三角函数综合应用解题方法总结(超级经典).doc

精锐教育学科教师辅导教案学员编号：XA0002390 年 级：高三 课 时 数： 3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型T同步：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形T同步：三角函数周期的求法 T同步： 三角函数图象变换及解三角形星级教学目标1. 三角函数整个知识是高考的重点，学生不仅需要掌握基本概念，也需要掌握一定的技巧方法；2. 掌握三角函数的整体知识体系，能够熟练运用。授课日期及时段2013/4/22 10:10-12:10教学内容T同步：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形课堂引入：我们在三角函数整个知识方面不仅需要掌握所有的知识体系，在做题方面我们通常不知道如何下手，那么题目我们就没有办法了吗？接下来老师和你分享一些解题的技巧方法。知识讲解： 基本思路是：一角二名三结构。首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:一巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，典例精讲：例题1.已知，那么的值是_。例题2.已知，且，求值。例题3.已知为锐角，则与的函数关系为_（答：1）；2）；3）二三角函数名互化(切化弦)，例题3.求值 （答：1）；例题4.已知，求的值 （答：）三公式变形使用。例题5.已知A、B为锐角，且满足，则_ （答：）；例题6.设中，则是_三角形（答：等边）四三角函数次数的降升例题7.若，化简为_ （答：）；例题8.函数的单调递增区间为_（答：）五式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例题9. 求证：； 例题10.化简： （答：）六常值变换主要指“1”的变换（等），例题11.已知，求 （答：）.七正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，例题12.若 ，则 _ （答：)，特别提醒：这里；例题13.若，求的值。 （答：）；例题14.已知，试用表示的值 （答：）。八辅助角公式（收缩代换）的应用：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。例题14.若方程有实数解，则的取值范围是_. （答：2,2）；例题15.当函数取得最大值时，的值是_ (答：)；例题16.如果是奇函数，则= (答：2)；例题17.求值：_ (答：32)课后总结：T同步：三角函数周期及最值教学目标：知识讲解：一三角函数周期的求法 1定义法：定义：一般地f(x)，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（T）（）都成立，那么就把函数()叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1求函数y=3sin（）的周期解：y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin = f（x+3）这就是说，当自变量由增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。函数y=3sin（）的周期是T=3。2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、tan（）形成（其中A、为常数，且A0、0、R），则可知道它们的周期分别是：、。例2：求函数y=1-sinx+cosx的周期解：y=1-2（ sinx-cosx） =1-2（cossinx-sin cosx） =1-2sin（x-）这里=1 周期T=2（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tanx的形式，再确定它的周期。例3：求f（x）=sinxcosx的周期解：f（x）=sinxcosx=sin2x这里=3，f（x）=sinxcosx的周期为T=3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期（转化法）例4 求函数的周期 解： 例5 已知函数求周期 解： 4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 的周期解： 二、三角函数最值问题的几种常见类型1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：sinx1,cosx1,可求形如y=Asin(x+),y=Acos(Asin(x+)(A0, 0)的函数最值.例1:已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.解：y=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1 =cos2x+sin2x+ =sin(2x+)+ y得最大值必须且只需2x+=+2k，kZ.即 x=+k, kZ.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|x=+ k, kZ.2.反函数法 例2:求函数的值域分析 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为，可直接得到：或解法一：原函数变形为或 3.配方法转化为二次函数求最值例3：求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解 f(x)=(cos2x-)2-,当cos2x=1,即x= k,(kZ)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k+,( kZ)时，y=max=5.这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间-1，1上的最值值问题了.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。例4：已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。分析 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。解： 5. 利用数形结合 例5： 求函数的最值。 解：原函数可变形为 这可看作点的直线的斜率，而A是单位圆上的动点。由下图可知，过作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，6、换元法例6：若0x，求函数y=(1+)(1+)的最小值.解 y=(1+)(1+)=1+令 sinx+cosx=t(1t), 则sinxcosx=， y=1+=1+,由10,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。8. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例8： 求函数的最值。解：=当且仅当即时，等号成立，故。9. 利用图像性质例9： 求函数的最大值和最小值。 分析：函数的解析式可以变换成关于的二次函数，定义域为，应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间的位置，才能确定其最值。 解： 设 10. 判别式法例10 求函数的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：时此时一元二次方程总有实数解由y=3，tanx=-1，由11. 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例11 ： 设，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,则1. 当，即在0，1上递增， 2. 当即时，在0，1上先增后减，3. 当即在0，1上递减， 附：1y=asinx+bcosx型的函数特点含有正余弦函数，并且是一次式方法解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+j)，其中tgj=.（2005年广东高考第15题）值域2y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函数。特点含有sinx, cosx的二次式方法处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。2005辽宁高考18题 何值时面积最大？3y=asin2x+bcosx+c型的函数特点含有sinx, cosx，并且其中一个是二次方法应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。（2005年浙江高考第8题） 已知k0时）或向右（当1时）或伸长（当01时）或缩短（当0A c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理 （R为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列。典例解析：题型1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次月考）.已知中，则（ ） A. B C D 或答案 C例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，（2）根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例2（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型2：三角形面积例3在中，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 , +得：。 得：。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例4（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 答案 2解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，例5（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，（I）求的面积； （II）若，求的值解 （1）因为，又由得，（2）对于，又，或，由余弦定理得，例6（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练题型4：三角形中求值问题例7的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例8（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，（I）求的面积； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力题型5：三角形中的三角恒等变换问题例9在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=sinA=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例10在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而60，故tan.由两角和的正切公式，得。所以。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型6：正、余弦定理判断三角形形状例11在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例12（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 北2010ABC 题型7：正余弦定理的实际应用例13（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。（2）（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解：方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距