高考数学 7.6空间直角坐标系配套课件 文 北师大版.ppt

第六节空间直角坐标系 三年1考高考指数 1 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 2 会推导空间两点间的距离公式 1 本节内容是用向量法解决立体几何问题的基础 属了解内容 一般不单独命题 2 本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离 3 通过求点的坐标考查空间想象能力 通过求两点间的距离考查计算能力 1 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系的建立 如图 坐标系为 系 指 记为 指 轴 指 轴 指 轴 和 和 和 确定的平面分别指 平面 平面 平面 右手 原点 o x y z xoy yoz xoz 2 空间直角坐标系中的点的坐标类似于平面直角坐标系中点的坐标表示 在空间直角坐标系中 用一个三元有序数组来刻画空间点的位置 任意一点p的坐标记为 x y z 即时应用 1 思考 空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分 提示 三个坐标平面把空间分为八部分 2 xoz平面内点的坐标的特点是 解析 点在xoz平面内 故点在y轴上的射影一定是坐标原点 其纵坐标为0 横坐标 竖坐标不确定 答案 纵坐标为0 3 在空间直角坐标系中 点m 5 3 1 关于x轴的对称点坐标为 解析 关于x轴的对称点坐标 横坐标不变 其余坐标变为相反数 答案 5 3 1 2 空间两点间的距离公式 1 如果长方体的长 宽 高分别为a b c 那么对角线长d 2 空间两点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 间的距离 ab 即时应用 1 思考 在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢 提示 是以定点为球心 以定长为半径的球面 2 已知空间两点a 2 0 4 b 6 2 2 则线段ab的中点到原点的距离为 解析 由中点坐标公式可得线段ab的中点为 2 1 1 故到原点的距离为答案 3 已知点p 1 1 1 其关于xoz平面的对称点为p 则 解析 由题意得p 1 1 1 答案 2 求空间点的坐标 方法点睛 1 建立恰当坐标系的原则 1 合理利用几何体中的垂直关系 特别是面面垂直 2 尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上 2 求空间中点p的坐标的方法 1 过点p作与x轴垂直的平面 垂足在x轴上对应的数即为点p的横坐标 同理可求纵坐标 竖坐标 2 从点p向三个坐标平面作垂线 所得点p到三个平面的距离等于点p的对应坐标的绝对值 再判断出对应数值的符号 进而可求得点p的坐标 例1 1 空间直角坐标系中 点p 2 3 4 在x轴上的射影的坐标为 2 已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长均为2 以a为坐标原点建立适当的空间直角坐标系 求其各顶点的坐标 解题指南 1 空间直角坐标系中 点在x轴的射影的坐标满足横坐标相同 纵 竖坐标均为零 2 注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小 规范解答 1 点p 2 3 4 在x轴上的射影的横坐标与点p相同 纵坐标 竖坐标均为0 故射影坐标为 2 0 0 答案 2 0 0 2 以a点为坐标原点 ac aa1所在直线分别为y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 设ac的中点是d 连接bd 则bd y轴 且bd a 0 0 0 c 0 2 0 a1 0 0 2 c1 0 2 2 互动探究 本例 2 中若以ac的中点d为坐标原点 以db dc所在直线分别为x轴 y轴建立适当的空间直角坐标系 试写出各顶点的坐标 解析 建立空间直角坐标系 如图所示 则a 0 1 0 c 0 1 0 a1 0 1 2 c1 0 1 2 反思 感悟 1 建立坐标系时 常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题 特别是所给图形中的垂直关系 更要合理利用 2 对同一几何体 建立的坐标系不同 所得点的坐标也不同 为方便 常将尽量多的点建在坐标轴上 3 类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系从二维平面到三维空间 相应的结论也会发生变化 如平面直角坐标系中a x1 y1 b x2 y2 线段ab中点的坐标为其两点间的距离公式为而在空间直角坐标系中a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 线段ab中点的坐标为其两点间的距离公式为 ab 在平面直角坐标系中 方程 x2 y2 1表示以原点为圆心 1为半径的圆 而在空间直角坐标系中 方程x2 y2 z2 1表示以原点为球心 1为半径的球 变式备选 如图所示 长方体abcd a1b1c1d1中 ab 3 bc 2 a1a 1 试写出 1 长方体的所有顶点的坐标 2 棱a1b1的中点m的坐标 解析 1 依题意知 各顶点的坐标分别为d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 