（江苏专用）高考数学大一轮复习 第五章 第30课 正弦定理与解三角形要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第五章 第30课 正弦定理与解三角形要点导学要点导学各个击破正弦定理的直接应用在abc中,已知a=3,b=2,b=2a.(1) 求cosa的值;(2) 求c的值.思维引导(1) 结合已知条件,利用正弦定理构造关系式,解决问题的关键在于条件“b=2a”的运用;(2) 求出sina,sinc,结合正弦定理即可求得c.解答(1) 因为a=3,b=2,b=2a,所以在abc中,由正弦定理得=,所以=,故cosa=.(2) 由(1)知cosa=,所以sina=.又因为b=2a,所以cosb=cos2a=2cos2a-1=,所以sinb=.在abc中,sinc=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=.由正弦定理得c=5.精要点评解三角形时,正弦定理是一个重要的工具.在结合正弦定理解三角形时,要注意:其一,什么条件下用;其二,怎么用;其三,如何灵活恰当地运用.特别是在边角关系转化时对定理的熟练应用.(2014广东卷)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c.若bcosc+ccosb=2b,则=.答案2解析由正弦定理及bcosc+ccosb=2b,得sinbcosc+sinccosb=2sinb,即sin(b+c)=2sinb.因为sin(b+c)=sina,所以sina=2sinb,利用正弦定理得a=2b,故=2.利用正弦定理判断三角形的形状在abc中,已知(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sin c,试判断abc的形状.思维引导从条件我们容易发现角c可以写成-(a+b),另外注意到两边都是关于边的二次齐次式,因此可以利用正弦定理将边化为角处理.解答由已知(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sinc,得b2sin(a-b)+sin(a+b)=a2sin(a+b)-sin(a-b),即b2sinacosb=a2cosasinb,即sin2bsinacosb=sin2acosasinb,所以sin2b=sin2a.由于a,b是三角形的内角,故02a2,02b2,所以2a=2b或2a=-2b,即a=b或a+b=.故abc为等腰三角形或直角三角形.精要点评正弦定理的一个重要作用就是将边化为角处理,借助三角恒等变换得到问题的解.若acosa=bcosb,试判断abc的形状.解答因为acosa=bcosb,所以sinacosa=sinbcosb,所以sin2a=sin2b.又因为a,b(0,),所以2a,2b(0,2),所以2a=2b或2a+2b=,所以a=b或a+b=,所以abc为等腰三角形或直角三角形.正弦定理及面积公式的综合应用(2014重庆卷改编)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,满足a+b+c=8,sinacos2+sinbcos2=2sinc,且abc的面积s=sinc,求a和b的值.思维引导利用降幂公式化简sinacos2+sinbcos2=2sinc,再利用正弦定理将角的关系转化为边的关系,最后结合三角形面积公式,即可通过解方程组得出a和b的值.解答由sinacos2+sinbcos2=2sinc,得sina+sinb=2sinc,化简得sina+sinacosb+sinb+sinbcosa=4sinc.因为sinacosb+cosasinb=sin(a+b)=sinc,所以sina+sinb=3sinc,由正弦定理可知a+b=3c.又a+b+c=8,所以a+b=6.由于s=absinc=sinc,所以ab=9,结合解得a=b=3.精要点评(1) 解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理及其推论,求边角或将边角互化,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.(2) 注意降幂公式和升幂公式在化简过程中的灵活运用.(2014德州模拟)已知a,b,c分别为abc的三个内角a,b,c的对边,向量m=(sina,1),n=(cosa,),且mn.(1) 求角a的大小;(2) 若a=2,b=2,求abc的面积.思维引导(1)由mn,得sina=cosa,即tana=.又a(0,),得到a=.(2)首先由正弦定理可得sinb=,通过讨论ab,得到ab,从而b=或.从而进一步确定abc的面积.解答(1) 因为mn,所以sina-cosa=0,即tana=.因为a(0,),所以a=.(2) 由正弦定理可得sinb=,因为ab,所以absinasinb是准确判断并取舍解的情况的工具.(3) 利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理,这是正弦定理的一种重要作用,正弦定理在此承担了边与角之间互化的桥梁作用.在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足ccos b+bcos c=4acos a.(1) 求cos a的值; (2) 若abc的面积是,求的值.规范答题(1) 利用正弦定理=,得sin ccos b+sin bcos c=4sin acos a,sin(b+c)=4sin acos a,即sin a=4cos asin a,所以cos a=.(7分)(2) 由(1)得sin a=,由题意得sabc=bcsin a=,所以bc=8,所以=bccos a=2.(14分)1. 在abc中,已知b=4,c=8,b=30,那么a=.答案4解析由正弦定理得sin c=1,所以c=90,a=60.又由正弦定理得a=4.2. 在锐角三角形abc中,角a,b所对的边分别为a,b.若2asinb=b,则a=.答案解析由2asin b=b及正弦定理得sin a=,因为abc是锐角三角形,所以a,所以a=.3. 已知=,那么abc的形状是.答案等腰直角三角形解析由正弦定理及=得tan b=tan c=1,注意到角a,b,c是abc的内角,所以b=c=,从而a=,abc是等腰直角三角形.4. (2014福建卷)在abc中,a=60