（基础数学专业论文）非紧距离空间上的lipschitzα算子理论.pdfVIP

非紧距离空间上的l i p s c h i t z - 算子理论 陈广锋 摘要本文引入并研究了距离空间( d ，d ) ( 不要求它的紧性) 上的各种l i p s c h i t z o 算子，讨论了这些算子的性质，并研究了这类算子的空问理论和代数理论全文共 三章，主要内容如下： 第一章，引入了两个距离空间之间、距离空间与b a n a c h 空间之问的各种l i p s c h i t z 一 。算子，讨论了这类算子的各种性质，并研究了这类算子的可逆性，证明了两个距离 空间之问的所有l i p s c h i t z o 算子在一定条件下构成一向量空问，最后给出了一些 l i p s c h i t z n 算子的例子 第二章，讨论了当距离空间d 2 为b a n a n c h 空间时，相应的l i p s c h i t z o 算子空 问 l 8 ( d ，y ) ；l ? ( d ，y ) ；r ( d ，y ) ；l 暑( d ，y ) ；瑶( d ，y ) 首先，证明了算子空间( d ，y ) 与2 。( d ，y ) n l 。( d ，y ) 关于范数j i wr l 。= j i t e l l + l 。( 丁) 是b a n a c h 空间，并讨论了算子空间( 唱( d ，y ) ，”怯。) ；( l 量( d ，y ) ，恢。) 及( 酽( d ，y ) ，”。) 之间的关系其次讨论了有界的b i p s c h i t z o 算子所构成的算 子空间而且证明了算子空问l 暑( m ，冗) 是r i e s z 空间且( b l ( l 售( m ，冗) ) ，v ， ) 是 一完备的完全可分配格最后讨论了l i p s c h i t z - a 对偶空间及对偶算子 第三章，研究了l i p s c h i t z o 算子的代数理论首先引入并研究了由非紧距离 空问( d ，d ) 到一般b a n a c h 代数a 中的各种l i p s c h i t z 一算子代数，证明了它们 分别关于某些范数构成b a n a c h 代数，并讨论了各种代数之间的关系；其次讨论了 l i p s c h i t z 算子+ 一代数；最后讨论了l i p s c h i t z - a 算子代数的理想 关键词非紧距离空间；l i p s c h i t z 口算子；b a n a c h 空间；b a n a c h 代数；格；对偶 空间 t h et h e o r yo fl i p s c h i t z - ao p e r a t o r so n n o n - c o m p a c tm e t r i cs p a c e s c h e ng u a n gf e n g a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e w es t u d yt h et h e o r yo fl i p s c h i t z no p e r a t o r so nn o n - c o m p a c tm e t r i cs p a c e s a tf i r s t ，w ei n t r o d u c ea n dd i s c u s sv a r i o u sn o n l i n e a rl i p s c h i t z qo p e r a t o r so nn o n c o m p a c tm e t r i cs p a c eda n do b t a i ns o m ep r o p e r t i e so ft h e s e o p e r a t o r s s e c o n d l y ，w ed i s c u s sr e l a t i v et h e o r yo fo p e r a t o rs p a c e sa n do p e r a t o ra l g e b r a s w ed i v i d et h i sa r t i c l ei n t ot h r e ec h a p t e r s ，t h ef o l l o w i n gi st h et o p i co ft h i s p a p e r i nc h a p t e r1 w ed e f i n en o n l i n e a rl i p s c h i t z ao p e r a t o r sa m o n gm e t r i cs p a c e s a n dm e t r i cs p a c ei n t ob a n a c hs