（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 不等式 第45课 一元二次不等式(含分式不等式) 文.doc

第45课 一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5p75例1改编)不等式-3x2+6x2的解集为.【答案】【解析】将不等式-3x2+6x2转化为3x2-6x+20，所以不等式的解集为.2.(必修5p80习题11改编)不等式0的解集为.【答案】x|-3x0的解集是x|3x0对于任意的x2，+)恒成立，则实数k的取值范围是.【答案】(-，-)(，+)【解析】由x2-2x+k2-20，得k2-x2+2x+2，设f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，当x2，可求得f(x)max=2，则k2f(x)max=2，所以k或k0或ax2+bx+c0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2rax2+bx+c0)的解集x|x1xx22.求解一元二次不等式的三个步骤：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0得到根；(2)结合二次函数y=ax2+bx+c的图象；(3)写出一元二次不等式的解集.3.分式不等式0(ab)的解集为x|ax0(ab)的解集为x|xb.4.二次不等式ax2+bx+c0的解集为r的条件是.二次不等式ax2+bx+c0的解集为r的条件是.【要点导学】要点导学各个击破一元二次不等式及分式不等式的解法例1解下列关于x的不等式.(1)-6x2-5x+10；(2)3.【思维引导】(1)本题考查一元二次不等式的解法，求解时注意与相应的二次函数的图象相结合.(2)由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母.所以有-30，通分得0，即0，又0等价于(2x-1)x0且x0，不等式(2x-1)x0对应方程的根为x1=0，x2=，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为x或x0，方程6x2+5x-1=0的解为x1=，x2=-1.根据y=6x2+5x-1的图象，可得原不等式的解集为.(2)原不等式变形为-30，即0，所以原不等式的解集为.【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为0(a0(a-2；(2)x2-(a2+a)x+a30).【解答】(1)解不等式x-3-2，可得2或2，得x4；由1，得x1且x0，即0x4或0x1.(2)原不等式转化为(x-a)(x-a2)a，即a1时，不等式的解集为x|axa2；当a2a，即0a1时，不等式的解集为x|a2xa；当a2=a，即a=1时，不等式的解集为.变式2已知关于x的不等式1.(1)当a=1时，解该不等式；(2)当a为任意实数时，解该不等式.【解答】(1)当a=1时，不等式化为1，化为0，所以1x2，解集为x|1x2.(2)由1，得0，即(ax-2)(x-1)1，即0a2时，解集为；当2时，解集为；当a=0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1.三个“二次”的关系例2已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，cr)的值域为0，+)，若关于x的不等式f(x)m的解集为(n，n+10)，求实数m的值.【解答】因为函数f(x)=2x2+bx+c(b，cr)的值域为0，+)，所以=b2-8c=0，所以c=，因为不等式f(x)m的解集为(n，n+10)，所以2x2+bx+m，即2x2+bx+-m0的解集为(n，n+10)，设方程2x2+bx+-m=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=-，所以|x1-x2|=10，解得m=50.【精要点评】(1)一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.(2)若x1，x2为ax2+bx+c=0(a0)两根，则|x1-x2|=.变式(2015惠州期末)若不等式x2-ax-b0 的解集.【解答】(1)由题设可知不等式x2-ax-b0的解集是x|2x0，即为-6x2-5x-10，不等式-6x2-5x-10可化为6x2+5x+10，即(2x+1)(3x+1)0，解得-x-，所以所求不等式的解集为x.例3(1)已知方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求实数a的取值范围；(2)若，是方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个根，且2，求实数m的取值范围.【思维引导】数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的关系：(1) (2)f(2)0.【解答】(1)令f(x)=x2+ax+2，因为x2+ax+2=0的两根都小于-1，所以所以2a3，即实数a的取值范围是2，3).(2)令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，则此二次函数的图象开口向上.又2，所以f(2)0，即4+(2m-1)2+4-2m0，所以m-3，即实数m的取值范围是(-，-3).【精要点评】利用二次函数的图象分析一元二次方程的根的问题，通常要考查其开口方向、判别式、对称轴及端点处函数值的符号.恒成立问题求参数例4如果不等式ax2-ax+10恒成立，那么实数a的取值范围为.【答案】0，4【解析】当a=0时，原不等式变为10，恒成立，符合题意；当a0时，由ax2-ax+10恒成立，得解得00恒成立，求实数m的取值范围.【解答】令t=3x(t1)，则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1(t(1，+)的图象恒在x轴的上方，即=(-m)2-4(m+1)0或解得m2+2.