线拟合此点序列 该拟合曲线为基准曲线 如图3 1 9 所示 第二步 对基准曲线进行等距采样 采样点为层 计算基准曲线上露点的法 矢量 并过只作基准曲线的法线与原始曲线交于q 点 毋到q 的距离记为 如图3 2 0 所示 第三步 令 为点只到起点只的弧长 对原始曲线上点q 依基准曲线l h 展 开 得等距展开的一维信号 如图3 2 1 所示 第四步 对图3 2 1 一维信号进行e m d 分解 对于边界点 起点和终点 处 的极大值和极小值都取边界点的值 如图3 2 2 所示 图3 2 2 上图为一维信号的 极大值 极小值包络 图3 2 2 中图为e m d 一次分解的m 伍 图3 2 2 下图为e m d 一次分解的剩余分量 第五步 去除1 次分解的i m f 重构信号 依采样间距2 对重构信号采样 得到忽处理后对应的值巧 第六步 对基准每点名法线上的距离值吩 用群更新名 得到新的点g 由新点序列纠构成的数字曲线即为光顺后的结果曲线 如图3 2 3 所示 浙江工业大学硕士学位论文 m m 图3 1 9 曲率极值点及基准曲线的确定 雹 尸莎一 淤t 图3 2 0 基准曲线点到曲线的法向距离 i 八八 厂 八八八 一 v vvv vv v 2 图3 2 1 按 一h 展开的一维信号 图3 2 2 一维信号的e m d 一次分解 算法流程如下图3 2 4 所示 图3 2 3 光顺后曲线 孥气 警公 公 矿 墟 驴 浙江工业大学硕士学位论文 3 4 2 试验结果及分析 图3 2 4 流程图 以日常生活中最常见最随意的曲线作为试验用例 用上面介绍的任意曲线的 e m d 光顺方法可以得到如图3 2 5 所示的结果 3 l 浙江工业大学硕士学位论文 图3 2 5 左列为原始曲线右列为光顺后曲线 3 5 数字曲线光顺性能分析比较 基于e m d 的离散数字曲线光顺时间上的分析如表 3 1 所示 单位 秒 其中预处理时间指将曲线一维参数化所消耗时间 由于简单曲线已经是一维曲 线 所以其预处理时间为零 任意曲线的总时间最长 主要原因是其涉及到了多 次计算 但通过时间比较 可以看出基于e m d 方法进行光顺是快速高效的光顺 方法 3 2 佘缎z 冷徐 浙江工业大学硕士学位论文 表 3 1 各类型曲线每一步骤花费的时间 光顺一次后预处理时 上下包络e m d 时 曲线类型 原曲线 总时间 的结果间拟合时间间 简单曲线 洲 0 0 0 0 00 0 0 9 5 0 0 0 1 6o 0 1 1 2 r 卜广 八 o 0 0 0 1 80 0 1 2 80 0 0 1 80 0 1 6 4封闭曲线 任意曲线 徐住 0 0 0 5 8o 0 1 6 30 0 0 8 20 0 3 0 3 3 6 边界处理 在e m d 中 边界的有效处理是保证信号分解与重构精度的关键技术 由于 边界点处的极大值和极小值是一估计值 造成均值曲线在边界处的不精确 从而 导致各i m f 在边界处的不精确 随着e m d 分解层次的增多 边界误差有向内部 扩散的趋势 对边界点的极值估计 已有很多学者进行了深入研究 提出了一些 有效的处理方法 3 7 1 在数字曲线光顺中 如果曲线是与圆同构的 首先建立极坐标 向圆周上映 射 曲线是封闭的 不存在边界问题 我们先在极坐标上建立极大值和极小值包 络 然后将包络曲线及原始曲线一起展开到一维上 因此 边界点的极值是精确 的 而对于任意曲线 如果要求曲线在光顺前后起点和终点的位置不变 可采用 边界处极大值和极小值均等于起点和终点 如果边界点可变 则可以采用文献 1 8 2 0 的边界点极值估计方法 浙江工业大学硕士学位论文 3 7 本章小结 e m d 是一种新的非线性 非平稳信号分析方法 在一维信号处理中得到成 功应用 在逆向工程中 曲线 曲面建模通常源于由实物表面获取的离散点集 而这些点通常存在噪声 从而造成重构的曲线 曲面存在不光滑现象 因此 曲 线 曲面的光顺在c a d 中有着重要应用 本文将数字曲线看成离散几何信号 显然 这种离散几何信号是非线性 非平稳的 本文将e m d 应用于数字曲线的 光顺处理中 提出了两种将数字曲线展开成一维信号的方法 实现了一维信号的 e m d 分解 去除e m d 一次分解的i m f 重构信号 并逆映射回二维 得到光 顺后的数字曲线 算法的关键在于曲线的一维参数化 实验结果表明 此方法可 得到很好的光顺效果 此方法可推广到三维情形 实现三维曲线 曲面的光顺处 理 浙江工业大学硕士学位论文 4 1 概述 第四章基于e m d 的离散数字曲面光顺方法 4 1 1 基于e m d 的离散数字曲面光顺方法 对曲线光顺的进一步研究就是对曲面进行光n t 3 8 4 0 1 曲面根据扫描数据点的 规则性分为规则曲面与任意曲面 规则曲面点与点的间距是相等的 主要针对图 像 把图像的灰度值看成z 坐标 图像的光顺就可以看成是规则曲面光顺 本文 参考小波变换方法从一维推广到二维的张量积方法 将曲线的e m d 