（生物医学工程专业论文）基于小波变换和分形的医学图像编码.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 图像压缩编码是研究如何利用图像固有的统计特性 信源特性 以及尘 理视觉 心理学特性 信宿特性 或者记录设备和显示设备的特性 从原始 图像中经过压缩编码提取有效的信息 尽量去除无用的冗余信息 图像压缩 编码的目的是以尽量少的比特数表征图像 同时保持复原图像的质量 使它 符合预定应用场合的要求 图像编码是一种信源编码 其信源是各种类型的 图像信息 按复原图像是否与原图像一致分类 图像编码分为无损编码和有 损编码 无损编码又称为信息保持编码或可逆编码 有损编码又称为非信息 保持编码或不可逆编码 由于医学图像中的数据流量常常十分巨大 而图像 无损压缩率的理论上限是接近4 l 为了满足实时重建的需要 有时不得不 采取有损的压缩方法 本文对医学c t 图像有损编码展开研究 小波变换在空域和频域同时具有良好的局部化特性 广泛应用于信号处 理 语音分析等科学研究领域 分形迭代函数系统 i f s 图象压缩方法具有压 缩比高和重建图象质量良好的特点 小波分形四叉树方法是将小波变换和分 形四叉树相结合 无论压缩比还是恢复图像质量都取得了比传统有损压缩方 法更好的效果 本文在研究小波分形四叉树算法的基础上 针对该算法存在 的问题 提出了改进方法 主要包括以下内容 1 简要介绍小波变换 多分辨率分析及m a l l a t 算法实现图像变换的原理以 及小波基选取时应注意的问题和边界处理问题 介绍了小波e z w 算法原理 2 介绍了分形的基本原理和分形用于图像压缩的基本方法原理 介绍了小 波变换和分形方法相结合进行图像压缩的方法一小波分形四叉树方法 将改 进的m a l l a t 算法 运用到小波分形四叉树编码算法中 实验结果证明与基于传 统m a l l a t 算法的小波分析四叉树方法相比 在压缩比相差不大的情况下 提高 了重构图像的质量 3 针对小波分形四叉树方法存在的编码时间长的问题 提出了一种改进的 方法 将小波e z w 方法中的阈值思想引入小波分形四叉树方法中 实验结果 证明 在压缩比相差不大 重构图像质量略有降低的情况下 编码时间大大 1 山东大学硕士学位论文 缩短了 4 将一种自适应门限的方法运用到小波分形四叉树方法中 解决了小波分 形四叉树方法中的自动门限问题 5 最后提出了本论文还存在的问题和有待于改进的地方 关键词 小波变换 多分辨率分析 分形 四叉树 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m a g ec o d i n gi s t os t u d yh o wt ou s et h ei n t e r n a ls t a t i s t i cc h a r a c t e r i s t i c s p h y s i c a lv i s i o n p h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i c s r c h a r a c t e r i s t i c so ft h er e c e i v i n gs i d eo f i n f o r m a t i o n o rt h ec h a r a c t e r i s t i c so fr e c o r d i n gs e r v i c ea n dd i s p l a ys e r v i c ea n dt o p i c ku pu s e f u li n f o r m a t i o nf r o mo r i g i n a li m a g er e m o v i n gu s e l e s si n f o r m a t i o n t h e p u r p o s eo ft h ei m a g ec o d ei st oe x p r e s si m a g ew i t hl e s sb i t s a tt h es a m et i m er e t a i n t h eq u a l i t yo fr e c o n s t r u c t e di m a g es a t i s f y i n gt h es p e c i a lu s e i m a g ec o d i n gi sa n i n f o r m a t i o ns o u r c ec o d i n ga n dt h ei n f o r m a t i o ns o u r c ei sa l lk i n d so fi m a g e s a c c o r d i n gt ot h ei d e n t i c a lb e t w e e nt h eo r i g i n a li m a g ea n dt h er e c o n s t r u c t e di m a g e i m a g ec o d i n gi si n c l u d i n gl o s s l e s sc o d i n ga n dl o s sc o d i n g l o s s l e s sc o d i n