（江苏专用）高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.6 离散型随机变量的均值与方差 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.6 离散型随机变量的均值与方差 理1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量x的概率分布为xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值称e(x)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量x的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称v(x)2(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pnxpi2为随机变量x的方差，它刻画了随机变量x与其均值e(x)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量x的标准差2均值与方差的性质(1)e(axb)ae(x)b.(2)v(axb)a2v(x)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若x服从两点分布，则e(x)_p_，v(x)p(1p)(2)若xb(n，p)，则e(x)_np_，v(x)np(1p)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3)若随机变量x的取值中的某个值对应的概率增大时，期望值也增大()(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关()1(教材改编)某射手射击所得环数的概率分布如下：78910px0.10.3y已知的均值e()8.9，则y的值为_答案0.4解析由可得y0.4.2(2014陕西改编)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为_答案1a,4解析1，yixia，所以y1，y2，y10的均值为1a，方差不变仍为4.3设随机变量x的概率分布为p(xk)(k2,4,6,8,10)，则v(x)_.答案8解析e(x)(246810)6，v(x)(4)2(2)20222428.4(2014浙江改编)随机变量的取值为0,1,2.若p(0)，e()1，则v()_.答案解析设p(1)a，p(2)b，则解得所以v()01.5(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_答案解析抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1，用x表示10次试验中成功的次数，则xb(10，)，e(x)10.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2015福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为x，求x的概率分布和均值解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a，则p(a).(2)依题意得，x所有可能的取值是1,2,3.又p(x1)，p(x2)，p(x3)1.所以x的概率分布为x123p所以e(x)123.命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若e()，v()，求abc.解(1)由题意得2,3,4,5,6.故p(2)，p(3)，p(4)，p(5)，p(6).所以的概率分布为23456p(2)由题意知的概率分布为123p所以e()，v()222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.命题点3与二项分布有关的均值与方差例3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b，系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值e()解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1p()1p，解得p.(2)由题意，得p(0)3，p(1)c2，p(2)c2，p(3)3.所以，随机变量的概率分布为0123p故随机变量的均值e()0123.(或b(3，)，e()3.)思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值(3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断(1)(2014山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域a，b，乙被划分为两个不相交的区域c，d.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在c上记3分，在d上记1分，其他情况记0分对落点在a上的来球，队员小明回球的落点在c上的概率为，在d上的概率为；对落点在b上的来球，小明回球的落点在c上的概率为，在d上的概率为.假设共有两次来球且落在a，b上各一次，小明的两次回球互不影响求：小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；两次回球结束后，小明得分之和的概率分布与均值解记ai为事件“小明对落点在a上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则p(a3)，p(a1)，p(a0)1.记bj为事件“小明对落点在b上的来球回球的得分为j分”(j0,1,3)，则p(b3)，p(b1)，p(b0)1.记d为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”由题意，da3b0a1b0a0b1a0b3，由事件的独立性和互斥性，得p(d)p(a3b0a1b0a0b1a0b3)p(a3b0)p(a1b0)p(a0b1)p(a0b3)p(a3)p(b0)p(a1)p(b0)p(a0)p(b1)p(a0)p(b3)，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.由题意，得随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得p(0)p(a0b0)，p(1)p(a1b0a0b1)p(a1b0)p(a0b1)，p(2)p(a1b1)，p(3)p(a3b0a0b3)p(a3b0)p(a0b3)，p(4)p(a3b1a1b3)p(a3b1)p(a1b3)，p(6)p(a3b3).可得随机变量的概率分布为012346p所以均值e()012346.(2)(2014辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x的概率分布，均值e(x)及方差v(x)解设a1表示事件“日销售量不低于100个”，a2表示事件“日销售量低于50个”，b表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”因此p(a1)(0.0060.0040.002)500.6，p(a2)0.003500.15，p(b)0.60.60.1520.108.x可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为p(x0)c(10.6)30.064，p(x1)c0.6(10.6)20.288，p(x2)c0.62(10.6)0.432，p(x3)c0.630.216，可得随机变量x的概率分布为x0123p0.0640.2880.4320.216因为xb(3,0.6)，所以均值e(x)30.61.8，方差v(x)30.6(10.6)0.72.题型二均值与方差在决策中的应用例4(2014湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量x(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x限制，并有如下关系：年入流量x40x120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，得p1p(40x120)0.1.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为pc(1p3)4c(1p3)3p3()44()3()0.947 7.