即实数m的取值范围是(-，2+2).1.(2015江苏卷)不等式4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由题意得x2-x2-1x0)的零点为2和3，那么不等式ax2-bx+c0的解集为.【答案】x|-3x0)的零点为2和3，所以f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为a0，所以不等式ax2-bx+c0的解集为x|-3xf(k)，则实数k的取值范围为.【答案】(lo9，4)【解析】由题设知f(x)=所以f(f(-2)=f(4)=9.所以原不等式等价于f(k)9，即或解得k(lo9，4).4.若关于x的不等式ax2+x-2a0的解集中有且仅有4个整数解，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】当a0时，不等式ax2+x-2a0.设f(x)=ax2+x-2a，因为f(0)=-2a0.若a1，则f(1)=1-a0，矛盾.所以假设错误，故0a1，所以4个整数解应为0，-1，-2，-3，所以f(-3)=7a-30的解集为.(用区间表示)2.不等式0的解集为x|-1x2，则实数a+b=.4.(2014苏北五市模拟)已知集合a=x|x-a|1，b=x|x2-5x+40.若ab=，则实数a的取值范围是.5.若关于x的不等式ax2-|x|+2a0的解集为空集，则实数a的取值范围是.6.若一元二次不等式ax2-ax+b4x+a-3恒成立的x的取值范围是.8.(2014苏州期末)已知函数f(x)=那么不等式f(x2-x+1)12的解集为.二、 解答题 9.设命题p：实数x满足(x-4a)(x-a)0；命题q：实数x满足x2-4x+30.(1)若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.10.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税r元(叫作税率r%)，则每年产销量将减少10r万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，r应怎样确定?11.(2015大同期末)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-20，ar.(1)已知不等式的解集为(-，-12，+)，求实数a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-22x2-3对xr恒成立，求实数a的取值范围.(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-20.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当x(-，-1时，不等式(m-m2)4x+2x+10恒成立，则实数m的取值范围是.13.(2015南京三模)已知a，t为正实数，函数f(x)=x2-2x+a，且对任意的x0，t，都有f(x)-a，a.若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为.【检测与评估答案】第八章不 等 式第45课一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1)【解析】由-x2-3x+40，得-4x0的解集为(-4，1).2.3.0【解析】因为解集为(-1，2)，所以由韦达定理可得解得所以a+b=0.4.(2，3)【解析】由题意知a=a-1，a+1，b=(-，14，+).因为ab=，所以a+11，即2a3.5.【解析】当x=0时，不等式变为2a0，因为此不等式的解集为，所以a0；当x0时，不等式可化为a0，所以a(x-1)+x2-4x+30，令f(a)=a(x-1)+x2-4x+3，则函数f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示一条直线，所以要使f(a)=a(x-1)+x2-4x+30，则有f(0)0，f(4)0，即x2-4x+30且x2-10，解得x3或x-1，即使原不等式恒成立的x的取值范围为(-，-1)(3，+).8.(-1，2)【解析】易知f(x)=是奇函数，且在r上单调递增，f(3)=12，所以原不等式等价于x2-x+13，解得-1x2，即不等式f(x2-x+1)12的解集为(-1，2).9. (1) 由(x-4a)(x-a)0，得ax4a.当a=1时，1x4，即p为真命题时，实数x的取值范围为x|1x4.由x2-4x+30，得1x3.所以q为真时，实数x的取值范围为x|1x3.若pq为真，则1x3，所以实数x的取值范围是(1，3.(2) 设a=x|ax4a，b=x|1x3，q是p的充分不必要条件，则ba，所以a1，所以实数a的取值范围是.10. 设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收税金为70xr%(万元)，且x=100-10r.由题意知70(100-10r)r%112，化简得r2-10r+160，解得2r8，可知税率定在2%到8%之间，年收入附加税不少于112万元.11. 因为ax2+(a-2)x-20的解集为(-，-12，+)，所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2，所以-12=，解得a=1.(2) 若不等式ax2+(a-2)x-22x2-3对xr恒成立，则(a-2)x2+(a-2)x+10对xr恒成立.因此，当a=2时，不等式变为10，显然成立，当a2时，得20时，-1，所以(x+1)(ax-2)0x-1或x；当a-2时，-1，所以(x+1)(ax-2)0-1x；当a=-2时，-1=，所以(x+1)(ax-2)0(x+1)20x=-1；当-2a；所以(x+1)(ax-2)0x-1，综上可得，当a=0时，原不等式的解集为x|x-1；当a0时，原不等式的解集为；当-2a0时，原不等式的解集为；当a=-2时，原不等式的解集为；当a0恒成立，所以m-m2-.设t=，因