p a c ea n dp r o v es o m ep r o p e r t i e so ft h e m s e c o n d l y , t h ei n v e r t i b i l i t yo ft h e s eo p e r a t o r si sd i s c u s s e d m o r e o v e r ，i ti sp r o v e dt h a ta l lo f t h e s eo p e r a t o r sa m o n gm e t r i cs p a c e sc o n s t i t u t eal i n e a rs p a c e f i n a l l y , w e 舀v es o m e e x a m p l e so fl i p s c h i t z - oo p e r a t o r s i nc h a p t e r2 ，o p e r a t o rs p a c e s 工产( d ，y ) ；l 孚( d ，y ) ；2 。( d ，y ) ；l 售( d ，y ) a n d 皤( d ，y ) ，c o n s i s t i n go fb i gl i p s c h i t z 一口o p e r a t o r sa n do fl i t t l el i p s c h i t z 一口o p e r a t o r s f r o mdi n t ob a n a c hs p a c e sy ，r e s p e c t i v e l y ，a r ei n t r o d u c e da n dd i s c u s s e d f i r s t l y ， i ti sp r o v e dt h a tl “( d ，y ) a n df 0 ( d ，l ，) nl 。( d ，y ) a r eb a n a c hs p a c e sw i t hr e s p e c t t ot h en o r mi i t i i = i i t e l i 十l 口归) s e c o n d l y ，t h ei n c l u s i o nr e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h e s es p a c e sa r ed i s c u s s e d t h i r d l y b o u n d e dl i p s c h i t z no p e r a t o r ss p a c e sa r ei n - t r o d u e e da n dd i s c u s s e d m o r e o v e r ，i ti sp r o v e dt h a to p e r a t o rs p a c e 碍( m ，冗) i s r i e s zs p a c ea n d ( b l ( l 售( m ，冗) ) ，v ，a ) i sc o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v el a t t i c e f i n a l l y ，w e d i s c u s sl i p s c h i t z - qd u a lo p e r a t o r sa n dd u a ls p a c e s i nc h a p t e r3w ei n v e s t i g a t et h ea l g e b r at h e o r yo fl i p s c h i t z no p e r a t o r sa t f i r s t ，t h el i p s c h i t z oo p e r a t o rf r o m ( d ，d ) t ob a n a e ha l g e b r a a n dr e l a t i v eo p e r a t o r a l g e b r a sa r ei n t r o d u c e da n dd i s c u s s e ds e c o n d l y ，i ti sp r o v e dt h a tt h e s ea l g e b r a sa r e b a n a c ha l g e b r a sw i t hr e s p e c tt os o m en o r m s ，r e s p e c t i v e l y a n d ，t h e i rr e l a t i o n sa r e d i s s c u s s e d t h i r d l y , t h e 。