gi s c a l l e di n f o r m a t i o np r e s e r v i n gc o d i n go rr e v e r s i b l ec o d i n g l o s sc o d i n gi sc a l l e d i n f o r m a t i o nn o n p r e s e r v i n gc o d i n go ru n r e v e r s i b l ec o d i n g a st h ed a t as t r e a mi s v e r yl a r g ea n dt h em a xc o m p r e s s i o nr a t i oo fl o s s l e s sc o m p r e s s i o ni s4 1 1 0 s s c o m p r e s s i o nw a y sh a v et ob et a k e ni no r d e rt os a r i s f yt h er e a lr e c o n s t r u c t i o n t h i s p a p e ri ss t u d y i n gt h el o s sc o d i n go f m e d i c a lc ti m a g e w a v e l e tt r a n s f o r mh a sg o o dl o c a lc h a r a c t e r i s t i c si n s p a c ed o m a i na n d f r e q u e n c yd o m a i ns oi ti sw i d e l yu s e di ns i g n a ld i s p o s e d v o i c ea n a l y s i sa n ds oo n f r a c t a lc o d i n gm e t h o dh a st h eh i g hc o m p r e s s i o nr a t i oa n dg o o dr e c o n s t r u c t e d q u a l i t y t h eq u a d t r e e b a s e df r a c t a li nw a v e l e td o m a i nc o m b i n e sw a v e l e tt r a n s f o r m w i t hq u a d t r e e b a s e df r a c t a lm e t h o d s i ta c h i e v e sb e t t e rr e c o n s t r u c t e dq u a l i t ya n d c o m p r e s s i o nr a t i oc o m p a r e dt ot r a d i t i o n a lm e t h o d s t h i sp a p e rp u t so u ts o m e i m p r o v e dm e t h o d st oo v e r c o m et h ed e f e c t so fq u a d t r e e b a s e df r a e t a li nw a v e l e t d o m a i n i ti si n c l u d i n g 1 i n t r o d u c et h et h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r m m r aa n dm a l l a ta l g o r i t h m t e l l t h ep r o b l e m st h a tm u s tb ep a i da t t e n t i o nw h e nc h o o s i n gw a v e l e tf u n c t i o na n dt h e p r o b l e mo fb o u n d a r y a tl a s t t h ep r i n c i p l eo fe z w i si n t r o d u c e d 2 i n t r o d u c et h ep r i n c i p l eo ff r a c t a la n df r a c t a li m a g ec o m p r e s s i o n t h ei m a g e 山东大学硕士学位论文 c o m p r e s s i o nw a yc o m b i n i n gw a v e l e tt r a n s f o r mw i t hq u a d t r e e b a s e df r a c t a l i s i n t r o d u c e d t h ei m p r o v e dm a l l a ta l g o r i t h mi su s e dt ot h eq u a d t r e e b a s e df r a c t a l c o d i n gi nw a v e l e td o m a i ni n s t e a do ft h et r a d i t