（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时1 直线与圆锥曲线　 文.doc

课时1直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)过双曲线c：1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线c的交点情况是_(填序号).没有交点；只有一个交点；有两个交点且都在左支上；有两个交点分别在左、右两支上.(2)(2014湖北改编)设a，b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根，则过a(a，a2)，b(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为_.答案(1)(2)0解析(1)直线l的方程为y(x)，代入c：1，整理得23x28x1600，(8)24231600，所以直线l与双曲线c有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上.(2)关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根为0，tan (tan 0)，则过a，b两点的直线方程为yxtan ，双曲线1的渐近线方程为yxtan ，所以直线yxtan 与双曲线没有公共点.(3)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：1(ab0)的左焦点为f1(1,0)，且点p(0,1)在c1上.求椭圆c1的方程；设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2：y24x相切，求直线l的方程.解根据椭圆的左焦点为f1(1,0)，知a2b21，又根据点p(0,1)在椭圆上，知b1，所以a，所以椭圆c1的方程为y21.因为直线l与椭圆c1和抛物线c2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxm(k0)，代入椭圆方程得(kxm)21，即x22kmxm210，由题意可知此方程有唯一解，此时4k2m24(m21)0，即m22k21.把ykxm(k0)代入抛物线方程得y2ym0，由题意可知此方程有唯一解，此时1mk0，即mk1.联立得解得k2，所以或所以直线l的方程为yx或yx.思维升华研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解.已知直线l：y2xm，椭圆c：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆c：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆c的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆c有两个不重合的公共点.(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆c有且只有一个公共点.(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆c没有公共点.题型二弦长问题例2已知椭圆c：1(ab0)的一个顶点为a(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆c交于不同的两点m，n.(1)求椭圆c的方程；(2)当amn的面积为时，求k的值.解(1)由题意得解得b，所以椭圆c的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以mn又因为点a(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以amn的面积为smnd，由，解得k1.思维升华有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.(2015湖南)已知抛物线c1 ：x24y的焦点f也是椭圆c2：1(ab0)的一个焦点.c1 与c2的公共弦的长为2.过点f的直线l与c1相交于a，b两点，与c2相交于c，d两点，且与同向.(1)求c2的方程；(2)若acbd，求直线l的斜率.解(1)由c1：x24y知其焦点f的坐标为(0,1).因为f也是椭圆c2的一个焦点，所以a2b21.又c1与c2的公共弦的长为2，c1与c2都关于y轴对称，且c1的方程为x24y，由此易知c1与c2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故c2的方程为1.(2)如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4).因与同向，且acbd，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4，将代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.题型三中点弦问题例3(1)已知椭圆e：1(ab0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交e于a，b两点.若ab的中点坐标为(1，1)，则e的方程为_.(2)已知双曲线x21上存在两点m，n关于直线yxm对称，且mn的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_.答案(1)1(2)0或8解析(1)因为直线ab过点f(3,0)和点(1，1)，所以直线ab的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以ab的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3.所以e的方程为1.(2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，mn的中点p(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kmn3，m，n关于直线yxm对称，kmn1，y03x0.又y0x0m，p，代入抛物线方程得m218，解得m0或8，经检验都符合.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.设抛物线过定点a(1,0)，且以直线x1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹c的方程；(2)若直线l与轨迹c交于不同的两点m，n，且线段mn恰被直线x平分，设弦mn的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围.解(1)设抛物线顶点为p(x，y)，则焦点f(2x1，y).再根据抛物线的定义得af2，即(2x)2y24，所以轨迹c的方程为x21.