一a l g e b r ao fl i p s c h i t z ni si n t r o d u c e d f i n a l l y w ed i s c u s s t h ec l o s e di d e a l so ft h e s ea l g e b r a s k e y w o r d s n o n - c o m p a c tm e t r i cs p a c e ；l i p s c h i t z 一o p e r a t o r ；b a n a c hs p a c e ；b a n a e ha l g e b r a ；l a t t i c e ；d u a ls p a c e 学位论文独创性声明 y 9 0 0 0 6 2 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证 书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名：f 丐e 辜日期：m f ，f 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学。 本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大 学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和 纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、 院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名f 专广讳日期：m f ，j 月u青 l i p s c h i t z 函数( 或称l i p s c h i t z 条件) 是指满足条件l f ( x ) 一，( ) l 茎m d ( x ，y ) ( v x ， y d ) 的函数f ：d 一赋它最初是由德国数学家r u d o l fl i p s c h i t z 在解决微分方 程y = f ( x ，) 唯一解时提出的由于它是几乎处处可微的连续函数，因而在微分方 程，分形理论与逼近论等数学分支中都具有重要的作崩因此，这一函数即引起数 学家的广泛关注 e = i l i p s c h i t z 函数全体在逐点定义的运算下构成的空间称为l i p s c h i t z 函数空间 在文献 1 】 【6 】中，t m j e n k i n s ，j aj o h n s o n ，k d l e e u w 和e m w o l f ，先后研 究了大小l i p s c h i t z 函数空间以及l i p s c h i t z 函数的极点，证明了由有界的l i p s c h i t z 函 数所构成的空间l 咖( d ，d ) 和l i p ( d ，d ) 在范数i l f l i = m a x 钏州o 。，l ，1 d ) 下为b a n a c h 空 间，其中 h f l l o o = s u p i ，( z ) l ：z d ) ，i f l d ：s u p l 掣：x , y cd ，z ) ， 而且讨论了局部l i p s c h i t z 函数，并利用g a t e a u x 导数讨论t l i p s c h i t z 函数的扰动，讨 论了l i p s c h i t z 函数空间之问的等距关系当( d ，d ) 是一个紧的距离空间( k ，d ) ，在文 献 7 l 中，l e o n i dg h a n i n 研究了l i p s c h i t z 空间l i p ( k ，d ) 和坳( k ，d ) ，证明 了它们都是b a n a c h 空间，讨论了l i p ( k ，d ) 的一次对偶空f 司l i p + ( k ，d ) 和二次对偶空 i 司l i p “( k ，d ) 以及其它相关重要性质 由“p s c h i t z 函数构成的代数称为l i p s c h i t z i 函数代数，在文献f 8 卜 1 0 l q ，d r s h e r b e r t 和h e d b e r g 最早将lp s e h i t 犀1 数空问作为l l p s c h i t z 代数来研究设o ( 0 ：1 ，定义 范数 1 1 川。= 1 f l l 。4 - 只( ，) ， 其中l l 川。= s u p i f ( x ) ：z k ) ，r ( ，) = s u p 鼍未嚣产：z ，y k ，z ) ， 他们利用范数| | i k d 研究了l i p s c h i t z 代数l i p o ( k ，d ) 和t i p ( k ，d ) 上的s t o n e - w e i e r s t r a s s 理论，并讨论t l i p 。