i o n a l m a l l a t a l g o r i t h ma n ds o l v e t h ed i s t o r t i o no ft h er e c o n s t r u c t e di m a g e e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h e c o m p r e s s i o nr a t i oi sa l m o s tt h es a m e t h er e c o n s t r u c t e di m a g eq u a l i t yi si m p r o v e d e x p e r i m e n tr e s u l t sa l s ot e s t i f yt h e e f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m 3 i no r d e rt os o l v et h el o n gc o d i n gt i m eo ft h eq u a d t r e e b a s e df r a c t a lc o d i n gi n w a v e l e td o m a i n w ep u to u ta ni m p r o v e dw a y s t h et h r e s h o l dc o n c e p to fe z wi s u s e dt ot h eq u a d t r e e b a s e df r a c t a lc o d i n gi nw a v e l e td o m a i n e x p e r i m e n tr e s u l t s s h o wt h a tw h e nt h et h r e s h o l di sc h o s e np r o p e r l y w ew i l lg e tb e t t e rr e c o n s t r u c t e d i m a g eq u a l i t ya n dl e s sc o d i n gt i m e t h ec o d i n gt i m ei s s h o r t e n e do b v i o u s l y e x p e r i m e n tr e s u l t sa l s ot e s t i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m 4 an e wa d a p t i v et h r e s h o l dm e t h o di su s e dt ot h eq u a d t r e e b a s e df r a c t a lc o d i n g i nw a v e l e td o m a i na n ds o l v e st h ep r o b l e mo ft h r e s h o l d 5 a tl a s t t h ep a p e rs h o w st h ed e f i c i e n c yo ft h i sp a p e ra n dt h ea s p e c t st h a tn e e d t ob ei m p r o v e d k e y w o r d w a v e l e tt r a n s f o r m m u l t i p l er e s o l u t i o n a n a l y s i s f r a c t a l q u a d t r e e 山东大学硕士学位论文 1 1 数字化医学图像简介 第一章概述 近年来随着信息科学和相关技术的发展 传统的基于胶片的成像方式已 经越来越不适应当前的需要 数字图像正在逐渐取代传统的胶片和视频模拟 信号录像等方法而成为医学图像的信息载体 数字化是医学图像发展的趋势 其基本目标是把图像表示为数字格式以使其能支持图像的归档 传输以及其 它针对诊断信息的操作如图像增强 分割 配准以及三维体视化重建等 随 着医学图像数字化迸程的发展 新的数字化医学图像成像模式也在不断的涌 现 并逐步取代那些传统的基于胶片的医学成像方法 医学图像数字化带来 的好处不仅在于信息载体媒介的变化 更重要的是它还带来了如下的好处 医学图像数字化拓宽了医学图像的使用领域 除了传统医学图像所具有 的诊断和回顾的功能外 数字化的图像使得实时远程医学诊断和监护成为可 能 医学图像数字化为诊断信息的深度加工和利用提供了基础 在数字化图 像的基础上 计算机辅助的各种信息处理和挖掘方法 图像的三维实时重构 以及计算机辅助手术成为研究和应用的新热点 医学图像数字化为这些图像的存储 浏览 传输以及各种处理等方面都 带来了革命性的变化 医学图像数字化程度的不断加深 范围的不断拓宽 导致医院的数字化 进程加快 虽然到目前为止 世界上还没有一个完全意义上的全数字化医院 但完成局部数字化改造的医院的确正不断涌现 医院数字化的程度也在不断 加深 今天的医学图像大致可分为五种模式障1 包括c t 磁共振成像m r i 数 字化射线检查成像d r f 包括各种数字化x 光片c r 数字化钼靶乳房造影等 各种核医学检查成像n