（林花苑）高中数学 同步辅导讲义 2.4.1抛物线.doc

抛物线学生用讲义抛物线性质综合性质一：若ab是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。性质二：已知直线ab是过抛物线焦点f，求证：为定值。性质三：（1）若ab是抛物线的焦点弦，且直线ab的倾斜角为，则（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。性质四：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。性质五：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于a、b两点，则oaob。反之也成立。考点一：抛物线的定义与标准方程【例1】 已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点m(，2)，求它的标准方程.【例2】 已知双曲线的方程是=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.【例3】 设过抛物线y2=2px(p0)的顶点o的两弦oa、ob互相垂直，求抛物线顶点o在ab上射影n的轨迹方程.【例4】如图814，直线l1和l2相交于点m，l1l2，点nl1.以a、b为端点的曲线段c上的任一点到l2的距离与到点n的距离相等.若amn为锐角三角形，am=，an=3，且bn=6.建立适当的坐标系，求曲线段c的方程.考点二：与抛物线有关的距离和最值问题【例5】a为抛物线y2=x上一点，f为焦点，af=14，求过点f且与oa垂直的直线l的方程.【例6】抛物线y2=12x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.【例7】.已知抛物线y2=2px上有三点a（x1,y1）、b（x2,y2）、c（x3,y3）且x1x2x3，若线段ab、bc在x轴上射影之长相等，求证：a、b、c三点到焦点的距离顺次成等差数列.【例8】设抛物线y2=2px(p0)的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bcx轴.证明：直线ac经过原点o,【例9】a、b是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满足oaob（o为坐标原点）.求证：（1）a、b两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；（2）直线ab经过一个定点.【例10】给定抛物线y2=2x,设a(a,0),a0，p是抛物线上的一点，且pa=d,试求d的最小值.【例11】过抛物线y2=6x的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于a、b两点，求线段ab中点的轨迹方程.【例12】过抛物线y2=2px(p0)的焦点作倾斜角为的直线l，设l交抛物线于a、b两点，求|ab|.【例13】过抛物线的焦点f作不垂直于对称轴的直线交抛物线于a、b两点，线段ab的垂直平分线交对称轴于n，求证：ab=2nf.考点三：抛物线中三角形和四边形的面积【例14】已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，点r是含抛物线顶点o的弧ab上一点，求rab的最大面积.【例15】已知双曲线的中心在原点，焦点f1、f2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，-）.（1）求双曲线方程；（2）若点m（3，m）在此双曲线上，求；（3）求f1mf2的面积.【例16】直线l1过点m（-1，0），与抛物线y2=4x交于p1、p2两点，p是线段p1p2的中点，直线l2过p和抛物