( k ，d ) 的闭子代数及各种代数的关系还研究了这 些代数的理想及其结构在文献 1 1 1 一 2 1 1 q ，mw e a v e r 等人研究t l i p s c h i t z 代数的格 结构，序结构，代数之问的同态，理想空间等等，n w e a v e r 还有一本关于l i p s c h i t z 代 数的专著在文献 2 2 1 中，b a d e ，c u r t i s 和d a l e s 研究了它们上的导数在文献【2 3 中，b e a n k a 研究了它们的自动连续性，得到了一系列重要的结果在文献f 2 4 1 | l ，a sc a v a r e t t a 和ls m i t h i e 研究了关于绝对值映射a 一 a i 的l i p s c h i t z 界 在文献【2 5 卜 a 0 1 中，彭济根教授，王利生教授，徐忠本教授及b h p o u r c i a u 等人 推广了l i p s c h i t z 函数，定义了两个b a n a c h 空间之问酐j l i p s c h i t z 算子，研究了这类算子 的大量定量性质以及非线性l i p s c h i t z 算子半群的渐近性，还研究了非线性l i p s c h i t z 算 子的l i p s c h i t z 对偶算子对偶空问及它们的应用在文献 3 1 卜 3 3 】中，曹怀信教授给 出了两个b a n a c h 空间之问的非线性l i p o 算子的定义，讨论了这类算子的可逆性， 引入了a 一阶条件数，给出了其在非线性算子方程扰动问题中的一个应用，且研究 了l 咖一算子列的收敛性，可逆性，谱性质以及紧距离空间到b a n a c h 代数j ：l i p 一 口算子所构成的的l i p 一妒算子代数 本文引入并研究了距离空间( d ，d ) f 不要求它的紧性) 上的各利一“p s c h i t z n 算子， 讨论了这些算子的性质，并研究了这类算子的空间理论和代数理论全文共三章，主 要内容如下： 第一章，本章引入了两个距离空间之间、距离空间与b a n a c h 空间之间的各种 l i p s c h i t z o l 算子，讨论了这类算子的各种性质，并研究了这类算子的可逆性，并证明 了两个距离空间之间的所有l i p s c h i t z a 算子在一定条件下构成一向量空间并且 给出了一些关于l i p s c h i t z o t 算子的例子 第二章，本章讨论了当距离空问d 2 为- - b a n a n c h 空间时，相应的算子空间 工。( d ，y ) ；三；( d ，y ) ；严( d ，y ) ；l 笛( d ，l ，) ；唱( 口，y ) 证明了算子空问p ( 口，y ) 与? 8 ( d ，y ) nl 。( d ，y ) 关于范数i i t i i 。= l i t e l i + l 。( t ) 是b a n a c h 空间，并讨论了( 强( d ，y ) ，。) 、( l 量( d ，y ) ，州l 。，。) 及( 工。( d ，y ) ，l 。) 之 间的关系其次讨论了有界的l i p s c h i t z o 算子所构成的算予空问而且讨论了 l i p s c h i t z 算子在一定条件下可以构成格，并通过格讨论了l i p s c h i t z o 算子的一 些性质最后在空间理论的基础上讨论了l i p s c h i t z o l 对偶空间及对偶算子 第三章，本章研究了l i p s c h i t z - a 算子的代数理论首先引入并研究了由非紧距离 空问( d ，d ) 到一般b a n a c h 代数4 中的各种l i p s c h i t z 一口算子代数，证明了它们分别关于 某些范数构成b a n a c h 代数，并讨论了各种代数之问的关系；其次讨论t l i p s c h i t z 一乜算 子+ 一代数；最后讨论了这些代数的理想 2 第一章l i p s c h i t z o l 算子理论 设x ，y 为b a n a c h 空间，t ：x y 为一非线性算子( 即不要求线性) ，如果存在 正常数m ，使得l l t x t y l fsm l l x 一圳，比，y x ，则称? 