m 如单光子发射计算机断层扫描s p e c t 正电子发 射断层扫描p c t 等 以及超声成像u s 等 山东大学硕士学位论文 1 2 医学图像压缩概述 随着相关医学设备的普及 各种成像手段越来越多的运用到医学检查中 因而所获得的数据量也呈现爆炸性的增长 掘调查 一家5 0 0 床位的中型医 院中 一年运转产生的各类检查图像超过2 0 0 万幅 其中一台c t 年生成图像 2 0 万幅 以每幅c t 图像占用5 0 0 k b y t e s 存储空间计 一年产生的c t 图像要 占用1 0 0 g b y t e s 以上的存储空间 如果该医院全部医学图像都数字化 则占 用的存储空间超过2 0 0 0 g b y t e s 2 l 随着医院数字化程度的加深 这个数字还在 迅速增加 尤其医学诊断数据作为一种重要的信息档案 需要被使用和保存 多年 逐年累计的庞大数据库无论对所有者 管理者 使用者和处理工具来 说都是一个负担 因此 以一种更经济 更有效率的方法保存这些医学图像 是医学图像压缩的首要目的 医学图像压缩的第二个目的在于使图像在网络环境下更快的传递和显 示 现代化的数字医院是以网络为工作平台的 如果失去了网络这个信息的 交换和传输的平台 医学图像数字化也失去了意义 从通讯的角度看 由于 受到技术及通讯介质本身物理特性的限制 通讯信道带宽永远是不满足的资 源 如何将信息量巨大的医学图像数据挤进有限的带宽 同时保证一定的实 效性和质量以及在医疗诊断中的可信性是医学图像压缩要解决的重要问题 与一般的图像压缩一样 医学图像压缩也可分为有损压缩和无损压缩两 类 无损压缩不会引起任何失真 因此没有任何是否适用于诊断的问题 但 无损压缩只能得到较低的压缩比 大约不超过4 1 基于以下原因 在很多 情况下不得不选用无损的图像压缩方法1 3 5 1 安全性 放射图片专家对于在初诊中使用有损压缩方法持怀疑态度 他 们担心这一压缩将导致一些细节信息 即细微的 具体部分的丢失 从而导 致诊断结果或解释的错误 并因此导致错误的行为 法律 由于存在前述安全性方面的问题 因此许多国家严格限制对医学 图像的有损压缩 无论法律是否有要求 将患者的原始数据和记录保留若干 年是明智的 将那些即使在任何情况下看来无用的信息从原始图像中去除也 是不明智的 成本 由于医学图像获取不易而且成本高贵 相对而言信息存储的成本 山东大学硕士学位论文 是比较低的 因此 如果单纯为节省存储空间而损失相对昂贵的图像信息在 经济上是否合算也是经常被提起的问题 后处理需要 有损压缩可显著减少图像的存储代价 但也降低了图像的 可察觉性 其丢失的信息可能在今后的图像处理操作中有重要意义 压缩率与效果的相关程度 相对有损压缩而言 无损压缩的压缩效率与 其性能是独立的 即无论压缩效率的高低 无损压缩图像恢复后是无差别的 而有损压缩则需要对压缩编码的效果做出客观和主观的评估 看其是否可接 受 然而在某些情况下 如用于回顾 教学或面对安全级别不足够高的用户 浏览需求时 采用经过有损压缩的医学图像是可以接受的 必须注意的是 图像无损压缩率的理论上限是接近4 l 但在视觉无损压缩技术中 即人眼 不可觉察图像信息的压缩损失 医学图像的压缩比常规是可达到2 0 l 或 更高川 如前所述 由于医学图像中的数据流量常常十分巨大 为了满足实时 重建的需要 有时不得不采取有损的压缩方法 例如在某些对实时性要求极 强的同步显示数字诊断技术中 如动态配准 三维实时重构与动态显示 多 模式图像融合 图像的网上传输等技术中 为了保证实时性要求以及受到计 算机可用内存容量的限制 不得不采用或部分采用有损的图像压缩技术 近年来 随着新理论的提出 一种在图像中混合使用有损和无损压缩算 法的方案被提出来了 并得到了一些很好的结果 孓9 1 该方法兼顾了压缩率以 及诊断中对信息无损的要求 即对图像中对医学诊断有意义的区域采用无损 的压缩算法 而对其他区域采用有损的方法以保证较大的压缩比 这是目前 比较有前途的一种压缩方法 1 3 图像压缩方法综述 1 3 1 圈像压缩编码的必要性和可行性 图像压缩编码是研究如何利用图像固有的统计特性 信源特性 以及生 理视觉 心理学特性 信宿特性 或者记录设备和显示设备的特性 从原始 图像中经过压缩编码提取有效的信息 尽量去除无用的冗余信息 图像压缩 山东大学硕士学位论文 编码的目的是以尽量少的比特数表征图像 同时保持复原图像的质量 使它 符合预定应用场合的要求 通常把图像压缩编码简称为图像编码 图像编码 是一种信源编码 其信源是各种类型的图像信息 图像数据可以进行压缩有几方面原因 首先 原始图像足高度相关的 存在很大的冗余度 数据冗余造成比特数浪费 消除这些冗余可以节约码字 也就达到了数据压缩的目的 大多数图像内相邻像素之问有较大的相关性 这称为空间冗余度 序列图像前后帧之间有较大相关性 这称为时问冗余度 多光谱遥感图像各谱间有相关性 这称为频率域冗余度 其次 若用相同码 长表示不同出现概率的符号也会造成比特数的浪费 这种浪费称为符号冗余 度 如果采用可变长编码技术 对出现概率高的符号用短码字表示 对出现 概率低的符号用长码字 就可减少符号冗余度 从而节约码字 允许图像编码有一定的失真也是图像可以压缩的一个重要原因 在许多 应用场合 并不要求经压缩及复原以后的图像和原图像完全相同 而允许有 少量失真 