（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线要点导学要点导学各个击破求抛物线的方程已知点p在抛物线y2=2px上,求该抛物线的方程.思维引导将点p的坐标代入抛物线方程y2=2px即可.解答因为点p在抛物线y2=2px上,所以=2p,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.若抛物线y2=2px(p0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程为.答案x=-2解析抛物线的焦点坐标为,代入直线x-2y-2=0,得-2=0,即p=4,所以抛物线的准线方程为x=-=-2.直线与抛物线的问题过点m(2,0)的直线l与抛物线c:y2=4x相交于a,b两点,过点a,b分别作y轴的垂线交直线l:y=-2x-2于点a,b.(1) 若四边形abba是等腰梯形,求直线l的方程;(2) 若a,o,b三点共线,求证:ab与y轴平行.思维引导(1) 若四边形abba是等腰梯形,直线l的斜率与直线l:y=-2x-2斜率互为相反数;(2) 通过计算a,b的坐标来证明ab与y轴平行.解答(1) 因为四边形abba为等腰梯形,所以kab=2,故直线l的方程为y=2x-4.(2) 设直线ab的方程为x=ty+2,a(x1,y1),b(x2,y2),则a,b,由得y2-4ty-8=0,故y1+y2=4t,y1y2=-8.因为a,o,b三点共线,所以=,即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8,所以y1=2,所以a(1,2),b(1,-4),故直线ab与y轴平行.【题组强化重点突破】1. (2014辽宁卷)已知点a(-2,3)在抛物线c:y2=2px的准线上,过点a的直线与抛物线c在第一象限相切于点b,记抛物线c的焦点为f,则直线bf的斜率为.答案解析由于点a(-2,3)在抛物线c:y2=2px的准线上,所以-=-2,p=4,所以y2=8x.设直线ab的方程为x=k(y-3)-2,与y2=8x联立,得y2-8ky+24k+16=0,由=64k2-96k-64=0,得k=2(负值舍去).将k=2代入,得y=8,x=8,故b(8,8),所以kbf=.2. (2014莆田一中模拟)过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a,b两点,点o是坐标原点,若af=5,则aob的面积为.答案解析由已知可得p=2.如图,过点a作aa1l,l为准线,垂足为a1,则由抛物线的定义得aa1=af,所以xa+=5,xa=4,代入y2=4x,得ya=4(-4舍去),所以a(4,4).又f(1,0),所以直线ab的方程为=,即x=y+1,代入y2=4x,得y2=3y+4,所以yb=-1.所以saob=of(|ya|+|yb|)=1(4+1)=.(第2题)3. (2014河南模拟)过抛物线y2=4x的焦点f且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于a,b两点,则=.(第3题)答案3解析如图,过点a,b作准线的垂线,垂足分别为a1,b1,过点b作bcaa1于点c,由垂直及抛物线的定义可知cab=60,所以ab=2ac,所以af+bf=2(af-bf),所以=3.抛物线与其他曲线的综合已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于a,b两点,o为坐标原点.若双曲线的离心率为2,aob的面积为,则p=.答案2(例3)解析由e=2,得c=2a,b=a,所以双曲线的渐近线为y=x.又抛物线的准线方程为x=-,联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得点a,b（-,-）.在aob中,ab=p,o到ab的距离为,saob=,所以p=,解得p=2.若过点p(1,2)的直线l与抛物线y2=4x相交于a,b两点,求ab的中点m所在曲线的方程.解答设a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2),ab中点为m(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.又=4x1,=4x2,所以(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).所以kab=.又kab=,x1,于是由=,得2x-y2+2y-2=0.当x=1时,m为(1,0),满足上式.故点m所在曲线的方程为2x-y2+2y-2=0.已知抛物线c:y2=4x的顶点为o,过点(-1,0)且斜率为k的直线与抛物线c交于a,b两点,当实数k变化时:(1) 求证:是一个与k无关的常数;(2) 若=+,求|的最小值.思维引导建立直线的方程,将y2=4x代入直线方程后得到关于y的方程,设a(x1,y1),b(x2,y2),建立y1与y2的关系,再建立x1与x2的关系,进而求得x1x2+y1y2.规范答题(1) 由题意可设直线ab的方程为y=k(x+1),由得ky2-4y+4k=0.设点a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=4,x1x2=1,所以=x1x2+y1y2=5,它为常数. (6分)(2) 设m(x,y),由=+=(x1+x2,y1+y2),得=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+(y1+y2)2=(y1+y2)2-2y1y22+(y1+y2)2=+4,由于=16-16k20,得-1k1,且k0,所以|min=2. (14分)1. (2014福建六校联考)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于a,b两点,若线段ab中点的横坐标为3,则ab=.答案8解析设a(x1,y1),b(x2,y2),因为ab的中点的横坐标为3,即=3,所以x1+x2=6.又因为ab=x1+x2+p,p=2,所以ab=2+6=8.2. 已知p为抛物线c:y2=4x上一点,若点p到抛物线c准线的距离与到顶点的距离相等,则点p到x轴的距离为.答案解析由题意得点p到焦点的距离与到顶点的距离相等,所以xp=,所以|yp|=.3. (2014济南期末)已知定点q(2,-1),f为抛物线y2=4x的焦点,动点p为抛物线上任意一点,当pq+pf取最小值时点p的坐标为.答案解析设点p在准线上的射影为点d,则根据抛物线的定义可知pf=pd,要使pq+pf取得最小值,则需d,p,q三点共线,将q(2,-1)的纵坐标代入y2=4x,得x=,故点p的坐标为.4. (2014湖南卷)如图,正方