是l i p s c h i t z 算子，文 2 5 卜 3 0 】研究了这类算子的大量性质，并给出一系列深刻而有意义的结果文f 3 3 1 将这一 概念推广到更一般的情况，引入了b a n a c h 空问之问酐j l i p s c h i t z a 算子，并讨论了这 类算子的可逆性及算子列的收敛性文 3 4 1 在文【3 3 的基础上中引入了两个b a n a c h 空 问之间的非线性l i p s c h i t z - a 算子的m 一豫解集、m 一谱集、m 一谱半径等概念并证明 了它们的一系列重要性质然而正如我们所知，距离空问与b a n a c h 空问无论是拓扑 结构还是代数结构都有很大的不同，能否在更般的距离空间( 不要求它的紧性) 之 问来讨论l i p s c h i t z d 算子及其性质呢? 基于这一点，本章引入两个距离空间之间、距 离空问与b a n a c h 空间之问的l i p s c h i t z - c r 算子并讨论这类算子的可逆性，证明两个距 离空间之间的所有l i p s c h i t z n 算子在一定条件下构成向量空间 1 1 距离空间 本节，作为预备知识，我们给出距离空问的一些定义及结论 定义1 1 1设口是一个非空集，d n 作距离空间或度量空间 个双变量的实值函数d ( x ，) ，满足下面三个条件： ( 1 ) d ( x ，y ) 0 ，且d ( z ，g ) = 0 铮z = g ； ( 2 ) d ( z ，y ) = d ( v ，o ) ； ( 3 ) d ( z ，y ) sd ( z ，。) + d ( z ，) ， 称d ( x ，f ) 为d 上的一个距离，以d 为距离的空问d 记为( d ，d ) 定义11 2 设( d ，d ) 是距离空间，d 1cd ，对任意的z ，y d ( z ，9 ) ，则d 1 是d 1 上的距离，( d 1 ，d 1 ) 称为( d ，d ) 的距离子空问 是指在d 上定义一 d i ，d l ( z ，g ) = 定义1 1 3 设( d 1 ，d 1 ) ，( d 2 ，d 2 ) 是两个距离空间，令d ：( d l d 2 ) ( d l d 2 ) 一 碾为如下映射：对任意x 1 ，y 1 ) ，( x 2 ，2 ) d l d 2 ， d ( ( z l ，y 1 ) ，( z 2 ，y 2 ) ) = d l ( x ，z 2 ) + d 2 ( y 2 ，y 2 ) 易证d 是d l d 2 上一个度量，( d l d 2 ，d ) 称为( d 1 ，d 1 ) ，( d 2 ，d 2 ) 酐j 乘积距离空问 定义1 1 4 距离的空问( d ，d ) 上的点列f 。) 叫做收敛于茹。是指 d ( z 。，蛳) 一o ( 佗一o o ) 3 这时记作：l i m x 。= z o 或x 。_ 。o 一o 。) 定义1 1 5 设a 是距离空间( d ，d ) 中的点集，z o d ，若存在m 0 使得对任意 的y a 有d ( z o ，y ) 0 ，存在6 0 ，当d 1 ( z ，x 0 ) 0 ，使得对任意的z i ，z 2 d 1 ，只要d 1 ( 。1 ，2 ) 0 ，存在，使得当 ，m n 时，有d ( x 。，z 。) 0 ，m 0 使得 m 。d ? ( 。，y ) d 2 ( t x ，t y ) m - d 0 ( z ，) ，v x ，y d ，( 1 2 2 ) 则称t ：为双l i p s c h i t z - a 算子 易见l i p - a 算子丁是从d 1 至：i j d 2 的一致连续的非线性算子 定义】22 设丁：d l 一b 是一非线性算子，若d 1 ( 。，y ) 一o a t ，有 错y 川奸( z ，) 1 则称t 为从d l 到d 2 的小l i p s c h i t z 。a 算子，简称为1 i p _ d 算子 当d l ，d 2 其- - 为b a n a c h 空间y 时，( 此时其q | 的距离为通常的范数所定义的距 离) ，有类似的定义，记 e ( d 1 ，d 2 ) = ( 丁：d t d 2 i t 是连续算子 ； 酽( dr ，d 2 ) = t ：d t d 2 1 t 是l i p - a 算子) ： 5 l 袅，e 2 ( d l ，仇) = 丁：d l d 2 i t 是l i p _ a 算子且r ( e 1 ) = e 2 ，其中e l d l ，e 2 d 2 ； 鸳( d ) = 罐( d ，d ) = r ：d d i t 是l i p o 算子且丁( e ) = e ) ； f 。( d 1 ，d 2 ) = 丁：d 1 一d 2 t 是l i p - a 算子) ； ，( d i ，d 2 ) = t ：d l d 2 1 t 是常值算子) ； c ( d ，y ) = r ：d y i t 是连续算予) ； p ( d ，y ) = t ：d y i t 是l i p - a 算子) ； e ，y ) = t ：d y l t 是l i p - a 算子且r ( e ) = o ) ，此时要求e d ； i ( d ，y ) = t ：d y i t 是常值算子 ； 严( d ，y ) = r ：d yit 是l i p - o 算子) ； 硌( d ，y ) = t l 。