(2)设弦mn的中点为p，m(xm，ym)，n(xn，yn)，则由点m，n为椭圆c上的点，可知两式相减，得4(xmxn)(xmxn)(ymyn)(ymyn)0，将xmxn21，ymyn2y0，代入上式得k.又点p在弦mn的垂直平分线上，所以y0km.所以my0ky0.由点p(，y0)在线段bb上(b，b为直线x与椭圆的交点，如图所示)，所以yby0yb，也即y0.所以m2，即0)，如果直线yx与椭圆的一个交点m在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点f，则m的值为_.答案2解析根据已知条件得c，则点(，)在椭圆1(m0)上，1，可得m2.4.斜率为1的直线l与椭圆y21相交于a，b两点，则ab的最大值为_.答案解析设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.ab|x1x2|，当t0时，abmax.5.过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于a，b两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线有_条.答案0解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1，设a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a，b到直线x1的距离之和为x1x22.设直线方程为xmy1，代入抛物线y24x，则y24(my1)，即y24my40，x1x2m(y1y2)24m22.x1x224m244.a，b到直线x2的距离之和x1x22265.满足题意的直线不存在.6.过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点，若使得ab的直线l恰有3条，则_.答案4解析使得ab的直线l恰有3条.根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直.此时a，b的横坐标为，代入双曲线方程，可得y2，故ab4.双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，ab4时，有3条直线满足题意.4.7.在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点m，n的坐标分别为_.答案(2,4)，(1,1)解析设直线mn的方程为yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，b.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x21，bb，由在直线yx3上，即b3，解得b2，联立得解得8.过椭圆1内一点p(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_.答案3x4y130解析设直线与椭圆交于a(x1，y1)、b(x2，y2)两点，由于a、b两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又p是a、b的中点，x1x26，y1y22，kab.直线ab的方程为y1(x3).即3x4y130.9.如图，点f1(c，0)，f2(c,0)分别是椭圆c：1(ab0)的左，右焦点，过点f1作x轴的垂线，交椭圆c的上半部分于点p，过点f2作直线pf2的垂线交直线x于点q，连结pq.(1)如果点q的坐标为(4,4)，求椭圆c的方程；(2)试判断直线pq与椭圆c的公共点个数，并证明你的结论.解(1)方法一由条件知，p，故直线pf2的斜率为kpf2.因为pf2f2q，所以直线f2q的方程为yx，故q.由题设知，4,2a4，解得a2，c1.故椭圆c的方程为1.方法二设直线x与x轴交于点m.由条件知，p.因为pf1f2f2mq，所以，即，解得mq2a.所以解得故椭圆方程为1.(2)点q的坐标为，点p的坐标为，kpq，pq的方程为y2a，即yxa.将pq的方程代入椭圆c的方程，得b2x2a22a2b2，(b2c2)x22a2cxa4a2b20，而a2b2c2，上式可化为a2x22a2cxa2c20，解得xc，直线pq与椭圆c只有一个公共点.10.(2014湖北)在平面直角坐标系xoy中，点m到点f(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点p(2,1)，求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解(1)设点m(x，y)，依题意得mf|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x).故点m的轨迹c的方程为y2(2)在点m的轨迹c中，记c1：y24x (x0)，c2：y0(x0).依题意，可设直线l的方程为y1k(x2).由方程组可得ky24y4(2k1)0.(*1)当k0时，此时y1.把y1代入轨迹c的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹c恰好有一个公共点(，1).当k0时，方程(*1)根的判别式为16(2k2k1).(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即当k(，1)(，)时，直线l与c1没有公共点，与c2有一个公共点，故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点.()若或由(*2)(*3)解得k1，或k0.即当x1，时，直线l与c1只有一个公共点，与c2有一个公共点.当k，0)时，直线l与c1有两个公共点，与c2没有公共点.故当k，0)1，时，直线l与轨迹c恰好有两个公共点.()若由(*2)(*3)解得1k或0k0，b0)，p为x轴上一动点，经过点p的直线y2xm (m0)与双曲线c有且只有一个交点，则双曲线c的离心率为_.答案解析由双曲线的方程可知：渐近线方程为yx.经过点p的直线y2xm (m0)与双曲线c有且只有一个交点，此直线与渐近线yx平行，2.e .13.过抛物线y22px(p0)焦点f的直线l与抛物线交于b，c两点，l与抛物线准线交于点a，且af6，2，则bc_.答案解析不妨设直线l的倾斜角为，其中00)经过圆f：x2y22x4y40的圆心，则抛物线e的准线与圆f相交所得的弦长为_.答案2解析圆的标准方程为(x1)2(y2)232，圆心为f(1，2).代入抛物线方程可得p2，所以其准线方程为x1.圆心到直线x1的距离d2，所以抛物线e的准线与圆f相交所得的弦长为22.15.椭圆c：1 (ab0)的离心率为，其左焦点到点p(2,1)的距离为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆c相交于a，b两点(a，b不是左，右顶点)，且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.解(1)左焦点(c,0)到点p(2,1)的距离为，解得c1.又e，解得a2，b2a2c23，所求椭