（浙江通用）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 双曲线.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 双曲线1双曲线定义平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|f1f2|时，p点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1 (a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()1(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()a. b5c. d2答案a解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2(2015安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()ax21 b.y21cx21 d.y21答案a解析由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选a.3(2014广东)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()a焦距相等 b实半轴长相等c虚半轴长相等 d离心率相等答案a解析因为0k0)的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为_答案解析双曲线c的标准方程为1(m0)，其渐近线方程为yx，即yx，不妨选取右焦点f(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.5已知双曲线1 (a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，p为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是_答案(1,3解析p为双曲线右支上的任意一点，|pf1|2a|pf2|，|pf2|4a24a8a，当且仅当|pf2|2a，|pf1|4a时等号成立，可得2a4a2c，解得e3，又双曲线的离心率大于1，答案为(1,3题型一双曲线的定义及标准方程命题点1双曲线定义的应用例1已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_答案x21(x1)解析如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b.根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|，因为|ma|mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|2，所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于|c1c2|6.又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1)命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点m(0,12)；(3)经过两点p(3,2)和q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点m(0,12)，m(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 (0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值(1)(2015课标全国)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_(2)设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为_答案(1)y21(2)1解析(1)由双曲线渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.(2)由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1(5,0)，f2(5,0)，设曲线c2上的一点p，则|pf1|pf2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线c2的标准方程为1.即1.题型二双曲线的几何性质例3(1)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点f作一条渐近线的垂线，垂足为点a，与另一条渐近线交于点b，若2，则此双曲线的离心率为()a. b. c2 d.(2)(2015山东)过双曲线c：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交c于点p.若点p的横坐标为2a，则c的离心率为_答案(1)c(2)2解析(1)如图，2，a为线段bf的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.(2)把x2a代入 1得yb.不妨取p(2a，b)又双曲线右焦点f2的坐标为(c,0)，kf2p.由题意，得.(2)ac.双曲线c的离心率为e2.思维升华(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围(1)(2015重庆)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是f，左，右顶点分别是a1，a2，过f作a1a2的垂线与双曲线交于b，c两点，若a1ba2c，则该双曲线的渐近线的斜率为()a bc1 d(2)(2015湖北)将离心率为e1的双曲线c1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线c2，则()a对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2c对任意的a，b，e1e2d当ab时，e1e2；当ab时，e1e2答案(1)c(2)b解析(1)如图，双曲线1的右焦点f(c,0)，左，右顶点分别为a1(a,0)，a2(a,0)，易求b，c，则，又a1b与a2c垂直，则有1，即1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k1.(2)e1 ，e2 .不妨令e1e2，化简得0)，得bmam，得ba时，有，即e1e2；当ba时，有，即e10)的离心率等于，直线ykx1与双曲线e的右支交于a，b两点求k的取值范围；若|ab|6，点c是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解由得故双曲线e的方程为x2y21.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于a，b两点，故即所以1k.故k的取值范围是k|1k由(*)得x1x2，x1x2，|ab|26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b21，双曲线c的方程为y21.(2)设a(xa，ya)，b(xb，yb)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点(3)由(2)得：xaxb，yayb(kxa)(kxb)k(xaxb)2.ab的中点p的坐标为(，)设直线l0的方程为：yxm，将p点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m2.m的取值范围为(，2)12忽视“判别式”致误典例(14分)已知双曲线x21，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a、b两点，且点p是线段ab的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误规范解答解设点a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，且线段ab的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意2分设经过点p的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.3分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)7分x0.由题意，得1，解得k2.10分当k2时，方程成为2x24x30.162480)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为ax2by21 (ab0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点a组专项基础训练(时间：35分钟)1(2015广东)已知双曲线c：1的离心率e，且其右焦点为f2(5,0)，则双曲线c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案c解析因为所求双曲线的右焦点为f2(5,0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选c.2设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为()a. b. c2 d3答案b解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|ab|，依题意4a，2，e212，e.3(2014江西)过双曲线c：1的右顶点作x轴的垂线，与c的一条渐近线相交于点a.若以c的右焦点为圆心、半径为4的圆经过a，o两点(o为坐标原点)，则双曲线c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案a解析由得a(a，b)由题意知右焦点到原点的距离为c4，4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2.双曲线c的方程为1.4(2015课标全国)已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析由题意知a，b1，c，f1(，0)，f2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点m(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的渐近线与圆x2(y2)21相交，则该双曲线的离心率的取值范围是()a(，) b(1，) c(2，) d(1,2)答案c解析双曲线1的一条渐近线为yx，即bxay0，由圆心(0,2)到直线bxay0的距离d12a2，故选c.6(2015北京)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.答案解析双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.7已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.答案5解析因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)8若点o和点f(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_答案(32，)解析由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21，设p点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(p为右支上任意一点)，32.9(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a，b.若点p(m,0)满足|pa|pb|，则该双曲线的离心率是_答案解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得a(，)，由得b(，)，所以ab的中点c的坐标为(，)设直线l：x3ym0(m0)，因为|pa|pb|，所以pcl，所以kpc3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.10已知椭圆c1的方程为y21，双曲线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点(1)求双曲线c2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，且2(其中o为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线c2的方程为1 (a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故c2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线c2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k20，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()a(1，) b(1,2)c(1,1) d(2,1)答案b解析由题意易知点f的坐标为(c,0)，a(c，)，b(c，)，e(a,0)，abe是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故选b.12.设f1，f2分别为双曲线c：1 (a0，b0)的左、右焦点，a为双曲线的左顶点，以f1f2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于m，n两点，且满足man120，则该双曲线的离心率为()a. b. c. d.答案a解析以f1f2为直径的圆的方程x2y2c2，与双曲线的渐近线yx交于点n(x0，y0)根据对称性得m(x