( d ，y ) i w l l 。= s u p 。dj i t x l l + o 。 ； f ( d ，y ) = t 卜( d ，y ) ii i t i i 。= s u p 。e di i t x l + ) 显见i ( d 1 ，d 2 ) c 三。( d 1 ，d 2 ) cg ( d l ，d 2 ) ；咙。( d i ，d 2 ) cl “( d 1 ，d 2 ) c c ( d l ，d 2 ) ；z ( d ，l ，) cl 。( d ，y ) cc ( d ，y ) ；若e d ，则l ；( d ，y ) cl 。( d ，y ) c c ( d ，y ) 易证以下命题成立 命题1 2 3 ( 1 )r p ( d l ，玩) 甘s u p 。如帮 0 ，从而存 在e o 使得 ! n 骘f 错独。：，1 下可之p u 设 丁z 。) 。+ ：c 0 1 是t ( d 1 ) 中的c a u c h y 列，由 d l ( z 。，z 。) e 一d ；( t z 。，t z 。) 知 z 。) 一+ 0 0 1 为d l 中的c a u c h y 列，由d l 的完备性知存在z 使 由丁的连续性知 d 2 ( t x 。，t x ) 一o ( n 一+ o 。) 故t ( d 1 ) 是闭的 ( 1 ) ： ( 3 ) 设tel 。( d l ，d 2 ) 令s = t ，对任意的1 ，y 2 d 2 ，1 2 ，有 0 o 四( z l ，x 2 ) 纠“：”7 。 由此可得f 。( 刃2f l ：( s ) l 一。 0 ，故丁上凫。( d z ，d 2 ) 推论1 3 4 设d 1 ，d 2 为完备的距离空间，若t l 。( d l ，d 2 ) ，则 且 t 。l ：( 岛，d 1 ) ( 1 3 4 ) 工( 丁一1 ) = 瞰t ) r 告，2 j ( r 一1 ) = 【l 。( 丁) r 言1 ( 1 3 5 ) 设( d ，d ) 为距离空问，y 为b a n a c h 空间，a ，b l o , ( d ，y ) ，a ，肛，定义 ( a a + 弘b ) ( 。) = a a x + # b x ，v z d ( 1 3 6 ) 易验证三。( 口，y ) 构成f 上的线性空问 定理1 3 5 若( d ，d ) 为完备的距离空问，y 为b a n a c h 空间，t l 。( d ，y ) ，则以 下叙述等价： ( 1 ) t l 。( d ，y ) ； ( 2 ) t 下有界且r ( d ) 在y q ，稠密； ( 3 ) 存在s l ：( d ) 使s 丁= 如，t s = r ； ( 4 ) 存在t o ( d ，y ) 使得如+ t 碥。( d ，y ) 证明只需证明( 1 ) 甘( 4 ) ( 1 ) 辛( 4 ) 设t l 鼻。( d ，y ) ，则 z 。( r ) 0 ，t ( d ) = y 取t o = 0 ，f d ：y ) ，则 f 。( 丁+ t o ) = ( r ) 0 ，( t + t o ) ( d ) = t ( d ) = y 从而死+ t l 0 n 。( d ，y ) 故( 4 ) 成立 ( 4 ) ： ( 1 ) 若存在死，( d ，y ) 使i # t o + 丁l ( d ，y ) ，由定坪1 27 ( 4 ) 可得 0 f 。( 丁+ 死) 2 。( 丁) + 2 。( t o ) = k ( 丁) 9 又由y = ( t + 蜀) ( d ) = r ( d ) + t o ( d ) h t ( d ) = y ，故r l 。( 口，y ) ，从而( 1 ) 成 立 推论1 3 6 ( 1 ) x ( d ，y ) + l 鼻。( d ，y ) = 二。( d ，y ) ； ( 2 ) v t l ，乃el 0 n 。( d ，y ) ，若存在i ( d ，y ) 使得丑+ = 乃，则 l n ( 丑) = l a ( 易) ，f 。( 乃) = k ( 而) 下面给出可逆算子的一个扰动定理 定理1 37 设丁l 鼻。( d ，y ) ，s l 。( d ，y ) ，若l 。( s ) k ( 丁) ，则 t + sel 。( d ，y ) ，l 吉( ( t + s ) 1 ) = z 。