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构建建模意识 培养创新思维 黑龙江省东宁县第一中学 杨文波目前的数学教学中，大多是教师给出题目，学生给出计算结果问题的实际背景、是什么结果、怎样应用这些问题基本上都抛到九霄云外。我们一直想教给学生有用的数学，但学生高中毕业后如不攻读数学专业，就觉得数学除了高考拿分外别无它用；虽然我们普遍的教学方式的确是提高了学生的应试“能力”，但是学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题却又不会用数学的方法去解决它，大部分学生学了十二年的数学，却没有起码的数学思维，更不用说用创造性的思维自己去发现问题，解决问题了。由此看来，中学数学教与学的矛盾仍然很尖锐。建立数学模型，实际问题数学化，即一个实际问题的解决首先转化为数学问题，然后把数学问题转化为数学知识去解决，让学生尝试建立不同的数学模型，带动问题的解决和知识的掌握，让学生存在于头脑之中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升为科学的结论，发展为更完善、合理的数学概念和知识框架。并且通过这一过程，使学生理解问题是怎样题出来的、一个概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得的。在充满探索的过程中，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，培养学生搜集和处理的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。下面结合我的教学实际谈谈如何培养学生构建建模意识，培养学生的创新思维。一、重视每章引入问题的教学一般的，教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，这个实际问题必定要通过建立数学模型来解决。而学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学方法得到解决，所以做好章头问题的教学，能有效的帮助学生产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。应该说章头的这些问题是本章知识数学建模案例的最佳选择。只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵应用数学的材料，让学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，激发学生的求知欲，同时在实际问题解决的过程中能很好的掌握知识，培养学生灵活运用和解决问题、分析问题的能力。数学教学中所涉及到的一些重要概念要重视它们的引入，要设计它们的引入，其中以合适的案例来引入概念、演示方法是将数学建模思想融入数学教学的重要形式这样在传授数学知识的同时，使学生学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，知道数学的来龙去脉，使学生了解到他们现在所学的那些看来枯燥无味但又似乎天经地义的概念、定理和公式，并不是无本之木、无源之水，也不是人们头脑中所固有的，而是有现实的与背景，有其实际原型和表现的通过直线的倾斜角与斜率的教学过程为例进行说明：已知点A,再添加一个什么条件就可确定一条直线？建立数学模型：要解决以上问题，通过所学知识不难得到方法一：知道另外一点，两点就可确定一条直线；通过实际生活感受不难得到方法二：确定直线的走向后，过这一点就可确定一条直线。这样在平面直角坐标系中就可很自然的引入了一个描述直线倾斜程度的数学模型倾斜角（实际上以上两法也是直线方程两种最基本形式：两点式与点斜式最原始的雏形）。 通过另一个描述直线倾斜程度的数学模型-坡度与倾斜角的联系很自然的引入又一个描述直线倾斜程度的数学模型-斜率，从而实现了形到数的转变，真正达到了通过坐标（解析法）研究直线倾斜程度的目的。反之，能否通过形的帮助来解决数的问题呢？如已知a,b,m都为正实数，且ab，求证：b/a(b+m)/(a+m)。如果由式能想到形即几何意义：看成斜率问题，用数形结合法来解决此问题就会产生畅快淋漓之感。因此我们不但要重视形到数的研究，更要由数到形的意识，以助于我们更好的解决问题。二、通过数学应用题的教学渗透数学建模的思想高中数学中的函数应用、立体几何、三角测量、概率等问题，与我们的生活息息相关，容易使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多的数学模型，在教学实践中，我们依据现有实际问题，选出具有典型数学概念的应用案例，然后按照数学建模过程和方法修改之后作为课堂上的引例或者数学知识的实际应用例题这样使学生既能亲切感受到数学应用的广泛，也能培养学生用数学解决问题的能力如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决；又如在解析几何中讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题,而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列教学中。对教材中出现的应用题问题，可以改变设问方式、变换题设条件、互换条件结论或者拓广类比成新的数学建模应用问题；对教材中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生进行将实际问题数学化，抽象为数学问题的训练。例如解方程组 x+y+z=1 (1) x2+y2+z2=1/3 (2) x3+y3+z3=1/9 (3) 分析：本题若用常规解法求相当繁难，仔细观察题设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，就可以构造各种等价数学模型解决。 模型1：方程(1)表示三根之和，由(1) (2)不难得到两两之积的和（xy+yz+zx）=1/3，再由(3)又可将三根之积（xyz=1/27），由韦达定理，可构造一个一元三次方程模型。（4）x,y,z 恰好是其三个根t3-t2+1/3t-1/27=0 ，这是构建了方程模型。 模型2：由(1) (2)知若以xz(x+y+z)为一次项系数，（x2+y2+z2）为常数项，则以3（12+12+12）为二次项系数的二次函数f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+( x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2为完全平方函数3(t-1/3)2，从而有t-x=t-y=t-z，而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3，也适合(3)。这是构建了函数模型。 模型3：方程(1) (2)有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心(O、O)到直线x+y=1-z的距离不大于半径。这是构建了平面解析模型。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。三、 与社会生活的热点问题联系，介绍建模方法日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中许多问题可以通过建立数学模型加以解决，如合理负担出租车费、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、住房问题、还有市场经济所涉及的诸如成本、利润、储蓄、投标及股份制等都是数学建模问题的丰富素材，都可以建立初等数学模型加以解决。只要结合数学课程内容，介绍相关的建模方法（如理论分析法、数据分析法、类比分析法、图解法等），适时引导学生考虑生活中的数学，会加深学生对数学知识的理解和运用，恰当地把生活问题融入课堂教学活动之中，会增强学生应用数学的信心，获得必要的应用技能。例如：根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国年的人口数。 时间 (年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人中数(百万) 39 50 63 76 92 106 123 132 145 分析：这是一个确定人口增长模型的问题，建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步作出预测。四、课外活动的教学强化数学建模意识一般来说，有些数学问题可以运用较少的数学知识、与教材内容密切相关的、相对简单的建模活动可以在课堂教学中进行；而需要综合运用多种知识、与教材内容联系不紧密的、相对较复杂的建模活动应在课外活动中进行。因此，教师一要结合正常的课堂教学，介入数学建模的内容；二要开展以数学建模为主的课外活动，把它作为建模教学中不可分割的部分。让学生在课外活动中学到数学知识、方法和思想，从中引导学生探求数学模型，应用数学知识解决实际问题。在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力，如记住一些常用及常见的数据，如：人行车、自行车的速度，自己的身高、体重等。利用学校条件，组织学生到操场进行实习活动，活动一结束，就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决。如：推铅球的角度与距离关系；全班同学手拉手围成矩形圈，怎样围使围成的面积最大等，用砖块搭成多米诺牌骨等。五、数学建模与其他学科联系，培养学生应用数学的意识由于数学是学生学习其他学科的工具且与其他学科与数学的联系是相当密切的，因此在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其他学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。例如：从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。解：设最大速度为Vm,即加速阶段的末速度为Vm：t020V/m.s-1图5画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面积等于位移。即：即：说明：数形结合是中学数学中最重要的数学思想，在物理解题过程中，恰到好处地运用这一思