对弧长的曲线积分.pdf

习题 10 1 对弧长的曲线积分 习题 10 1 对弧长的曲线积分 1 填空题 1 L dsyx 22 其中 的定积分形式为 1 22 yxL 2 以 0 0 1 1 1 0 为顶点的三角形的边界 则 L Lds 3 上的弧段 2 xyL 10 x Lxds 4 ds zyx I 222 1 其中上t从 0 到 2 的这段 弧 ttt ezteytex sin cos I 5 曲线 10 3 2 32 t t z t ytxL 线密度y2 则曲线L的质量M的定 积分形式为 2 计算下列对弧长的曲线积分 1 l dsyxI 其中L为连接点的三角形围线 1 0 0 1 0 0 BAO 2 L dsyxI 22 其中L为圆周 0 22 faaxyx 3 其中 L yzdsxI 2 L为折线 这里 ABCD 2 3 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 DCBA 4 L yx dseI 22 其中L为圆周 直线 0 222 faayx xy 及x轴在第一象限 内所围成的扇形边界 5 L dsxyI 2 其中L为正方形1 yx 3 求摆线的第一拱 cos1 sin tay ttax 20 t关于ox轴的转动惯量 设曲线上各点处 的密度等于该点到ox轴的距离之值 习题 10 2 对坐标的曲线积分 习题 10 2 对坐标的曲线积分 1 填空题 1 曲线L为上从点 1 1 到 4 2 的一段弧 1 12 2 2 ty ttx L dyxydxyxI 的 定 积 分 表 达 式 是 且 I 2 曲线L为 cos aykx 上从 0 到 的弧段 的 定积分表达式是 L ydzzdydxxI 2 且 I 3 计算 其中O为原点 AO xydydxyxI 22 A点坐标为 1 1 AO 为抛物线 则 2 xy I AO 为及10 0 yx1 0 1 xy的折线段 则 I 4 设方向沿轴的负方向 且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一力场 求质 量为m的质点沿抛物线上从移到时力场作的功 Oy 2 1yx 0 1 A 1 0 B 受力 F r 功的微元 dw W 其值 2 计算下列对坐标的曲线积分 1 其中 L dyxyxI 2 2 L是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上由点经到 的弧段 0 aA 0 bB 0 aC 2 L aaxyxLxydx 0 2 22 f 逆时针方向 3 L ydzdydxI 其中L为有向闭折线 其中 ABCA 0 0 1 A 0 1 0 B 1 0 0 C 4 L yx dyyxdxyx I 22 其中L为圆周按逆时针方向绕行 222 ayx 0 a 3 一力场由依横轴正方向的常力所构成 试求当一质量为m的质点 沿圆周 按逆时针方向 移过位于第一象限的一段弧时场力所作的功 F 222 Ryx 习题 10 3 格林公式及其应用 习题 10 3 格林公式及其应用 1 填空题 1 用第二类曲线积分表达变力将质点沿椭圆正向运动 一周所做的功 2 3 xyyxF v 44 22 yx W 应用格林公式将其化为二重积分的表达式 为 计算其值为 2 平面区域的边界曲线是光滑的 则用曲线积分的形式表达区域的面积 或 DCD 或 3 利用曲线积分求星形式所围图形的面积的表达式 taytax 33 sin cos A 由对称性只需计算第一象限部分 则 A 计 算其值为 4 L是 的正向边界 则 22 yxD x2 L dyyxdxyx 33 2 利用格林公式计算下列曲线积分 1 L xdyyydxxI 22 其中L是圆正向 xyx2 22 2 L dyyxdxyxI 653 42 其中L为三角形 0 0 3 0 3 2 的正 向边界 3 其中 L dyyxxydxxyxyI 3sin21 cos2 2223 L为沿抛物线上 由点 0 0 到 2 2yx 1 2 的弧段 4 L yx dyyxdxyx I 其中L为正方形ayx 正向 0 a 5 计算 其中 xx