3 0 c 0 3 0 d1 0 0 1 a1 2 0 1 b1 2 3 1 c1 0 3 1 2 a1b1的中点m的坐标为即 空间中点的对称问题 方法点睛 空间直角坐标系中点的对称规律已知点p x y z 则点p关于点 线 面的对称点坐标为 x轴 原点 x y z y轴 x y z x y z z轴 x y z xoy平面 x y z yoz平面 x y z xoz平面 x y z 例2 如图 已知长方体abcd a1b1c1d1的对称中心在坐标原点 交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面 顶点a 2 3 1 求其他七个顶点的坐标 a1 d1 d a c b b1 c1 o z y x 解题指南 由题意知 长方体的各顶点关于原点o和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性 据此可写出其他七个顶点的坐标 规范解答 由题意得 点b与点a关于xoz面对称 故点b的坐标为 2 3 1 点d与点a关于yoz面对称 故点d的坐标为 2 3 1 点c与点a关于z轴对称 故点c的坐标为 2 3 1 由于点a1 b1 c1 d1分别与点a b c d关于xoy面对称 故点a1 b1 c1 d1的坐标分别为a1 2 3 1 b1 2 3 1 c1 2 3 1 d1 2 3 1 反思 感悟 1 求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称 明确哪些坐标发生了变化 哪些没变 一定要记清变化的规律 2 记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键 变式训练 已知在矩形abcd中 a 4 1 3 b 2 5 1 c 3 7 5 求顶点d的坐标 解析 由题意知 点a 4 1 3 c 3 7 5 的中点为m 4 1 设点d的坐标为 x y z 则故点d的坐标为 5 13 3 空间两点间的距离 方法点睛 1 求空间两点间距离的步骤 1 建立坐标系 写出相关点的坐标 2 利用公式求出两点间的距离 2 两点间距离公式的应用 1 求两点间的距离或线段的长度 2 已知两点间距离 确定坐标中参数的值 3 根据已知条件探求满足条件的点的存在性 例3 1 已知点b是点a 3 7 4 在xoz平面上的射影 则 ob 等于 a 9 0 16 b 25 c 5 d 13 2 如图所示 以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系 点p在正方体的体对角线ab上 点q在棱cd上 当点p为对角线ab的中点 点q在棱cd上运动时 探究 pq 的最小值 解题指南 1 根据空间点在xoz平面上的射影的特点及距离公式求解 2 确定点p q的坐标 利用两点间的距离公式得到 pq 然后利用函数知识解决 规范解答 1 选c 由题意得点b的坐标为 3 0 4 故 ob 2 因为b 0 0 a a a a 0 p为ab的中点 所以又点q在棱cd上运动 所以可设q 0 a z0 其中z0 0 a 故 pq 因此当时 pq 的最小值为 互动探究 本例 2 中 若将 点p为对角线ab的中点 改为 当点p在对角线ab上运动时 其余条件不变 则结果如何 解析 显然 当点p在ab上运动时 点p到坐标平面xoz yoz的距离相等 且p在第一象限 所以可设p t t a t t 0 a 又q在cd上运动 所以可设q 0 a z0 z0 0 a 所以 pq 故当时 pq 有最小值为 反思 感悟 1 解此类问题的关键是确定点的坐标 常出现的错误是将坐标求错 2 利用空间两点间的距离公式 可以求两点间的距离或某线段的长度 只要建立恰当的坐标系 通过简单的坐标运算即可解决 变式备选 1 已知点a 1 a 5 b 2a 7 2 a r 则ab的最小值是 解析 选b ab 当a 1时 ab 取最小值 2 在xoy平面内的直线x y 1上确定一点m 使m到点n 6 5 1 的距离最小 则此最小距离为 解析 由已知 可设m x 1 x 0 则 mn mn min 答案 易错误区 求点的坐标时忽略解的讨论而致误 典例 2012 临沂模拟 已知点p在z轴上 且满足 op 1 o为坐标原点 则点p到点a 1 1 1 的距离为 解题指南 先确定点p的坐标 然后利用两点间的距离公式求解即可 规范解答 设点p的坐标为 0 0 z 由 op 1得 z 1 故z 1 当z 1时 点p的坐标为 0 0 1 pa 当z 1时 点p的坐标为 0 0 1 pa 答案 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 合肥模拟 已知点a 3 0 4 点a关于原点的对称点为b 则 ab 等于 a 12 b 9 c 25 d 10 解析 选d 由题意知点b的坐标为 3 0 4 故 ab 2 2012 昆明模拟 空间直角坐标系中 设a 1 2 a b 2 3 4 若 ab 则实数a的值是 a 3或5 b 3或 5 c 3或 5 d 3或5 解析 选a 根据空间两点间的距离公式得两边平方得 1 1 4 a 2 3 即 4 a 2 1 4 a 1 解得a 3或5 3 2012 东莞模拟 在坐标平面xoy上 到点a 3 2 5 b 3 5 1 距离相等的点有 a 1个 b 2个 c 不存在 d 无数个 解析 选d 在坐标平面xoy内 可设点p x y 0 由题意得 解得x r 所以符合条件的点有无数个 4 20