（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第57课 直线与圆的位置关系 文.docVIP

第57课 直线与圆的位置关系(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2p113例2改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是.【答案】相交【解析】由题意知圆心(1，-2)到直线2x+y-5=0的距离d=，0d0，则它们相交；若=0，则它们相切；若0，则直线与圆相离.(2)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径的大小来判断：当dr时，直线与圆相离.3.圆的切线(1)若点p(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，则经过点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2；若点p(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时，则经过点p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)当点p(x0，y0)在圆外时，切线有两条.求圆的切线方程时，常设出切线的点斜式方程，然后运用点到直线的距离求出斜率.如果只能解出斜率的一个值，要注意斜率不存在的情形.4.(直线与圆相交时)圆的弦(1)当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则直线被圆截得的弦长为2.(2)若直线y=kx+b与曲线c相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则ab=|x1-x2|=|y1-y2|.【要点导学】要点导学各个击破直线与圆位置关系的判断例1(1)过点p(-3，-4)作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆c：(x-1)2+(y+2)2=4有公共点?(2)已知圆c：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mr)，求证：无论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点.【思维引导】(1)先设出直线方程，然后再用代数或几何方法判断.(2)若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径；若直线过圆内一点，则直线和圆相交.【解答】(1)方法一：设直线l的方程为y+4=k(x+3)，即kx-y+3k-4=0，圆心c(1，-2)到直线l的距离d=，由d2，即|k+2+3k-4|2，解得0k.方法二：设直线l的方程为y+4=k(x+3)，即y=kx+(3k-4)，代入圆c的方程得(1+k2)x2+2(3k2-2k-1)x+(9k2-12k+1)=0，由此方程的判别式0，得(3k2-2k-1)2-(1+k2)(9k2-12k+1)0，解得0k.(2)由题意，直线方程可变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.因为mr，所以所以直线l必过定点a(3，1)，又因为(3-1)2+(1-2)2=51，解得-k25，故点(1，-7)在圆外，过圆外一点与圆相切的切线方程的求法有三种.【解答】(1)因为点p(1，-)在圆c：x2+y2=4上，所以切线方程为x-y=4，即x-y-4=0.(2)方法一：设切线的斜率为k，由点斜式有y+7=k(x-1)，即y=k(x-1)-7.将代入圆的方程x2+y2=25，得x2+k(x-1)-72=25，化简整理，得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0.所以=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0.由此解得k=或k=-，代入可得切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.方法二：设所求切线的斜率为k，则所求直线方程为y+7=k(x-1)，整理成一般式得kx-y-k-7=0，由圆的切线性质可得=5，化简得12k2-7k-12=0，所以k=或k=-.所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.方法三：设所求切线方程为x0x+y0y=25，其中(x0，y0)是圆上的点，将坐标(1，-7)代入后，得x0-7y0=25.由解得或故所求切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.【精要点评】求切线一般有三种方法：设切点用切线公式法；设切线斜率用判别式法；设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径法.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在时的情况，三种方法中，最简捷最常用.变式过点p(2，)作圆x2+y2=10的切线l，则切线l的方程为.