只要这些失真并不为人眼所察觉 这就给压缩比的提高提供了十 分有利的条件 图像允许的失真越多 可以实现的压缩比就越大 这种有失 真的编码称为有限失真编码 在许多应用中 人眼往往是图像信息的最终接 收者 信宿 如果能充分利用人眼的视觉特性 就可以在保证所要求的图像 主观质量的前提下实现较高的压缩比 这就是利用了视觉冗余度 其实人眼 的视觉系统 h v s 是有缺陷的 对某些失真不敏感 难以觉察 一个图 像编码方法如果能充分利用这些特性 就可以取得较好的效果 即在复原图 像主观质量较好的前提下得到较高的压缩比 此外 还可以利用先验知识实现图像编码 在某些特定的应用场合 编 码对象的某些特性可预先知道 例如 在可视电话中 编码对象为人的头肩 像 这时 可以利用对编码对象的先验知识为编码对象建立模型 通过提取 模型参数 对参数进行编码而不对图像直接进行编码 可以达到非常高的压 缩比 这是模型编码的基本思想 在这里 利用了知识冗余度 1 3 2 图像压缩编码的一般框架1 1 5 1 8 图像编码的过程可以概括成3 个步骤 映射变换 量化 熵编码 三个 山东大学硕士学位论文 步骤之问是互相联系互相制约的 映射变换 其目的是通过映射改变图像数掘的特性 使之更有利于压缩编码 例如 以左邻象素灰度值作为当前象素灰度值的预测值 以预测值作为映射后数据 并对其进行量化编码 这样做 一般优于直接对原图进行量化编码 因为图 像数据在相邻象素问有较大相关性 不管原图明暗度如何 相邻象素灰度差 总是分布在零附近 进一步统计表明 差值信号的分布接近拉普拉斯分布 其标准差比原始图像的标准差要小得多 因而对它进行量化所需要的比特数 就较少 实际上 求差的过程减少了相邻象素间的相关性 从而减少了冗余 度 因而可以实现压缩 如果采用更好的预测方法 如由空间相邻四象素点预测当前象素值或用 前一帧的象素值预测当前象素值 可望得到更好的预测值 从而进一步提高 压缩比 如在变换编码中 先将图像分成若干个n x 聆大小的予块 然后进行 映射变换 在这种情况下的映射变换是对各子块进行某种正交变换 而量化 和编码是对变换后所得到的系数进行的 事实上 映射变换是图像变换的一 个核心部分 它决定了量化和编码的对象类型 所以可以掘此对编码方法进 行分类 一个好的映射变换通过与合适的量化器相配合 应能充分清除图像 信源的各种冗余度 量化器 在限失真编码中要对映射后的数据进行量化 若量化是对映射后的数掘 逐个进行的 则称标量量化 若量化是成组进行的 则称矢量量化 量化总 会造成某些信息丢失 形成失真 即量化失真或量化噪声 为了使失真小 应量化得精细 但压缩比就高不了 这是一对矛盾 应用恰当的量化级数和 量化曲线形状可以缓解这对矛盾 量化器的引入是图像编码产生失真的根源 在要求复原图像与原图像完全一致的无失真编码器中必须不用量化器 但这 样一来 压缩比就难以提高 在许多应用中 存在多少失真并不可怕 只要 把失真的程度和性质控制在允许的范围内 也就是把复原图像的主观质量控 制在允许的程度内 就可以满足应用要求的前提下提高压缩比 熵编码器 山东大学硕士学位论文 这一步是用来消除符号编码冗余度 它一般不产生失真 理想的情况是 使输出的码流的平均码长等于量化后数据的信息熵 常用的编码方法有许多 种 例如分组码 行程码和变长码 不分组码 算术码等 1 3 3 图像压缩编码的分类 图像编码应用广泛 有许多编码方法 对他们进行分类有助于对问题的 理解和解决 基于不同的角度 有许多种分类方法 如 按待压缩图像的性 质分类 按复原图像是否与原图像一致分类 按所用方法原理分类等等 下 面分别对他们进行说明 按复原图像是否与原图像一致分类 可将编码方法分为两大类 无失真编码和限失真编码 无失真编码又称 为信息保持编码或可逆编码 限失真编码又称为非信息保持编码或不可逆编 码 限失真编码会造成失真 不过这些失真可以被控制在一定的限度内 不 致影响使用效果 在无失真编码中不可使用量化器 因为量化器总会带来不 可恢复的失真 无失真编码的压缩比低 可达到的最高压缩比取决于信源熵 在限失真编码中把失真控制在视觉闽值以下或控制在可容忍的程度是有效提 高压缩比的关键 按待压缩图像的不同属性分类 有不同的分类方法 如 以图像的光学特征分 有单色 彩色 多光谱 图像的压缩编码 以灰度等级分 有二值图 多值图与灰度图像编码 若以 动静来分 有静止图像与序列图像编码 在静止图像编码中 只能进行帧内 编码 而且人眼对静止图像的失真较运动图像更为敏感 压缩比就没有运动 图像编码来得高 但运动图像编码对实时性的要求高 这是它特有的难点 对不同要求 无失真 小失真 较大失真 不同性质的图像用适当的编码方 法和编码参数c 如量化级大小 进行压缩编码是达到预期目标的关键 按所用方法的原理分类 可将图像编码方法分为基于图像统计特性 基于人眼视觉特性 基于图 像特征提取等方法 在实际编码中 常常要同时用到图像的统计特性和人眼 视觉特性才能进行有效的编码 难于把它们截然分开 而有些编码方法的分 1 0 山东大学硕士学位论文 类还可以进一步细分 如基于统计特性的编码方法还可以分为帧内预测 帧 白j 预测 变换编码等 许多新的国际编码标准使用了混合编码方法 即同时 用到了帧内帧闯预测和变换编码 1 3 4 图像质量评价1 1 1 1 3 i 主观评价 图像的最终接受者是人 因此 根据人的主观感受对图像的优劣作出评 