(2)记水电站年总利润为y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润y5 000，e(y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40x80时，一台发电机运行，此时y5 0008004 200，因此p(y4 200)p(40x80)p10.2；当x80时，两台发电机运行，此时y5 000210 000，因此p(y10 000)p(x80)p2p30.8.由此得y的概率分布如下：y4 20010 000p0.20.8所以，e(y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40x80时，一台发电机运行，此时y5 0001 6003 400，因此p(y3 400)p(40x120时，三台发电机运行，此时y5 000315 000，因此p(y15 000)p(x120)p30.1，由此得y的概率分布如下：y3 4009 20015 000p0.20.70.1所以，e(y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解若按“项目一”投资，设获利为x1万元则x1的概率分布为x1300150pe(x1)300(150)200(万元)若按“项目二”投资，设获利为x2万元，则x2的概率分布为：x25003000pe(x2)500(300)0200(万元)v(x1)(300200)2(150200)235 000，v(x2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.e(x1)e(x2)，v(x1)v(x2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资8离散型随机变量的均值与方差问题典例(14分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为p2.(1)若m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p2的值；(3)设p2，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次设表示摸出红球的总次数，求的概率分布和均值思维点拨(1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求概率分布和均值，关键是求的所有可能值及每个值所对应的概率规范解答解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x104.4分(2)由已知，得，解得p2.6分(3)的所有可能值为0,1,2,3.p(0)，p(1)c，p(2)c2，p(3)2.10分所以的概率分布为0123p12分所以e()0123.14分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值第二步：求每一个可能值所对应的概率第三步：列出离散型随机变量的概率分布第四步：求均值和方差第五步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的概率分布、均值(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范方法与技巧1均值与方差的性质(1)e(axb)ae(x)b，v(axb)a2v(x)(a，b为常数)(2)若x服从两点分布，则e(x)p，v(x)p(1p)(3)若x服从二项分布，即xb(n，p)，则e(x)np，v(x)np(1p)2求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解(2)已知随机变量x的均值、方差，求x的线性函数yaxb的均值、方差，可直接用x的均值、方差的性质求解(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解失误与防范1在没有准确判断概率分布模型之前不能随便套用公式2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差a组专项基础训练(时间：45分钟)1若xb(n，p)，且e(x)6，v(x)3，则p(x1)的值为_答案3210解析由题意知解得p(x1)c(1)113210.2随机变量的概率分布如下，其中a、b、c为等差数列，若e()，则v()的值为_.101pabc答案解析由概率分布得abc1，由均值e()得ac，由a、b、c为等差数列得2bac，由得a，b，c，所以v().3某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差v()_.答案0.4解析依题意，随机变量服从超几何分布，可能的取值为1,2,3.p(k)，k1,2,3.的概率分布为123pe()1232.v()(12)2(22)2(32)20.4.4一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为x，则x的均值是_答案解析根据题意知x0,1,2，而p(x0)；p(x1)；p(x2).故e(x)012.5设随机变量b(5,0.5)，又5，则e()和v()的值分别是_答案，解析因为随机变量b(5,0.5)，所以n5，p0.5，所以e()np50.5，所以e()e(5)5e()5.因为v()np(1p)50.5(10.5)，所以v()v(5)52v()25.6已知随机变量的概率分布为p(k)，k1,2,3，n，则p(25)_.答案解析p(25)p(3)p(4)p(5).7签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设x为这3支签的号码之中最大的一个，则x的均值为_答案5.25解析由题意可知，x可以取3,4,5,6，p(x3)，p(x4)，p(x5)，p(x6).由均值的定义可求得e(x)5.25.8某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为，求的概率分布和均值解(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件a，“两人都不享受折扣优惠”为事件b，则p(a)，p(b).因为事件a，b互斥，则p(ab)p(a)p(b).故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.(2)根据题意，得的可能取值为0,1,2.其中p(0)p(b)，p(1)，p(2)p(a).所以的概率分布为012p所以e()012.9现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下游戏规则为：若小球最终落入a槽，得10张奖票；若落入b槽，得5张奖票；若落入c槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次(1)求投球一次，小球落入b槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量x，求x的概率分布及均值解(1)由题意可知投一次小球，落入b槽的概率为()2()2.(2)落入a槽的概率为()2，落入b槽的概率为，落入c槽的概率为()2.x的所有可能取值为0,5,10，p(x0)()3，p(x5)()2.p(x10)()2.所以x的概率分布为x0510pe(x)0510.b组专项能力提升(时间：30分钟)10老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为_答案解析由题意知，在抽出的容量为10的样本中，有204名女同学，每个女同学被抽到的概率是一样的，所以某女同学甲被抽到的概率为.11袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，9的九个球现从袋中随机取出3个球设为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时的值是2)，则随机变量的均值e()为_答案解析依题意得，的所有可能取值是0,1,2.且p(0)，p(1)，p(2)，因此e()012.12马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布如下表：x123p(x)？！？请小牛同学计算的均值尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案e()_.答案2解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则e()1x2(12x)3xx24x3x2.13pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大我国pm2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即pm2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米