福建省厦门一中高三数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1集合m=y|y=lg（x2+1），xr，集合n=x|4x4，xr，则mn等于（）a0，+）b0，1）c（1，+）d（0，12设复数z满足=（）a0b1cd23“ab0”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4已知=12，|=4，和的夹角为135，则|为（）a12b6cd35执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a1b3c7d156已知tan=2（0，），则cos（+2）=（）abcd7已知数列an中，a3=，a7=，且是等差数列，则a5=（）abcd8函数y=x+cosx的大致图象是（）abcd9平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，m为oc的中点，若=（2，4），=（1，3），则等于（）abc3d310给出下列四个命题：f（x）=sin（2x）的对称轴为x=，kz；若函数y=2cos（ax）（a0）的最小正周期是，则a=2；函数f（x）=sinxcosx1的最小值为；函数y=sin（x+）在上是增函数，其中正确命题的个数是（）a1个b2个c3个d4个11设点p是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，且|pf1|=2|pf2|，则双曲线的离心率为（）abcd12设函数f（x）是奇函数f（x）（xr）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）a（，1）（0，1）b（1，0）（1，+）c（，1）（1，0）d（0，1）（1，+）二、填空题（每小题5分）13已知实数x，y满足条件，则z=x2y的最大值为14已知等差数列an中，a3=，则cos（a1+a2+a6）=15已知点a（2，4）在抛物线y2=2px上，且抛物线的准线过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为16当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题17（12分）（2015秋厦门校级期中）已知等比数列an的前n项和为sn，s1，s3，s2成等差数列，且a1a3=3，（）求an的通项公式；（）求sn，并求满足sn2的n的值18（12分）（2015秋厦门校级期中）已知函数f（x）=3，=（2sinx，4），=（2cosx，cos2x）（）求函数f（x）的最大值及此时x的值；（）在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边，若f（a）为f（x）的最大值，且a=2，sinc=sinb，求abc的面积19（12分）（2014重庆）已知函数f（x）=+lnx，其中ar，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值20（12分）（2014黑龙江）设f1，f2分别是c：+=1（ab0）的左，右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直，直线mf1与c的另一个交点为n（1）若直线mn的斜率为，求c的离心率；（2）若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|=5|f1n|，求a，b21（12分）（2013天津）设a2，0，已知函数（） 证明f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（） 设曲线y=f（x）在点pi（xi，f（xi）（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x30，证明四、选修4-4坐标系与参数方程22（10分）（2014黑龙江）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆c的极坐标方程=2cos，0，（）求c的参数方程；（）设点d在c上，c在d处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定d的坐标五、选修4-5：不等式选讲23（2014黑龙江）设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1集合m=y|y=lg（x2+1），xr，集合n=x|4x4，xr，则mn等于（）a0，+）b0，1）c（1，+）d（0，1【考点】对数函数的值域与最值；交集及其运算；指数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题【分析】根据所给的两个集合中的对数和指数式的特点，首先根据对数中真数的范围求出对数的范围，再根据指数的底数大于1，求解指数不等式，最后求交集得到结果【解答】解：x2+11集合m=y|y=lg（x2+1），xr=y|y0集合n=x|4x4，xr=x|4x41=x|x1mn=（1，+）故选c【点评】本题考查指数函数与对数函数的值域和定义域，本题解题的关键是求出两个集合中的元素的范围，最后求交集，本题是一个基础题2设复数z满足=（）a0b1cd2【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模 【专题】计算题【分析】化简复数方程，求出复数z为a+bi（a、br）的形式，然后再求复数|1+z|的模【解答】解：由于，所以1z=i+zi所以z=则|1+z|=故选c【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数求模，是基础题3“ab0”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】利用不等式的性质判断出“ab0”则有“”，通过举反例得到，“”成立，推不出“ab0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解：由ab0，得，ab0，由不等式的性质可得，0；反之则不成立，例如a=1，b=2满足，但不满足“ab0”“ab0”是“”的充分不必要条件，故选a【点评】此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，此题可以举反例进行求解，属基础题4已知=12，|=4，和的夹角为135，则|为（）a12b6cd3【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模 【专题】计算题【分析】利用两个向量的数量积的定义可得=cos135，把=4代入求得的值【解答】解：由题意利用两个向量的数量积的定义可得=cos135=4（ ），解得=6，故选b【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题5执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a1b3c7d15【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求s=1+21+22+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的s值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求s=1+21+22+2k的值，跳出循环的k值为3，输出s=1+2+4=7故选：c【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键6已知tan=2（0，），则cos（+2）=（）abcd【考点】二倍角的余弦 