三角形“四心”的一种向量表示.doc

三角形四心的一种向量表示图1几个记法：在ABC中，O是其内部（不包括边界）一点，连结AO并延长交BC于D，连结BO并延长交CA于E，连结CO并延长交AB于F。记：，；，；且有：记：，引理1.线段的定比分点的向量关系式（1）(1.1.1)；(1.1.2)。(1.1.3)（2）若，则有：(1.2.1)；(1.2.2)。(1.2.3)证明：只证明（1.1.1），其它同理。则有引理2.(2.1.1)(2.1.2)(2.2.1)(2.2.2)(2.3.1)(2.3.2)且有(2.4)证明：点B、O、E共线，且同理，点C、O、F共线，且，解得：代入得：又由引理1：共线得：由塞瓦定理得：代入上式得：由得式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。定理1. 若O是三角形ABC的重心，则，且.当O为三角形ABC的重心时，有，代入引理2可得。定理2. 若O是三角形ABC的内心，则，且.当O为三角形ABC的内心时，内三角形的内角平分线定理，有，代入引理2可得。定理3. 若O是三角形ABC的垂心，则： .(3.1)且.证明：当三角形不为直角三角形时O为三角形ABC的垂心时，有：，代入引理2有：=再由正弦定理得：代入上式，分子、分母同除以2RsinAsinBsinC，可得：。把，代入引理2整理得：若三角形为直角三角形，当A为直角时，ABC的垂心即为点A，所以，而cotA=0，故（3.1）成立当B为直角时，ABC的垂心即为点B，cotB=0，（3.1）成立；当C为直角时，ABC的垂心即为点C，cotC=0，（3.1）成立。引理3.证明：由引理2：=由前边的记法及由塞瓦定理得：，代入上式得：同理：由平面向量的基本定理，可设于是有：即：解得：定理4. O是三角形ABC的重心的充要条件是：。证明：必要性：若O是ABC的重心，则，由引理3得充分性：由得：（其中F是AB的中点）点O、C、F共线，即点O在中线CF上；同理，点O在中线AD、BE上，O为ABC的重心。定理5. O是三角形ABC的内心的充要条件是：(其中a、b、c分别是角A、B、C的对边)。证明：必要性：O是三角形ABC的内心，由内角平分线定理，由引理3得：即：充分性：由变形得：由向量加法的平行四边形法则，点O在角A的平分线上；同理，点O在角B和角C的平分线上，点O是ABC的内心。定理6. O是三角形ABC的垂心的充要条件是：。（6.1）注：当三角形不为直角三角形时成立。若三角形为直角三角形，可把结论改为：=。(6.2)事实上，此时，垂心为直角三角形的直角顶点。证明：必要性：当三角形不为直角三角形时O是三角形ABC的垂心，由引理3可得即：再由正弦定理得：代入上式，然后两边同除以2RcosAcosBcosC得：当三角形为直角三角形时，经验证，(6.2)成立。充分性：若三角形不为直角三角形由变形得：即：由引理1得：=由正弦定理得：上式化为=而共线，即点O在BC边的高线上；同理，点O也在CA、AB边的高线上，O为O是三角形ABC的垂心。若三角形为直角三角形，当A为直角时，点A即为三角形的垂心。（6.2）化为：，即O与A重合，所以O为三角形的垂心。对B和C为直角时，同时可得。定理7. O是三角形ABC的外心的充要条件是：（7.1）证明此定理需要下面的引理：图2引理4.如图2：在ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，若O是ABC的外心，则O是DEF的垂心。证明：D、E、F分别是BC、CA、AB的中点EFBC，FDCA，DEAB，OABC的外心，ODBCODEF，同理：OEFD，OFDE，O为DEF的垂心。逆定理：如图3：设O是ABC的垂心，过点A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线，交于D、E、F三点，则O是DEF的外心。图3证明：EFBC，FDCA，DEAB，四边形ACBF、ABCE分别是平行四边形，AF = BC = AE，即A是EF的中点，同理，B是FD的中点，C是DE的中点，O是ABC的垂心，OAEF，OBFD，OCDE，OA=OB=OC，O是DEF的外心。定理4的证明：必要性：O是ABC的外心，O是DEF的垂心，当三角形不为直角三角形时由定理7得：，又由D=A，E=B，F=C有：，代入上式整理得：。把各切化弦可得：若三角形为直角三角形，当A为直角时，有，而外心O为BC边的中点，所以。当B或C为直角时，同理可证。充分性：当三角形不为直角三角形时由用二倍角公式将sin2A、sin2B、sin2C展开，两边同除以cosAcosBcosC可得：于是：如图2：，且D=A，E=B，F=C，代入上式得： O是是DEF的垂心，由引理4的逆定理，则O是ABC的外心。当三角形为直角三角形时。若A为直角，有，（7.2）化为：，则O为BC边的中点，所以O为三角形的外心。当B或C为直角时，同理可证。定理8.