( 丁+ s ) 1 一言 k ( 丁) 一k ( s ) j 一吉 证明由k ( s ) o ) ， 则对于0 bso + o o ，有 i ，( n ) 一，( 6 ) i = i ，( t ) d t i ( i “ 肘i 血一6 囡此，f l ( f o ，+ o 。) ) 例3 设，：f o ，6 】一豫是连续可微函数，, l j f ( o ，6 】，r ) ( o 。s1 ) 且 0 = k ( ，) l 。( ，) m ( b o ) 1 一。( o n 1 ) ；l 1 ( f ) = m ，f ，( f ) = m ， 其中m = m a xj ，f ( 陋，h i ) ，m = r a i ni ，l ( 。，b 1 ) 例4 设dcx 是有界开凸集，t ：d y 是g a t e a u x 可导的且m ：= s u p 。di i t 7 刮i o ) ，t o ：d y 是g a t e a u x n - j 导 的且m ：= s u p x e d ( f f t o z + z | | ) 2 ，定义 算子 耻妻訾拙d ) i j t l o ( d ，y ) 例6 设a 是有单位元1 的c + 一代数，0 a 0 ，t b ( x ，y ) ，o 1 ，则t l 。( d ，y ) 且l 。( 丁) j 1 。i i t i i f i r j 8 如果，不是 n ，b 1 一r 上的常函数，且在a ，6 】上几乎处处，= 0 ：则，不属 于l 1 ( i 。，啦) 例9 设x 是b a n a c h 空间，b ( x ) 是x 上的有界线性算子之集，则对于任意的t b ( x ) ，z ，y x a x y ，有 f i t ( x ) 一丁( y ) | | = i i t ( x 一) i f j 丁r y 忆 所以，t l 。( ( x ，d ) ，x ) ，o21 a l 。( t ) = lj 丁a e i 兑b t j b ( x ) l 1 ( ( x ，d ) ，x ) 1 2 第二章距离空间上的l i p s c h i t z o l 算子空间理论 在第一章中我们已经知道当距离空间d 。为- - b a n a c h 空间y 时，相应的算子空 间l 。( d ，y ) ；e ( d ，y ) 尸( d ，y ) ；l 暑( d ，y ) ；曙( d ，y ) 在逐点定义的运算下构成向量 空间，那么能否构成b a n a c h 空问? 本章将证明这些算子空间分别关于某些范数构成 b a n a c h 空问并讨论它们之问的关系进而研究格空间和对偶空间及对偶算子本章 中总假定距离空间口中含有一点e 2 1l i p s c h i t z 一口算子空间 本节我们用以下记号表示从距离空间( d ，d ) 到b a n a c h 空间( y ，| | l i ) 的各种 l i p s c h i t z 一口算子空问，并证明算子空间p ( d ，y ) 与f 。( d ，y ) nl 。( d ，y ) 关于范数 l i t i i 。，= l 丁e | 1 + l 。( 7 ) 是b a n a c h 空间，讨论( 玛( d ，y ) ，” i 。，。) 和( l 售( d ，y ) ，】| 。，。) 及( 酽( d ，y ) ，”忆。) 之间的关系 俨( d ，y ) = 丁：d y i r 是l i p - a 算子，； 留( d ，y ) = r ：d y i t 是l i p - a 算子n t ( e ) = o ，此时要求e d ； ，( d ，y ) = f t ：d y i f 是常值算子1 ； 2 8 ( d ，y ) = t ：d yt 捏a l i p - a 算子) ； l 骞( d ，y ) = t l 。( d ，y ) li i t l l 。= s u p 。d t x l f + o 。) j f g ( d ，y ) = r 卜( d ，y ) | | i t f l o o = s u p 。e dj i t x l i + o o 定义2 1 1 对于t l o ( d ，y ) 及e d ，定义i i t i i 。= l i t el 1 + l 。( 丁) 定理2 1 2 ( 1 ) i 。是l o ( d ，y ) 上的范数； ( 2 ) ( l 。( d ，y ) ，| | - 怯。) 是数域5 c a ：t y j b a n a n c h 空间； 证明( 1 ) 设4 ，b 扩( d ，y ) ，a ，肛，显然l i aj l 。0 ，且 a l l 。= 0 甘 甘 甘 甘 l l a e l l + l 。( a ) = 0 i i a e | | = 0 ，l 。( a ) = 0 a ，( d ，y ) ，a e = 0 a = 0 1 3 a + 口l l 。，。= 0 ，存在自然数n ，使得当 矾札n 时，有i ? k b 。 ，令m