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2）的值【解答】解：tan=2，（0，），则cos（+2）=cos（+2）=sin2=2sincos=，故选：d【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题7已知数列an中，a3=，a7=，且是等差数列，则a5=（）abcd【考点】等差数列的通项公式 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】设等差数列的公差为d，则=+4d，解出d，即可得出【解答】解：设等差数列的公差为d，则=+4d，=+4d，解得d=2=+2d=10，解得a5=故选：b【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8函数y=x+cosx的大致图象是（）abcd【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象 【专题】计算题；数形结合【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除a、c两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断【解答】解：由于f（x）=x+cosx，f（x）=x+cosx，f（x）f（x），且f（x）f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除a、c；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为 ，排除d故选：b【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题9平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，m为oc的中点，若=（2，4），=（1，3），则等于（）abc3d3【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】由题意画出图形，利用向量的加法法则与减法法则，结合坐标运算得到的坐标，则答案可求【解答】解：如图，abcd为平行四边形，且ac与bd交于点o，m为oc的中点，又=（1，3），则=（），又=（2，4），=（1，1），则=（1，1）（）=（1）（）+（1）（）=3故选：c【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加减法及数量积的坐标表示，是中档题10给出下列四个命题：f（x）=sin（2x）的对称轴为x=，kz；若函数y=2cos（ax）（a0）的最小正周期是，则a=2；函数f（x）=sinxcosx1的最小值为；函数y=sin（x+）在上是增函数，其中正确命题的个数是（）a1个b2个c3个d4个【考点】命题的真假判断与应用 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质【分析】求出函数的对称轴方程判断；由周期公式求出a值判断；利用倍角公式化简，进一步求出函数的最小值判断；由函数的单调性判断【解答】解：由，得x=，kz，f（x）=sin（2x）的对称轴为x=，kz，正确；若函数y=2cos（ax）（a0）的最小正周期是，则，即a=2，正确；函数f（x）=sinxcosx1=，最小值为，正确；当x时，x，函数y=sin（x+）在上不是单调函数，错误正确命题的个数是3个故选：c【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是基础题11设点p是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，且|pf1|=2|pf2|，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】由p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出f1pf2=90再由|pf1|=2|pf2|，知|pf1|=4a，|pf2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率【解答】解：p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，点p到原点的距离|po|=，f1pf2=90，|pf1|=2|pf2|，|pf1|pf2|=|pf2|=2a，|pf1|=4a，|pf2|=2a，16a2+4a2=4c2，c=a，故选a【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用12设函数f（x）是奇函数f（x）（xr）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）a（，1）（0，1）b（1，0）（1，+）c（，1）（1，0）d（0，1）（1，+）【考点】函数的单调性与导数的关系 【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在r上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：a【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二、填空题（每小题5分）13已知实数x，y满足条件，则z=x2y的最大值为2【考点】简单线性规划 【专题】作图题；数形结合；数学模型法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（2，2），化目标函数z=x2y为，由图可知，当直线过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为222=2故答案为：2【点评】题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14已知等差数列an中，a3=，则cos（a1+a2+a6）=1【考点】等差数列的通项公式 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知结合等差数列的通项公式求得a1+a2+a6，则cos（a1+a2+a6）可求【解答】解：数列an为等差数列，且a3=，a1+a2+a6=，cos（a1+a2+a6）=cos=1故答案为：1【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了三角函数的求值，是基础的计算题15已知点a（2，4）在抛物线y2=2px上，且抛物线的准线过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；对应思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意求出p，得到抛物线的准线方程，进一步求出双曲线的半焦距，结合离心率求得a，再由隐含条件求出b，则双曲线方程可求【解答】解：点a（2，4）在抛物线y2=2px上，16=4p，即p=4抛物线的准线方程为x=2又抛物线的准线过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点，则c=2，而，a=1，则b2=c2a2=41=3双曲线方程为故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了双曲线方程的求法，是基础题16当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是6，2【考点】函数恒成立问题 