【答案】x+3y-5=0【解析】因为22+()2=10，所以点p在圆上，因此切线只有一条，圆心为c(0，0)，所以kpc=.又因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求的切线的斜率为k=-=-，由点斜式可得切线方程为y-=-(x-2)，化简得x+3y-5=0.圆的弦长问题微课12 典型示例例3已知直线l：y=x和圆c：(x-2)2+(y-4)2=10.(1)求直线l与圆c的交点的坐标；(2)求直线l被圆c所截得的弦长.【思维导图】【规范解答】(1)由解得或即直线l和圆c的交点坐标为a(1，1)和b(5，5).(2)方法一：由(1)知，直线l被圆c所截得的弦长为ab=4.方法二：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d=.于是弦长为2=2=4.【精要点评】求直线与圆的交点就是构造方程组，继而求解.求圆的弦长可以先求出交点a，b的坐标，再求线段ab的长度，也可以通过由半弦、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形来处理. 总结归纳求解关于圆的弦长时，常用的方法有：(1)求弦长对应线段的端点坐标，再求弦长；(2)通过半弦、半径和圆心到直线的距离构造直角三角形，结合勾股定理求解.此处，弦心距是解决问题的关键. 题组强化1.(2016苏北四市期中)若直线ax+y+1=0被圆x2+y2-2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是.【答案】-2【解析】将圆x2+y2-2ax+a=0化为标准方程(x-a)2+y2=a2-a，圆心(a，0)，半径(a1或a0)，由题意知，=，得a=-2，经验证，满足题意，故a=-2.2.若a，b，c是rtabc三边的长(c为斜边)，则圆c：x2+y2=4被直线l：ax+by+c=0所截得的弦长为.【答案】2【解析】由题意可知圆c：x2+y2=4被直线l：ax+by+c=0所截得的弦长为2，又因为a2+b2=c2，所以所求弦长为2.3.在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是.【答案】(-13，13)【解析】因为圆半径为2，由题意知圆心(0，0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1，即0)与直线y=3x相交于p，q两点，则当cpq的面积最大时，实数a的值为.【答案】【解析】因为cpq的面积等于sin pcq，所以当pcq=90时，cpq的面积最大，此时圆心到直线y=3x的距离为，因此=，解得a=.3.(2015江苏卷改编)在平面直角坐标系xoy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mr)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.【答案】(x-1)2+y2=2【解析】由题意得，半径等于=，所以最大半径为，所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=2.4.已知直线l：x-2y+m=0，将直线沿着x轴正方向平移2个单位长度，再沿着y轴负方向平移3个单位长度所得的直线与圆(x-2)2+(y+1)=5相切，那么实数m的值为.【答案】-1或9【解析】由题意知，经过两次平移后，所得直线的方程为x-2y+m-8=0，因为此直线与圆相切，所以d=r，解得m=-1或9.【融会贯通】融会贯通能力提升已知圆c：(x-1)2+(y-2)2=2及点p(2，-1)，过点p作圆的切线，切点分别为a，b.(1)求pa，pb所在直线的方程；(2)求过点p的切线的长度.【思维引导】【规范解答】(1)由题可知圆的切线的斜率存在，设其为k，则切线的方程为y+1=k(x-2).2分因为圆心到切线的距离d=，.5分所以可解得k=-1或76分所以所求切线为pa：x+y-1=0，pb：7x-y-15=08分(2)因为pc=，11分所以切线长pa=2.14分【精要点评】求圆的切线方程时应先考虑所过点与圆的具体位置，这一点很重要，因为该位置确定了圆的切线条数与具体的求解方法.题中变化的条件改变了点与圆的位置关系，所以解决的方法不同.需要注意的是过圆外一点的切线有两条，如果只解出一条，就要检查是否有斜率不存在的情况.另外，在求切线长时，要尽量利用圆的性质，用几何方法求解，以减少运算.变式1已知圆d：(x-1)2+(y-2)2=1及点p(2，-1)，过点p作圆的切线，切点分别为a，b.(1)求pa，pb所在直线的方程；(2)求过点p的切线的长度.【解答】(1)由题可知，当切线的斜率不存在时，即直线x=2是圆的切线.当圆的切线的斜率存在时，设其为k，则切线的方程为y+1=k(x-2).因为圆心到切线的距离d=1，解得k=-，即切线方程为4x+3y-5=0.所以所求切线为pa：x-2=0，pb：4x+3y-5=0，(2)因为pc=，所以切线长pa=3.变式2已知圆c：(x-1)2+(y-2)2=2及点p(2，3)，过点p作圆的切线，则该切线的方程为.【答案】x+y-5=0【解析】由题可知，点p在圆c上，且直线pc的斜率为=1，所以过点p的圆c的切线的斜率为-1.又知点p(2，3)，所以切线的方程为y-3=-(x-2)，即x+y-5=0.所以所求切线方程为x+y-5=0.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第113114页.