定是重要的 也是目前国际上普遍采用的方法 主观评价的观察者可分为两 类 一类是未受过训练 对图像质量评价并不内行的一般观众 这时得到的 图像质量代表一般观众的平均感受 另一类是专业人员 对图像质量评价有 丰富的经验 他们能够图像质量提出严格的判断 能够注意到图像某些细小 的降质 客观评价 客观的评价标准可以计算 并且有很多种 尽管人们希望它能和主观评 价尽量一致 但目前还没有找到一种合乎主观评价的公式 1 归一化均方误差 n m s e 厂 肌 n f m 疗 2 弘 专百丽磊厂 其中 f m 1 7 是原始图像 厂 坍 栉 表示复原图像 2 峰值信噪比 p s n r 一圳 l上兰舭255x2 5 而5mn i鲁智 7 其中 f m 是原始图像 小 疗 表示复原图像 m n 为图像的总行数和 总列数 1 4 本文的主要工作 本文针对小波分形四叉树方法存在的编码时间长的问题 提出了一种改 山东大学硕士学位论文 进方法 即把小波e z w 方法结合到小波分形四叉树算法中 从而大大缩短了 编码时 日 本文将改进的m a l l a t 算法代管传统的m a l l a t 算法运用到小波分形 四叉树算法中 克服了传统m a l l a t 算法存在的失真问题 明显提高了重构图 像的质量 通过对基于小波四叉树结构的分形i f s 图像编码系统中排列块与区 域块的m s e 误差的分析 提出了确定r a n g e 块与d o m a i n 块匹配门限的自适 应算法 由于该算法是根据当前r a n g e 块的方差来确定匹配门限 因此使编 码过程适应输入图像的统计特征 从而提高了编码效率和分形i f s 编码方法的 实用性 结束语 指出了本文还需要改进的方面 当面临医学图像的网上传 输的应用要求时 还需要进一步缩短本文方法的编码时间 1 2 山东大学硕士学位论文 第二章小波变换理论及其应用 法国地理学家j m o r l e t 和数学家a g r o s s m a n n 于8 0 年代提出了 小波变换 他 们证明了l 2 r 空间中的任意函数厂都可以由它的按一组称为小波基函数的分 解来表征 这正是小波变换的实质 l 2 1 小波变换的定义 1 连续小波变换的定义 设g t t 为一平方可积函数 也即妒 f r r 若其傅立叶变换y w 满足 条件 雌叱 o 6 r 2 1 2 a 称 f 为依赖于参数a b 的小波基函数 由于尺度因子a 平移因子b 是连续变化的值 因此称少 f 为连续小波基函数 他们是由同一母函数5 f f 经伸缩和平移后得到的一组函数序列 如果将任意l 2c r 空间中的函数 r 在小波基下展开 就称这种展开为函 数 f 的连续小波变换 其表达式为 町 以6 扩 晚矿 一 f 击 f y 晕z 2 1 3 1 3 山东大学硕士学位论文 其中 以6 为小波变换系数 可以证明 若采用的小波满足可容许性条 件式 2 1 1 则其惩燹秧存征 b 根韬信号的小坡芟抉系数司精确地伙复原 信号 并满足 2 1 4 式的小波逆变换 厂 f 古r 事e 町 啪肌 f 地 丐 l t 正l w 硼去 争以 其中q r 唑啦 o 即对 提出的容许条件 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的 还要求小波v t 的傅立叶变换 滞早下面的稳常件条件 2 4 i y 2 叫w 1 b o 4 b o 则 0 妒 三笋 毒y 一卜勋o 2 1 6 被称为离散小波函数 相应的离散小波变换为 盯 j 钞 矿 f j f 万而 2 1 7 其逆变换为 们 w a j k 妒 o 2 1 8 其中妒 r 是矿 f 的对偶小波 它在小波满足 2 1 5 式时 可由式 2 1 9 给出 烈小南 汜 在工程中一般取a 墨b 则 1 4 山东大学硕士学位论文 虬 南 f i 1 2 1 1 0 所以重建公式近似为 巾 去莩莓町u y f 2 1 1 1 3 二进小波变换 上面对尺度参数和平移因子都进行了离散化 为了使小波变换具有可变化 的时间和频率分辨率 适应待分析信号 例如图像信号 的非平稳性 取 2 1 6 式中的a o 2 b o 1 得到 f 2 一 y 2 一 f t 七乏z 2 1 1 2 这就是一个二进小波 它相当于连续小波在尺度上进行了离散而位移仍取连 续变化 是介于连续小波和离散小波之间的一种小波 实际上二进小波的确切定义为 设函数妒似 f r r 如果存在两个常数 a b 使得 2 1 5 式的条件处处成立 则妒 x 是一个二进小波 若a b 则称为最稳定条件 而函数序列眈 叫做 的二进小波变换 其中 w 2 f k 吉p f g 2 j t k d 2 1 1 3 相应的逆变换为 厂 f m 矿2 j f 帜 m 矿2 j 2 1 一k d k 2 i 1 4 2 2 多分辨率分析 多分辨率分析又称为多尺度分析 是建立在函数空 日j 概念上的理论 其 定义如下 空间r r 中的多分辨率分析是指在上2 r 中满足下列条件的一系 列予空间 z 1 一致单调性 巧c l 对任意 z 2 2 1 2 渐进完全性 1 5 山东大学硕士学位论文 n v o u 一 2 r j e e 7 3 伸缩规则性 2 2 2 厂 一e 争f 2 t i z 2 2 3 4 平移不变性 厂o j f