分解方法过 渡到曲面上 利用二维可分离的筛选过程 在曲面的水平及竖直两个正交的方面 上分别进行曲线的e m d 光顺 再把光顺的结果叠加得到信号各层的二维i m f 这样的做法减小了算法的复杂度 又保证了光顺的效果 任意曲面即是散乱的扫 描点 由于散乱的特点 很难将数据点分成u 跟v 方向 本文采用e m d 的经 典三步骤 求出极值点集后三角剖分拟合上下包络曲面 插值求出平均值 去除 高频的i m f 得到光顺结果 在曲面的光顺过程中 对于边界问题和终止条件等问题可以参照曲线的处理 方法 规则曲面算法的基本思想是 首先将曲面的每一个行向量看成一个一维信 号 然后根据曲线的e m d 光顺方法求出行向量上的极值点集 用三次样条拟合 上 下包络并求出行包络的平均值 用这个平均值代替原来的数据 再将曲面的 第一个列向量看成是一个一维信号 同样根据曲线的e m d 光顺方法求出列向量 上的极值点集 用三次样条拟合上 下包络线并求出包络的平均值 直到平均值 满足我们假定的终止条件 结束e m d 分解 非规则曲面的算法基本思想是 用 三角剖分找出曲面上各点的邻接点 根据邻接关系确定边界点并且找出极大值点 集和极小值点集 同时假定边界点既是极大值点又同时是极小值点 然后再三角 剖分拟合上下包络面以及插值求出平均值 直到平均值满足假定的终止条件 结 束e m d 分解 3 5 浙江工业大学硕士学位论文 4 2 规则曲面 维图像 的e m d 光顺方法 随着科学技术的快速发展 图像处理技术是现代信息处理领域中的一项非常 重要的技术 并已在计算机视觉 航空摄影测量 地球资源勘探 气候气象预测 生物医学工程 目标识别与跟踪等领域得到了广泛的应用 作为二维信号处理技 术 图像处理己成为信息化社会和国防建设中的重要支撑技术 具有十分广泛的 发展和应用前景 图像处理的方法依据对原始图像信号的处理变换域不同可以分 为两大类 空间域方法与频率域方法 空间域方法直接对图像中的各个象素点进 行运算处理 以灰度或色彩映射变换为基本出发点 频率域方法则是应用各种频 率变换技术把原始图像变换到频率域中进行处理 这样一些在空间域中难以提取 的信号特征就变得容易获得 使得对图像信号的处理更具有本质性和有效性 同 时计算方法也得到了简化 经典的傅立叶分析只能把信号分解成单个的频率分量 并建立起每一个分量的相对强度 但是能量频谱并不能表示出哪些频率在什么时 候什么地方出现 时一频分布使我们能够知道在某一特定的时间 空间 和频率 范围内有多少能量 并能够计算在某一特定时间 空间 的频率分布 是信号处理 强有力的工具 时频分析在二维图像信号处理中也叫空频分析 是分析图像本征 组成结构与性质的重要工具 二维图像具有非平稳非线性的特点 非常适合用 e m d 方法来光顺 另外 二维图像的像素p i x e l x y g r a y 中的灰度值可以看成 是曲面中的z 坐标 所以对二维图像进行e m d 方法光顺是曲面光顺的一种特殊 情况 在对二维图像进行光顺的时候 由于信息存储是一个规则的二维矩阵 很 大程度上降低了算法的复杂度 4 2 1算法设计与实现 由于曲面一般是由扫描得到三维的坐标 因此可以直接用作进行e m d 分析 的原始信号 但图像信息一般是用一定的格式存储 对于图像里面的每一个像素 点并没有我们所说的三维信息 所以得到一幅图像数据时要先分析里面的数据 定义出类似曲面的三维坐标 位图实际上是一个像素值阵列 像素阵列存储在一 个字节数组中 每一个像素的位数可以是1 4 8 或2 4 单色位图的字节数组 中的每一位代表一个像素 1 6 色位图的字节数组中每一个字节存储两个像素 3 6 浙江工业大学硕士学位论文 2 5 6 色的位图每一个字节存储一个像素 而真彩色位图中每个像素用三个字节来 表示 我们把当前像素长度的所在位置定义为x 宽度的所在位置定义为y 灰 度值定义为z 得到p i x e l x y z 在提取出像素的三维坐标信息前要先了解一 下图像存储的格式 位图文件可以分成三个部分 文件头 位图信息和位图像素 数据 文件头的数据主要用b i t m a p f 几e h b 牺e r 来存储 t y p e d e f s t r u c tt a g b i t m a p f i l e h e a d e r w o r d b f r y p e d w o r d b f s i z e w o r d b f r e s e r v e d l w o r d b f r e s e r v e d 2 d w o r db f o f i b i t s b i t m a p f i l e h e a d e r 位图数据记录了位图的每一个像素值 记录顺序在扫描行内是从左到右 扫 描行之间是从下到上 位图的一个像素值所占的字节数 当b i b i t c o u n t l 时 8 个像素占1 个字节 当b i b i t c o u n t 4 时 2 个