圆锥曲线做题技巧,含答案.doc

一椭圆1.椭圆方程的第一定义：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数的点的轨迹，且此常数一定要大于。 2. 圆锥曲线的第二定义：3. 椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x轴上：. 中心在原点，焦点在轴上：. 一般方程：.椭圆的标准方程： 的参数方程为（）.准线：或.离心率：随手练例1. （1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（ C ） A B C D例2.（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为 4. 【求椭圆标准方程方法技巧】1求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A0，B0且AB)，这种形式在解题中更简便2椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏【涉及离心率及焦点方法技巧】（1） 在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围较多时候利用 解题；（2）对焦点三角形的处理方法，通常是运用.4.若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）.答案：设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a又 得到所以所以 所以三角形面积为【直线与椭圆位置关系判断方法】1.(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2BxC0.记该一元二次方程根的判别式为，若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系（3）弦中点问题，适用“点差法”.【方法规律技巧】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题来源:学#科#网（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或或求距离例3、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 的最小值为 思路：椭圆第一定义；例4、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。 答案：椭圆第一定义 MA=R-rx MB=r+rxMA+MB=R+r=82 所以圆心M形成椭圆： 二：双曲线1、 双曲线及其标准方程(1)第一定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹注：若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.(2)第二定义：(3)标准方程：焦点在x轴， 焦点在y轴， 一般方程：（4）等轴双曲线： 双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. (5)共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2.双曲线的焦点判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上。对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3.双曲线的方程与渐近线方程的关系若双曲线方程为渐近线方程：；若渐近线方程为双曲线可设为；若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.双曲线焦点三角形面积：，高。证明：设MF1长为m，MF2长为n，则 m-n=2a -又由余弦定理所以得到所以三角形MF1F2的面积为：题型一 双曲线的性质（2）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.答案：例2 求与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程答案：题型二、双曲线与椭圆共焦点，求PF1F2相关知识例1：已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P点是椭圆和双曲线的的交点，问什么时候三角形PF1F2是直角三角形？分析：因为椭圆和双曲线共焦点，得 -设PF1长为m，PF2长为n，则可知： m+n=2a1 , m-n=2a2 -当三角形PF1F2是直角三角形时，由知由知 所以所以如果三角形PF1F2是直角三角形时 需使得到。 此时三角形PF1F2的面积为，由知所以三角形的面积为：结论：（1） 当椭圆和双曲线共焦点且b值相等时， PF1F2是直角三角形，三角形面积为|PF1|PF2|=；（2） 当椭圆和双曲线共焦点且三角形PF1F2是直角三角形， 那么。随堂练习：1. 已知椭圆（a0,b0）与双曲线（m0,n0)有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值为（ D ）A. B. C.b-n D.a-m2.若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点，则PF1F2的面积为（ C ）A.4 B.2 C.1 D.3.若椭圆和双曲线有相同焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点，并且，分别是它们的离心率，则 2 三抛物线1.定义：平面内与一定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线L上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线2.标准方程：焦点在x轴，准线方程： 焦点在y轴， 3.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为 ；4.抛物线的几个常见结论结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ，由得: ，。当ABx轴时，直线AB方程为，则，同上也有：。例1：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。证明：等于结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，直线AB的倾斜角为，则（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。证明：（1）设，设直线AB:由得:, ，。易验证，结论对斜率不存在时也成立。（1） 由（1）：AB为通径时，的值最大，最小。例2：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 60或120 。结论三：两个相切：（1） 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。例3：已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。BAMNQPyxOF (2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线 AB相切。证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。由抛物线定义：，以AB为直径为圆与准线l相切MOANPyxF（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN=（AFM+MFO+BFN+NFO）=90，B，PFM=FMPAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，FPAB以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OAOB。反之也成立。证明：【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 答案：。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)-则 由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 -由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 当4x02+1=3 即 时，此时法二：如图， 即， 当AB经过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。八课后作业1.以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程解：如图所示，椭圆的焦点为，点关于直线的对称点的坐标为（9，6），直线的方程为解方程组得交点的坐标为（5，4）此时最小所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程解：设所求椭圆方程为(，)由和两点在椭圆上可得即所以，故所求的椭圆方程为3.双曲线的两个焦点为，点在该双曲线上，若，则点到轴的距离为 .4.设双曲线上两点A、B，AB中点（1，2），求直线AB方程；5.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，所以， 从而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是，的横坐标再根据焦半径，从而求出6.若双曲线=1的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为 2 7.双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。答案： 8若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 9.(新课标全国卷)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(B)A. B.C2 D310.(新课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为(C)A18 B24C36 D4811(辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_2_12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为 1 _13.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_1_14设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果，求椭圆C的方程答案：解：（1）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离，故c=2，所以椭圆C的焦距为4；（2）设，由题意知，直线