（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 第52课 平面与平面的垂直要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第九章 第52课 平面与平面的垂直要点导学要点导学各个击破面面垂直的证明如图,在四棱锥p-abcd中,abcd,abad,cd=2ab,平面pad底面abcd,paad,e和f分别是cd和pc的中点.(1) 求证:pa底面abcd;(2) 求证:平面bef平面pcd.(例1)思维引导(1) 直接利用两个平面垂直的性质定理是关键;(2) 线面垂直是证明面面垂直的前提,证明线面垂直是关键;特别注意表述的规范性.证明(1) 因为平面pad平面abcd,且pa垂直于这两个平面的交线ad,所以pa平面abcd.(2) 因为abcd,cd=2ab,e为cd的中点,所以abed,所以四边形abed为平行四边形.又因为abad,所以becd,adcd.由(1)知pa底面abcd,所以pacd,又paad=a,所以cd平面pad,所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点,所以pdef,所以cdef,又beef=e,所以cd平面bef,所以平面bef平面pcd.精要点评(1) 判定两个平面垂直的方法:利用定义:证明二面角是直二面角;利用判定定理:a,a.(2) 在证明两平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决.(3) 证明线面垂直是证得面面垂直的前提与本质.如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱a1a底面abc,且各棱长均相等,d,e,f分别为棱ab,bc,a1c1的中点,求证:平面a1cd平面a1abb1.(变式)证明由已知得底面abc是正三角形,又d为ab的中点,故cdab.由侧棱aa1底面abc,cd平面abc,所以a1acd,又a1aab=a,因此cd平面a1abb1,而cd平面a1cd,所以平面a1cd平面a1abb1.面面垂直性质的应用如图,在三棱锥s-abc中,平面sab平面sbc,abbc,as=ab,过a点作afsb,垂足为f,点e,g分别是棱sa,sc的中点.(1) 求证:平面efg平面abc;(2) 求证:bcsa.(例2)思维引导对于(1),先判定e,f,g分别为各边中点,然后得到线面平行关系,再结合两平面平行的判定定理进行证明;对于(2),关键在于证明bc平面sab.证明(1) 因为as=ab,afsb,垂足为f,所以f是sb的中点.又因为e是sa的中点,所以efab.因为ef平面abc,ab平面abc,所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efeg=e,所以平面efg平面abc.(2) 因为平面sab平面sbc,且交线为sb,又af平面sab,afsb,所以af平面sbc.因为bc平面sbc,所以afbc.又因为abbc,afab=a,af,ab平面sab,所以bc平面sab.因为sa平面sab,所以bcsa.精要点评证明面面平行的关键是线面平行,证明线线垂直可先证明线面垂直.掌握并能熟练应用线面垂直的判定与性质定理,进行正确合理地转化,是解决此类问题的关键.如图,已知bc是半径为1的半圆o的直径,a是半圆周上不同于b,c的点,f为的中点.在梯形acde中,deac,且ac=2de,平面acde平面abc.(1) 求证:平面abe平面acde;(2) 求证:平面ofd平面bae.(变式)证明(1) 因为平面acde平面abc,平面acde平面abc=ac,ab平面abc,又在半圆o中,abac,所以ab平面acde.因为ab平面abe,所以平面abe平面acde.(2) 设线段ac与of交于点m,连接md.因为f为的中点,所以ofac,m为ac的中点.因为abac,ofac,所以ofab.又of平面bae,ab平面abe,所以of平面bae.因为m为ac的中点,且deac,ac=2de,所以deam,且de=am,所以四边形amde为平行四边形,所以dmae.又dm平面bae,ae平面abe,所以dm平面bae.又mdof=m,md平面ofd,of平面ofd,所以平面ofd平面bae.面面垂直的探索性问题如图,在三棱锥p-abc中,ab=ac,d为bc的中点,po平面abc,垂足o落在线段ad上,已知bc=8,po=4,ao=3,od=2.