【检测与评估】第57课直线与圆的位置关系一、 填空题1.(2015广东卷改编)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是.2.(2014淮安、宿迁摸底)已知过点(2，5)的直线l被圆c：x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4，那么直线l的方程为.3.以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为.4.若pq是圆x2+y2=9的弦，pq的中点是(1，2)，则直线pq的方程是.5.(2014扬州期末)若圆心在直线2x-y-7=0上的圆c与y轴交于点a(0，-4)和b(0，-2)，则圆c的方程为.6.(2015山东卷改编)已知一条光线从点(-2，3)射出，经y轴反射与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在的直线的斜率为.7.(2014黄山三检)若函数y=|x|-2的图象与曲线c：x2+y2=恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是.8.在平面直角坐标系xoy中，设点p为圆c：(x-1)2+y2=4上任意一点，点q(2a，a-3)(ar)，则线段pq长度的最小值为.二、 解答题 9.已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(mr).(1)求证：不论m取什么值，圆心在同一条直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离.10.已知圆m：x2+(y-2)2=1，q是x轴上的动点，qa，qb分别切圆m与a，b两点.(1)若ab=，求mq及直线mq的方程；(2)求证：直线ab过定点.11.已知圆p满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x-2y=0的距离为，求该圆的方程，并判断该圆与直线x-y+2=0的位置关系.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.如果圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，那么实数a的取值范围是.13.(2015南京三模)在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l：y=kx+3与圆c相交于a，b两点，m为弦ab上一动点，以m为圆心、2为半径的圆与圆c总有公共点，则实数k的取值范围为.【检测与评估答案】第57课直线与圆的位置关系1.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】设所求切线方程为2x+y+c=0，依题有=，解得c=5，所以所求切线的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.2.x-2=0或4x-3y+7=0【解析】圆c：x2+y2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.因为截得的弦长为4，小于直径，故该直线必有两条，且圆心到直线的距离为d=1.当斜率不存在时，l：x=2，显然符合要求.当斜率存在时，l：y-5=k(x-2)，d=1，解得k=，故直线l的方程为4x-3y+7=0.3.(x-2)2+(y+1)2=9【解析】利用圆心到直线的距离等于半径，得r=3，所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.4.x+2y-5=0【解析】由圆的性质知，圆心与pq中点的连线与pq垂直，所以pq的斜率为-.由直线的点斜式方程得y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0.5.(x-2)2+(y+3)2=5【解析】因为圆过a(0，-4)，b(0，-2)，所以圆心c的纵坐标为-3.又圆心c在直线2x-y-7=0上，所以圆心c为(2，-3)，从而圆的半径r=ac=，故圆c的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.6.-或-【解析】点(-2，3)关于y轴对称的点的坐标为(2，-3)，由题知反射光线的斜率一定存在，所以设反射光线所在直线为y+3=k(x-2)，即kx-y-2k-3=0，则d=1，|5k+5|=，解得k=-或-.7.2(4，+)【解析】作出函数y=|x|-2的图象(如图)，易观察当圆x2+y2=与函数图象相切或2时恰有两个不同的公共点.当相切时，=2；当2时，4.故所求的取值范围是2(4，+).(第7题)8. -2【解析】因为点q的坐标满足方程x-2y-6=0，故可转化为圆上的点到直线的距离.因为圆心c到此直线距离d=，又知半径为2，故所求最小值为-2.9. (1) 配方得(x-3m)2+y-(m-1)2=25.设圆心为(x，y)，则消去m，得x-3y-3=0.故不论m取什么值，圆心在同一条直线l：x-3y-3=0上.(2) 设与l平行的直线为n：x-3y+b=0，则圆心到直线l的距离d=，由于圆的半径r=5，所以当dr，即-5-3br，即b5-3时，直线与圆相离.10. (1)如图，设