t 一七 k z 2 2 4 5 r i e s z 基存在性 存在们 使得 矿 一七 m 构成l 的r i e s z 基 对于性质 5 可以证明 存在函数妒 k 使它的整数伸缩平移系列 力 22 矿 2 t 一 t z 构成子空间 脚的规范正交基 我们称矿 f 为 尺度函数 而 脚为尺度空间 由多分辨率的定义可知 所有的闭子空间 脚都是由同一尺度函数矿 伸缩后的平移系列张成的尺度空间 同时由式 2 2 1 知 丸 f 2 一j 矿 2 t t 在不同尺度间不具有正交性 不能作为r r 空间的正交基 所以定义其补空 间如下 设既为 在吃 中的补空间 即 一 圪o 上 2 2 6 则 仲构成了r r 空间的一系列正交子空间 并且 由 2 2 6 式得 圪 一 且 巧 1 一 2 2 7 若设 j j z 为空间w 的一组正交基 则对所有尺度 z i c j 2 1 缈 2 j t k k z 必为空间 的正交基 进而妒 j 的整个集合 妒 j z k z 必然构成了r r 空间的一组正交基 根据二进小波的定义 知 此处的妒似 f 正是由同一母函数伸缩平移得到的正交小波基 因此可称y 1 6 山东大学硕士学位论文 为小波函数 相应的称 是尺度为j 的小 g e f u l 由 2 2 6 和 2 2 7 式 可见 小波空 日j 实际上是两个相邻尺度空间的差 若将函数f t 同时向尺度空间v j 和小波空问 上投影 则可得到不同 尺度下的大尺度逼近信号f f 和细节信号f j f f cj i 牵j i c t f j t d j y 础 f 其中 c j j 仃 f 九 2 2 8 d f y f 2 2 9 其中c j 为剩余系数或尺度系数 d j 为小波系数 2 3m a l l a t 算法1 1 6 i i 7 l 假定原始信号 f 匕 它的分辨率为l 这样原始离散信号4 f 可表示 为0 厂 d t 门一 莨 o 也就是说分辨率为1 的原始信号f 由低分辨率的 逼近c t 厂及其在2 分辨率下的细节信号d 2 f 构成 并且 c 参 z g 2 一m c f d 厂 万 2 珂一卅 c 厂 其中 五 聆 一珂 胛 g 一疗 而且 2 3 1 2 3 2 c 吾 莓g n 2 m c n 2 m 如n 2 3 3 可见信号的小波分解和重构可通 z t 子带滤波的形式实现 可以证明 h 为 高通滤波器 g 为低通滤波器 一g 一h 分尉为g h 的镜像滤波器 设原始 信号序列 的分辨率和尺度均为l 它的分解过程是 信号 经过低通滤波 器石后再进行抽取丢 得到分辨率和尺度均减半的信号逼近 j 劲 另一方 山东大学硕士学位论文 面 五经过高通滤波器日后进行抽取妄 得到在减半的分辨率和尺度下的细 二 节信息 山h f 它的逆过程是 低尺度和低分辨率的信号逼近通过两个样本 之间插入零值进行拉伸 再经过低通滤波器g 得到在商尺度下的低分辨率的逼 近 g 个上o f 低尺度和低分辨率的细节同样经过提升尺度后得到高尺度下的 细节 日似h f 将它们相加就可重构原始信号 z g 似劲 h 劢 2 3 4 2 4 静止图像的小波分析 2 4 1 图像的小波分解 小波分析用于图像压缩 需要推广到二维情况 通常采用可分离的一维小 波张量积构成的二维小波分解 设r r2 表示由二维平方可积函数构成的空 间 这时曙 固 即为f f r 2 的m r a 二维尺度函数 妒 x y 妒 工 妒 y 2 4 1 的平移和伸缩2 妒 2 x 一珂 2 y m 构成了嘭的正交基 如果用下标国表示三 个方向中的任意一个 即 q 那么2 2 x 一疗 2 y 一所 就构成了o l 的i e 交基 它们共同构成了三2 r2 的正交基 图像的二维小波变换可分离为在行和列方向各自独立地进行一次一维小 波变换 二维小波分解与重构数据流如图2 1 由图可知 小波变换将原始图 像按倍频程划分为一个低频带数据l l 和三个高频带数据h l l h h h 系列 此时q h l 三日 h h 对一幅2 2 的图像f 进行n k 0 k n 级小波分 解得到小波图像e 每一级分解总是将上一级低频数掘划分为更精细的频带 对于双正交小波基 图像就可表示为 吒1 0 f 2 k u 己i k t 0 f 2 中的基函数的线性组合 唬把原始图像f 投影到峰 上 而妒 加则把f 投影到 1 r 山东大学硕士学位论文 o o o x 上 它们的系数分别是在分辨率2 刊 下尺度函数 的系 数 和不低于该分辨率的小波函数妙 的系数 则有 一i f 心 小波分解 原始图像f h h h l l h l l 小波重构 行变换列变换列变换行变换 小波图像凡 重建图像 图2 1 二维图像小波变换 2 4 2 图像小波变换系数的特点和压缩的可能性 小波图像儿 一 的频带系数 即尺度系数 最为重要 它们反映了 图像的低频信息 三 一 频带是将上级低频图像数据先通过行方向低通滤波 器 再经列方向高通滤波器而得到的 包含了更多竖直方向的高频信息 因而 体现了竖直方向的边缘 轮廓和纹理等细节变化 相应地 肌 一 体现了水平 方向的边缘 轮廓等信息 而对角方向的细节信息则集中体现在删 一 频带 中 可分离的小波分解图像的这 具有良好方向选择性的特点 特别符合h v s 山东大学硕士学位论文 在水平和竖直方向敏感度较高 对角线方向敏感度较低的特性 