五13.第13讲 往返路上的相遇问题.doc

第13讲 往返路上的相遇问题知识概要在数学竞赛中，有时还出现“两次”或“多次”相遇的问题，这类问题比较特殊也很有趣，我们称之为往返路上的相遇问题。初次接触时似乎有一定的难度，但实际上这类问题规律性很强。 往返路上的相遇问题是相遇问题中比较典型的一部分，其特征是两个运动体在两地之间不断往返行走，过程中多次相遇。其特点是两个运动体分别从两地同时出发，相向而行，第一次相遇时，合走一个全程；以后每合走两个全程迎面相遇一次。分析时，只要抓住速度（或速度和）不变时，路程和时间是成比例的这一关键环节，即可很快找到解题思路。例题解评例1、小张与小王分别从相距6千米的甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇。小王到达甲村后立即返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇，问小张和小王的速度各是多少？【分析与解】如图， 第一次相遇两二人共同走了甲、乙两村间的距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此，所需时间是40360=2（小时）从图上可以看出，从出发到第二次相遇，小张已走了： 62-2=10（千米） 小王已走了： 6+2=8（千米）因此，他们的速度分别是：小张：102=5（千米）小王：82=4（千米）答：小张的速度是每小时5千米，小王的速度是每小时4千米。课堂练习 1佳佳从甲地向乙地走，彬彬同时从乙地向甲地走，当她俩人各自到达终点时，又迅速返回。两人行走的过程中，各自速度保持不变。两人第一次相遇在距甲地50米处，第二次相遇在距乙地19米处。求甲、乙两地相距多少千米？例2、客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前行，客车到乙站后立即返回，货车到甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站间的路程是多少千米？【分析】客比货车每小时多行54486千米。客车比货车多行216千米要用216636（小时），也就是客车和货车同时从甲乙两站相对开出，分别到达乙地和甲地后立即返回，到第二次相遇共用了36小时。可以用速度之和乘以相遇时间求出两车行程总和。行程总和正好是甲、乙两站间距离的3倍，除以3就可以求出甲、乙两站间的路程。【解】216（5448）=36（小时）（5448）36310236 3367231224（千米）答：甲乙两站间的路程是1224千米。课堂练习 2甲、乙两城相距29千米，一辆客车从甲城出发向乙城驶去，每小时行45千米；一辆货车从乙城出发驶向甲城，每小时行42千米。两车同时出发相向而行，他们各自到达终点后休息1小时，然后立即返回。从出发时开始到再次相遇一共花了多少小时？例3、小张和小王分别从甲乙两地同时出发相向而行，当小张走到离甲地4千米的时候，他们二人第一次相遇。相遇后两人继续前进，当小张到达乙地后又返回往甲地走，在离乙地3千米的地方两人第二次相遇。当他们第四次相遇时，小张离甲地有多远？【分析与解】两人走的路程之和，第一次相遇时是甲乙全程1，此后每两次相遇之间的路程都是甲乙全程2，所以除第一次外每次间隔时间都相同，第一次的相遇时间为以后间隔时间的一半。那么，第一次相遇前小张走了4千米，到第二次相遇总共走了34=12（千米），所以甲乙路程是 12-3=9（千米）。说明第四次相遇小张总共走了4+83=28=93+1，也就是走了三次单程加1千米，距离乙1千米，那么距离甲8千米。答：当他们第四次相遇时，小张离甲地8千米。课堂练习 3甲、乙两车同时分别从A、B两地开出，相向而行。在距B地160千米处两车相遇，相遇后两车都仍以原速继续前进，甲车到达地B地后立即掉头开往A地；乙车到达地后也立即掉头开往B地。两车第二次相遇时距B地120千米。、两地间的路程是多少千米？例4、甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相向而行。4小时后相遇，然后继续行了3小时，此时甲车距离B地10千米，乙车距离A地80千米。求甲、乙两车的速度各是多少？【分析】4小时合走一个全程，走了3小时后差1小时，差 80+10=90（千米），即速度和为90千米；共走3+4=7（小时）甲差10千米行完全程，乙差80千米行完全程，即7小时甲比乙多行80-10=70（千米），即速度差为每小时10千米，再根据和差问题公式求解。