(1) 求证:apbc.(2) 在线段ap上是否存在点m,使得二面角a-mc-b为直二面角?若存在,求出am的长;若不存在,请说明理由.(例3)思维引导可以通过直线bc平面pad来证明bcap;二面角a-mc-b为直二面角即平面amc平面bmc,题目本意上是要找点,使得两平面垂直,因此可先考虑把面面垂直作为条件,然后去找点m需要满足的条件.解答(1) 因为ab=ac,d是bc的中点,所以adbc.因为po平面abc,所以pobc.因为poad=o,所以bc平面pad,所以bcpa.(2) 如图,在平面pab内,作bmpa于点m,连接cm,由(1)知apbc,则ap平面bmc,又ap平面apc,所以平面bmc平面apc.在rtadb中,由ab2=ad2+bd2=41,得ab=.在rtpod中,pd2=po2+od2,在rtpdb中,pb2=pd2+bd2,所以pb2=po2+od2+db2=36,则pb=6.在rtpoa中,由pa2=ao2+op2=25,得pa=5.又cosbpa=,从而pm=pbcosbpa=2,所以am=pa-pm=3.综上所述,存在点m符合题意,am=3.精要点评(1) 证明线面平行、垂直都可以通过转化为线线的平行、垂直来证明.(2) 探求符合要求的点或线的问题时可以先假设存在,即增加条件后再证明;或通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线,再通过对其进行平移,来寻找正确的结果,然后再反过来直接证明.如图,在三棱锥p-abc中,pa底面abc,pa=ab,abc=60,bca=90,点d,e分别在棱pb,pc上,且debc.(1) 求证:bc 平面pac.(2) 是否存在点e,使得二面角a-de-p为直二面角?请说明理由.(变式)解答(1) 因为pa底面abc,bc平面abc,所以pabc.因为bca=90,所以acbc.又acpa=a,所以bc平面pac.(2) 存在点e,当aepc时,二面角a-de-p为直二面角.因为debc,又由(1)知,bc平面pac,所以de平面pac.又ae平面pac,pe平面pac,所以deae,depe.所以aep为二面角a-de-p的平面角,此时aep=90,故存在点e,使得二面角a-de-p为直二面角.如图,在四棱锥p-abcd中,平面pad平面abcd,ab=ad,bad=60,e,f分别是ap,ad的中点.(1) 求证:直线ef平面pcd;(2) 求证:平面bef平面pad.(范题赏析)思维引导先证efpd,再说清“面内线,面外线”即可证明直线ef平面pcd.用好条件“面面垂直”是正确快速解决第(2)问的关键.规范答题(1) 在pad中,因为e,f分别为ap,ad的中点,所以efpd.(3分)又ef平面pcd,pd平面pcd,所以直线ef平面pcd.(6分)(2) 连接db,因为ab=ad,bad=60,所以abd为正三角形.因为f是ad的中点,所以bfad.(8分)因为平面pad平面abcd,bf平面abcd,平面pad平面abcd=ad,所以bf平面pad.(12分)又bf平面bef,所以平面bef平面pad.(14分)1. 已知直线a,b与平面,下列条件中,能使的是.(填序号),;=a,ba,b;a,a;a,a.答案解析由面面垂直的定义、判定定理可得.2. 设,表示三个不同的平面,a,b,c表示三条不同的直线.给出下列命题:若a,b,则ab;若a,b,=c,a,b,则ab;若ab,ac,b,c,则a;若,则或.其中正确命题的序号是.答案解析中直线a与b的关系不确定,故不正确;中缺少条件“直线b与c相交”,故不正确;中与同一个平面都垂直的两个平面的位置关系不确定,故不正确.3. (2014苏州模拟)如图,四棱锥p-abcd的底面为矩形,ab=,bc=1,e,f分别是ab,pc的中点,depa.求证:平面pac平面pde.(第3题)证明设acde=h,由aehcdh及e为ab的中点得=.又因为ab=,bc=1,所以ac=,ah=ac=,所以=,又bac为公共角,所以haebac,所以ahe=abc=90,即deac.又depa,paac=a,所以de平面pac.又de平面pde,所以平面pac平面pde.4. (2014赣州模拟)如图,平行六面体abcd-a1b1c1d1的底面为正方形,o1,o分别为上、下底面的中心,且a1在底面abcd上的射影是o.求证:平面o1dc平面abcd.(第4题)证明连接ac