dyyedxyyeI 5cos 5sin L L是从点 2 0 沿椭圆1 94 22 yx 至 0 3 的小弧段 3 讨论并计算 L yx ydyxdx I 22 4 4 其中L为任意一条不过原点的简单闭曲线正向 4 验证曲线积分与路径无关 并求 值 3 2 0 0 22 sincos2 sincos2 dyyxxydxxyyx 5 验证 为某一函数的全微分 并求出 dyyxxydxxyyx sinsin2 coscos2 22 yxU yxU 习题 10 4 对面积的曲面积分 习题 10 4 对面积的曲面积分 1 填空题 1 平面 1 432 zyx 在第一卦限部分 则 ds dxdy 计算 dsyxz 3 4 2 2 球面上 0 h 的部分 其上定义面密度为 2222 azyx zha 常 数 则的质心计算 x y 由对称性 z 曲面积分形式 3 对轴的转动惯量的曲面积分形式为 Dyxyxzz z化为 二重积分形式 dxdy 4 密度为 0 的半球壳 0 对轴的转动惯量的曲面积分的形式 是 zazyx 2222 z z I 化为二重积分的形式 5 球面 222 yxaz 在柱面内部的表面积的曲面积分形式是 axyx 22 化为二重积分形式为 2 计算 其中 dsyxI 22 是 1 锥面被平面 3 222 yxz 0 z和3 z所截部分 2 锥面 22 yxz 及平面1 z围成的区域的整个边界 3 ds zyx I 222 1 其中 是界于Hzz 0之间的柱面 222 Ryx H 0 R 0 4 其中 为球面上 0 部分 dszyxI 2222 azyx hza 5 其中 dsxzyzxyI 为锥面 22 yxz 被柱面所截的 部分 axyx2 22 6 求旋转抛物面 2 22 yx z 被平面2 z所截部分的质心坐标 假定其上面密度为该点到 轴的距离平方 z 习题 10 5 对坐标的曲面积分 习题 10 5 对坐标的曲面积分 1 填空题 1 设流速场 则流过球面的流量 1 0 0 v r 2222 Rzyx 2 设锥面介于 0 之间所围立体的外侧在第一卦限部分 则锥 面上任一点处法矢量的方向余弦为 222 zxy yh cos cos cos dxdyyxdzdxxzdydzzy 3 为球面的外侧 1 222 zyx 则 dxdyzyx 222 4 是圆柱面被平面4 22 yx2 zx和0 z所截部分的外侧 则 dzdxydxdyx 2 1 2 计算下列对坐标的曲面积分 1 其中是球面下半部分的下侧 zdxdyyxI 22 2222 Rzyx 2 其中 ydzdxxdydzzdxdyI 是柱面被平面及所 截得的第一卦限内的部分的前侧 1 22 yx0 z3 z 3 柱面被平面 zdxdydydzyzx1 22 yx0 z与1 z所截得的曲面的 外侧 4 22 22 dydzzydxdy yx e z 为锥面 22 yxz 及平面 1 z 2 z所围立体表面的外侧 5 2 22 zdxdydzdxzxydydzyzxI是 22 1yxz 被所 截部分的上侧 0 z 3 利用两类积分之间的关系计算积分 dxdydzdxdydzI 其中 为平面0 zyx被球面所截 部分上侧 2222 Rzyx 习题 10 6 10 7 高斯公式 斯托克斯公式 习题 10 6 10 7 高斯公式 斯托克斯公式 1 填空题 1 利用高斯公式计算 zdxdyxdydz 其中 为平面1 zyx与三坐标平面所 围立体的表面的内侧 2 1 2222 yxdxzdyx柱面与平面2 0 zz所围立体表面外侧 3 dxdyz z y f y dzdxy z y f z dydzx 1 1 333 其中为具有连续导数的 函数 为球面的外侧 化为三重积分 uf 2222 Rzyx 计算其 值 4 kxzjxyieA xy vvvv cos cos 2 向量场A v 的散度 Adiv v 5 kxyjzxiyzA vvvv 2 3 32 向量场A v 的旋度 Arot v 2 利用高斯公式计算 1 dxdyzyxydzdxzyxdydzxzI 2 2322 其中 为上半球体 0 z 222 yxa 的表面外侧 2 其中 为上半球面 dx