【解】（10+80）（4-3）=90（千米） （80-10）（4+3）=10（千米） （90+10）2=50（千米） 90-50=40（千米）答：甲每小时行50千米，乙每小时行40千米。课堂练习 4甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出，到达对方车站后立即返回，经过4小时两车在途中第二次相遇。相遇时甲车比乙车多行120千米。求两车的速度。例5、甲、乙两船分别从一条河的A、B两地同时出发相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上。相遇时，甲乙两船的航程是相等的；相遇后，两船继续前行，甲船到达B地，乙船到达A地后，都立即按原来的路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。如果从两船第一次相遇到第二次相遇间隔1小时20分钟，那么河水的流速是多少？【分析】从开始到第一次相遇，由于一条顺水、一条逆水，因此速度和恰好等于甲、乙两船静水时的速度和。第一次相遇在中点，说明甲船的顺水速度=乙船的逆水速度，乙船静水速度-甲船静水速度=水速2，且甲、乙两船同时分别到达B、A两地。接下来，甲、乙两船分别在这条河的B、A两地同时出发相向而行，甲船逆流而上，乙船顺流而下，乙船顺水速度-甲船逆水速度=水速4，而且速度和同样恰好等于甲、乙两船静水时的速度和。从第一次相遇到第二次相遇恰好以同样的速度和行了2个全程，共用80分钟，也就是40分钟行完1 个全程。100040=25（米）就是乙船顺水速度-甲船逆水速度=水速4.【解】 1小时20分钟=80分钟 802=40（分钟） 100040=25（米） 254=6.25（米）答：河水的流速是每分钟6.25米。课堂练习 5 小张步行从甲村到乙村去，小吴骑车从乙村往甲村去，他们同时出发，1小时后在途中相遇。他们分别继续前进，小吴到达甲村后就立即返回，在第一次相遇后40分钟，小吴追上小张。他们又分别继续前进，当小吴到达乙村又马上折回。问：追上后多少分钟他们再次相遇？例6、甲、乙两人在长30米的水池里来回游泳，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。他们同时分别从水池的两端出发，来回共游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间内，他们共相遇了多少次？【分析与解】甲游一个单程需 301=30（秒），乙游一个单程需 300.6=50（秒）。甲游了5个单程，乙游了3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，期间，两人相遇了5次（见下图），实线与虚线的交点表示相遇点。 以2.5分钟为一个周期，11分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中的第一分钟内，从图中看出两人相遇2次，故一共相遇了54+2=22（次）。答：他们共相遇了22次.【评注】例6用画图的方法，直观地看出了一个周期内相遇的次数，由此可见画图的重要性。 课堂练习 6甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟跑3米，乙的速度是每秒钟跑2米。如果他们分别在直路两端点同时出发，跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇了多少次？巩固练习1、明明和亮亮同时从学校和少年宫出发，相向而行，明明每分钟走90米，两人相遇后，明明再走4分钟到达少年宫，亮亮再走270米到达学校。亮亮每分钟走多少米？2、A、B相距1200米，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，甲每分钟行50米，乙每分行70米，第一次相遇在C处，AC之间距离是多少？相遇后继续前进，分别到达A、B两地后立即返回，第二次相遇于D处，CD之间距离是多少米？3、甲、乙两列火车以不同的速度从A、B两城相向而行，在离A城80千米处首次相遇。相遇后两列火车继续以原速度前进，各自到达终点后即返回，4小时后在途中第二次相遇，相遇处离A城60千米，求甲、乙两列火车的速度各是多少千米？4、甲、乙两地相距216千米，客、货两车同时从甲、乙两地相向而行。已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，到达对方出发点后立即返回，两车第二次相遇时，客车比货车多行多少千米？5、上午十点，一辆汽车从地开往B地，每小时行52千米；同时，另一辆汽车从地开往地，每小时行44千米