（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第35练 与抛物线相关的热点问题 理.doc

第35练与抛物线相关的热点问题题型一抛物线的定义及其应用例1设p是抛物线y24x上的一动点，(1)求点p到a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值；(2)若b(3,2)，抛物线的焦点为f，求pbpf的最小值破题切入点画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题解(1)由于a(1,1)，f(1,0)，p是抛物线上的任意一点，则appfaf，从而知点p到a(1，1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和的最小值为，所以点p到a(1,1)的距离与p到直线x1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点b作bq垂直于抛物线的准线于点q，交抛物线于点p1，此时p1qp1f，那么pbpfp1bp1qbq4，即pbpf的最小值为4.题型二抛物线的标准方程及性质例2(1)设m(x0，y0)为抛物线c：x28y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、fm为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是_(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.破题切入点准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答答案(1)(2，)(2)2解析(1)x28y，焦点f的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知fmy02.以f为圆心、fm为半径的圆的标准方程为x2(y2)2(y02)2.由于以f为圆心、fm为半径的圆与准线相交，又圆心f到准线的距离为4，故42.(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则a(2，2)，将其坐标代入x22py得p1.x22y.水位下降1 m，得d(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得x6，x0.水面宽cd2 m.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知抛物线c：y22px(p0)过点a(1，2)(1)求抛物线c的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由破题切入点(1)将点代入易求方程(2)假设存在，根据条件求出，注意验证解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线c的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由得y22y2t0.因为直线l与抛物线c有公共点，所以48t0，解得t.由直线oa到l的距离d，可得，解得t1.又因为1，)，1，)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.总结提高(1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y22px关于y轴、直线xy0与xy0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y22px绕原点旋转90或180也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2p2，x1x2；若直线ab的倾斜角为，则ab；若f为抛物线焦点，则有.1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点p(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为_答案4或4解析设标准方程为x22py(p0)，由定义知p到准线的距离为4，故24，所以p4，则方程为x28y，代入p点坐标得m4.2若抛物线y28x的焦点是f，准线是l，则经过点f，m(3,3)且与l相切的圆共有_个答案1解析由题意得f(2,0)，l：x2，线段mf的垂直平分线方程为y(x)，即x3y70，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x3y70上，故a3b70，a73b，由题意得|a(2)|，即b28a8(73b)，即b224b560.又b0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个3已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，p、q是抛物线上的两个点，若pqf是边长为2的正三角形，则p的值是_答案2解析依题意得f(，0)，设p(，y1)，q(，y2)(y1y2)由抛物线定义及pfqf，得，yy，y1y2.又pq2，因此|y1|y2|1，点p(，y1)又点p位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得pf2，由此解得p2.4(2014课标全国改编)设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为_答案解析由已知得焦点坐标为f(，0)，因此直线ab的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立抛物线方程化简得4y212y90，故|yayb|6.因此soabof|yayb|6.方法二联立方程得x2x0，故xaxb.根据抛物线的定义有abxaxbp12，同时原点到直线ab的距离为h，因此soababh.5已知抛物线y28x的准线为l，点q在圆c：x2y22x8y130上，记抛物线上任意一点p到直线l的距离为d，则dpq的最小值为_答案3解析如图所示，由题意，知抛物线y28x的焦点为f(2,0)，连结pf，则dpf.圆c的方程配方，得(x1)2(y4)24，圆心为c(1,4)，半径r2.dpqpfpq，显然，pfpqfq(当且仅当f，p，q三点共线时取等号)而fq为圆c上的动点q到定点f的距离，显然当f，q，c三点共线时取得最小值，最小值为cfr2523.6过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若af3，则aob的面积为_答案解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0)，又af3，由抛物线定义知：点a到准线x1的距离为3，点a的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点a的纵坐标y2，a(2,2)，直线af的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知b，saobof|yayb|1|2|.7过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a，b两点，若ab，afbf，则af_.答案解析2，abafbf，af0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a、b两点，若abf为等边三角形，则p_.答案6解析因为abf为等边三角形，所以由题意知b，代入方程1得p6.11(2014大纲全国)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，直线y4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且qfpq.(1)求c的方程；(2)过f的直线l与c相交于a、b两点，若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点，且a、m、b、n四点在同一圆上，求l的方程解(1)设q(x0,4)，代入y22px得x0.所以pq，qfx0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以c的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故设ab的中点为d(2m21,2m)，ab|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设m(x3，y3)，n(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故设mn的中点为e(2m23，)，mn |y3y4|，由于mn垂直平分ab，故a，m，b，n四点在同一圆上等价于aebemn，从而ab2de2mn2，即4(m21)2(2)2(2m)2，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.12(2014湖北)在平面直角坐标系xoy中，点m到点f(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点p(2,1)，求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解(1)设点m(x，y)，依题意得mf|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点m的轨迹c的方程为y2(2)在点m的轨迹c中，记c1：y24x(x0)，c2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.(*1)当k0时，此时y1.把y1代入轨迹c的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹c恰好有一个公共点(，1)当k0时，方程(*1)根的判别式为16(2k2k1)(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即当k(，1)(，)时，直线l与c1没有公共点，与c2有一个公共点，故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点()若或由(*2)(*3)解得k1，或k0.即当k1，时，直线l与c1只有一个公共点，与c2有一个公共点当k，0)时，直线l与c1有两个公共点，与c2没有