而且计算量较 小 图2 2 中画出了l e n n a 的3 级小波变换的小波图像 经过分析 小波系数 具有以下特点 1 空间压缩特性 从系数在空间的分布看 高频子带的能量大部分集中在图 像的边缘 轮廓等对应位置 并且分辨率越高 系数值接近 0 的就越多 f 2 频率压缩特性 从频率上看 原始图像的能量大部分集中到低频子带 而 且较低分辨率的细节含有相对较多的能量 3 系数分布的相似性 同一方向上的各高频子带反映了图像f 在1 i 同分辨率 下该方向的细节 也就是说这些小波系数存在着相似性 由上所述 虽然对图像f 进行小波变换后仍是2 x 2 个系数 变换本身 并没有压缩 但是这些系数具有很好的特点 如何根据各级分辨率子图像的 特点而区别对待 如何充分利用各种变换系数的各种冗余性 有效的对它们 进行组织和编码 是小波图像压缩性能的关键 图2 23 级小波图像 2 4 3 小波变换用于图像压缩时的问题 2 4 3 1 小波基的选取 2 0 面对已经构造的种类繁多的小波基 选取何种小波基刁 能满意地解决实 山东大学硕士学位论文 际问题 目前尚无定论 在小波基的诸多性质中 一般考虑以下一些主要特 征 1 正交性对于正交小波 它对应一正交镜像滤波器组 即低通滤波器g 和 高通滤波器h 正交 满足 h 一1 g 一n 1 如果厂为原始图像 c 为厂的 最高分辨率的采样点 则小波的分解过程可以描述为 d 矗 2 1 k c m 1 2 4 2 c g 2 n 一七 f 一 t 厂 2 43 因为g 和h 对应一正交小波基 因此还可以利用它们精确的重建图像 其重建 过程可以用下式来表示 c m i l 厂 f f 2 n t c 厂 石 2 n 一咿 厂 2 4 4 2 紧支集如果尺度函数和小波是紧支撑的 则滤波器g 和h 是f i r 滤波器 这也意味着其冲激响应譬和h 是有限长度的 快速运算中的运算是有限的 对 于非紧支撑小波 则希望其快速衰减 使其滤波器能与f i r 有效近似 3 光滑性由于图像的大部分 除少数边缘外 是光滑的 因而小波的光滑性 对压缩应用很重要 压缩通常将小的系数舍弃 即量化为零 若小波不太光 滑 则误差比较明显 此外光滑程度高的小波 其滤波器的频域局部特性更 好 光滑性基本上由正则性决定 4 对称性若尺度函数与小波是对称的话 其滤波器将具有线性相位 这 样它在形成金字塔形数据时不需要相位补偿就能精确重建图像 遗憾的是 研究表明不存在具有完美重建质量的正交线性滤波器 唯一具有紧支集的正 交对称滤波器是h a a r 基 然而其局部化性能很差 导致了它的应用受到限制 5 双正交性为解决正交性与对称性的矛盾 c o h e n 等人引入了双正交小波 设小波 的对偶小波为驴 其对应滤波器的低高通冲激响应为季和h 则双难 交性表现为以下的等式 再 n 一1 g 一m 1 2 4 5 山东大学硕士学位论文 矗 1 n 季 一 1 f i 兰匕 2 4 6 w g h 季 2 k 洋 亿 刀 图像的分解过程仍可用式 2 4 2 2 4 3 来表示 但重建过程变为 c m i l 茸 2 h 一 c 石 2 z 一 d 厂 2 4 8 1 双正交小波降低了对正交性的要求 保留了正交小波的一部分正交性 使之 可以达到线性相位和滤波器冲激响应较短的要求 易于提高运算速度 6 消失矩若小波函数吵 x 满足式卜 少 x 以 0 i o l k 一1 即妒 x 有 k 个连续的零点 则称y z 的消失矩为k 消失矩决定了逼近光滑函数的收敛 速度 与小波的光滑性也有关 对于光滑的图像 越大的消失矩导致越小的 小波系数 压缩比就有可能提高 而对不光滑的图像 将会有更大的小波 系数l j 不利于编码 2 4 3 2 小波图像数据压缩的滤波器选择方法 在实际的图像压缩系统中 充分考虑量化失真影响的行为特点 是进行 小波选择的合理出发点 以下是出于不同方面考虑的小波滤波器组的选取方 法 1 信号经低频通道和高频通道 分别得到一个与原始信号相似的近似信号 和细节信号 由于信号重建的误差一般是因细节信号的量化或者完全舍弃所 导致的 如果小波的选取能够使分解过程中信息尽可能的集中在近似信号当 中 那么在信号重建过程中仅用近似信号就可能较好的恢复原始信号而细节 信号只起到锐化的作用 这样 不重要的细节信号我们可以将其舍去 能够 大大提高信号的压缩比 2 压缩应用中 小波的选取还存在着与其他应用领域不同之处 由于图像 本身是一种非平稳度很高的信源 一般由大量的同态区域和短空间支撑的边 缘构成 人的视觉特性也应该充分考虑 因此 如果滤波器中的低频部分冲 激响应较长高频部分冲激响应较短 那么可以较好的兼顾以上两种考虑 2 2 山东大学硕士学位论文 3 在对数字信号进行处理时 由于其长度是有限的 因此要考虑一些边界 条件 图像分解和重建的基本运算是卷积 而长度为n 的序列和长度为m 的 序列的卷积长度为m 1 1 1 造成了数掘的扩张不利于数掘的压缩 因此 一般 先将信号进行对称延拓 再进行周期卷积 为了准确的重建边缘信号 要求 滤波器必须是对称的 也即滤波器具有线性相位特征 4 在实时处理等场合由于滤波器的长度影响了运算速度 如果对压缩率的 追求可以放宽一些的话 应该选择支集较短的滤波器以提高处理速度 2 4 3 3 边界处理 在图像的小波分解与合成过程中 边界的处理也显得比较突出 由于传