【专题】导数的综合应用【分析】分x=0，0x1，2x0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集【解答】解：当x=0时，不等式ax3x2+4x+30对任意ar恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，则f（x）=+=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故答案为：6，2【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集若按照参数讨论则取并集，是中档题三、解答题17（12分）（2015秋厦门校级期中）已知等比数列an的前n项和为sn，s1，s3，s2成等差数列，且a1a3=3，（）求an的通项公式；（）求sn，并求满足sn2的n的值【考点】等比数列的前n项和 【专题】综合题；综合法；等差数列与等比数列【分析】（i）设等比数列an的公比为q，由s1，s3，s2成等差数列，且a1a3=3，可得2s3=s1+s2即=a1（2+q），=3，解出即可得出（ii）利用等比数列的前n项和公式，并对n分类讨论即可得出【解答】解：（i）设等比数列an的公比为q，s1，s3，s2成等差数列，且a1a3=3，2s3=s1+s2即=a1（2+q），=3，解得a1=4，q=（ii）sn=，当n为奇数时不满足，当n为偶数时，sn=2，解得n=2【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其的前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（2015秋厦门校级期中）已知函数f（x）=3，=（2sinx，4），=（2cosx，cos2x）（）求函数f（x）的最大值及此时x的值；（）在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边，若f（a）为f（x）的最大值，且a=2，sinc=sinb，求abc的面积【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用【分析】（）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=4sin（2x+）1，由正弦函数的图象和性质即可解得最大值及此时x的值（）由已知及（）可得：a=利用正弦定理及sinc=sinb，可得c=，由余弦定理可得b，c，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（）f（x）=3=4sinxcosx+4cos2x3=2sin2x+43=2sin2x+2cos2x1=4sin（2x+）14分所以，当2x+=2k，kz时，f（x）取得最大值3，此时，x=k，kz6分（）f（a）为f（x）的最大值及a（0，），由（）可得：a=7分sinc=sinb，c=，由余弦定理可得：，把a=，a=2代入解得：b=2，可得c=2abc的面积s=bcsina=12分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题19（12分）（2014重庆）已知函数f（x）=+lnx，其中ar，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】导数的综合应用【分析】（）由曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x可得f（1）=2，可求出a的值；（）根据（i）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值【解答】解：（）f（x）=+lnx，f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=xf（1）=a1=2，解得：a=（）由（）知：f（x）=+lnx，f（x）=（x0），令f（x）=0，解得x=5，或x=1（舍），当x（0，5）时，f（x）0，当x（5，+）时，f（x）0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值ln5【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档20（12分）（2014黑龙江）设f1，f2分别是c：+=1（ab0）的左，右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直，直线mf1与c的另一个交点为n（1）若直线mn的斜率为，求c的离心率；（2）若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|=5|f1n|，求a，b【考点】椭圆的应用 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据条件求出m的坐标，利用直线mn的斜率为，建立关于a，c的方程即可求c的离心率；（2）根据直线mn在y轴上的截距为2，以及|mn|=5|f1n|，建立方程组关系，求出n的坐标，代入椭圆方程即可得到结论【解答】解：（1）m是c上一点且mf2与x轴垂直，m的横坐标为c，当x=c时，y=，即m（c，），若直线mn的斜率为，即tanmf1f2=，即b2=a2c2，即c2+a2=0，则，即2e2+3e2=0解得e=或e=2（舍去），即e=（）由题意，原点o是f1f2的中点，则直线mf1与y轴的交点d（0，2）是线段mf1的中点，设m（c，y），（y0），则，即，解得y=，od是mf1f2的中位线，=4，即b2=4a，由|mn|=5|f1n|，则|mf1|=4|f1n|，解得|df1|=2|f1n|，即设n（x1，y1），由题意知y10，则（c，2）=2（x1+c，y1）即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度21（12分）（2013天津）设a2，0，已知函数（） 证明f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（） 设曲线y=f（x）在点pi（xi，f（xi）（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x30，证明【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】（）令，分别求导即可得到其单调性；（）由（）可知：f（x）在区间（，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增已知曲线y=f（x）在点pi（xi，f（xi）（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得不妨x10x2x3，根据以上等式可得，从而设g（x）=3x2（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a2，0，可得，故，即可证明【解答】解：（）令，由于a2，0，从而当1x0时，所以函数f1（x）在区间（1，0）内单调递减，=（3xa）（x1），由于a2，0，所以0x1时，；当x1时，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+）上单调递增综合及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（）证明：由（）可知：f（x）在区间（，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增因为曲线y=f（x）在点pi（xi，f（xi）（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且不妨x10x2x3，由+a=可得，解得，从而设g（x）=3x2（a+3）x+a，则由，解得，所以，设t=，则，a2，0，故，故【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思