微分几何模拟卷.doc

微分几何模拟卷A一、判断题（正确打，错误打）（每小题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换 ( )2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. ( )3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 ( )5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量( ). 二、填空题（每小题3分，共15分）1. 半径为的圆的曲率为_.2. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_,3. 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是_.4. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足_,5. 使法曲率达到最大值和最小值的方向是_方向.三、计算题（第1小题各18分，第2、3、4小题各10分，共48分）1、已知空间正则参数曲线(1) 求基本向量.(2) 求的曲率和挠率.2、 求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.3、 设一个曲面的第一基本形式为求它上面两条曲线的交角.4.确定螺旋面上的曲率线。五、 证明题(每小题各9分，共27分)1. 证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线.3、设在两条曲线、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。微分几何模拟卷B一、判断题（正确打，错误打）（每小题2分，共10分）1、保角变换一定是等距变换 ()2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. () 3、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量()4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. ()5、测地曲率是内蕴量 ()二、填空题（每空3分共30分）1、 已知，则 ， ， ， 2、已知曲面，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率 ，平均曲率 ，点处沿方向的法曲率 ，点处的两个主曲率分别为 .三、计算题（每小题12分共36分）1、求曲面的渐近曲线.2、 已知曲面的第一基本形式为，求坐标曲线的测地曲率.3、求曲线 的曲率和挠率：四、证明题（每小题12分，共24分）1. 设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.2. 给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.微分几何模拟卷C一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“”。每小题2分，共10分)1. 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ()2. 曲面上曲率线网一定存在. ()3.存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 ()4.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ()5.曲面上的直线一定是测地线。 ()二、填空题(每小题3分，共15分)1.向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是_。2.曲线r=r(t)的挠率是_。3.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_。4.直纹曲面的高斯曲率值满足_。5.球面上的测地线是_。三、计算题（每小题10分共50分）1、 求曲线 = t,t,t 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。2、求曲面z = axy上坐标曲线x = x ,y =的交角.3、 求曲面的渐近线.4、确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.5、求曲面上的曲率线的方程.四、 证明题(第1小题5分，2、3小题各10分，共25分)1、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.2、证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。3、证明曲面=是可展曲面.微分几何模拟卷D一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“”。每小题2分，共10分)1.在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( )2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( )3.在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( )4.LN-M2不是内蕴量。 ( )5.高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( )二、填空题（每小题3分，共15分）1.曲线r=r(s)的曲率定义是_。2.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_。3.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_。4.坐标网是渐近线网的充要条件是 。5.平面上的测地线一定是_。三、计算题(每小题12分，共48分)1、求双曲面z=axy上的曲率线.2、求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。3、将圆柱螺线=a，a，b化为自然参数表示。4、求曲线x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的挠率，并求出它所在的平面方程 。四、 证明题(每小题各9分，共27分)1、证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.2、证明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。3、 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.微分几何模拟卷E一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“”。每小题2分，共10分)1.曲线=(s)为一般螺线的充要条件为(,)=0 ( )2.主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。 ( )3.不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。( )4.曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。 ( )5.每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。 ( )二、填空题(每小题3分，共15分)1、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_。2、螺旋线在点（1,0,0）处的单位切向量是_，法平面方程是_。3、设为曲面上曲线，点P在上，在P点的测地曲率为1，又在P点沿切方向的法曲率为2，则在P点的曲率为 。4、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 。三、计算题（每小题12分共48分）1、计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式.2、 求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.3、确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.4、在xoz 平面上去圆周y = 0,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 =(b+acos)cos , (b+acos)sin , asin,求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。四、 证明题(每小题9分，共27分)1、如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。2、证明曲线为一般螺线的充要条件为3、若曲线的主法线是曲线的副法线，的曲率、挠率分别为，求证，其中是常数。微分几何模拟卷F一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“”。每小题2分，共10分)1. 椭圆的曲率和挠率特征为k=1,=0。 ( )2.若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ()3.球面曲线的主法线必过球心 ()4.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ()5. 曲面上的渐进网一定存在. ()二、填空题(每小题3分，共15分)1.向量函数平行于固定平面的充要条件是_.2._是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.3.以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,_,平点.4.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的_的最大值和最小值.5.曲面的第三基本形式是它的_的第一基本形式.三、计算题（每小题10分，共50分）1、求三次曲线在点的切线和法平面。2、求球面=上任意点的切平面和法线方程。3、设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,uv = 0的交角。4、求正交网的坐标曲线的测地曲率。5、求双曲面z=axy上的曲率线.四、证明题（第1小题5分，2、3小题各10分，共25分）1、求证：如果测地线同时为渐近线，则它是直线；2证明正螺面=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是可展曲面。3、 如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。微分几何模拟卷G一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“”。每小题2分，共10分) 1.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 () 2.圆的曲率、挠率特征是：k=常数，=0。 () 3.在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 () 4.高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 () 5.曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ()二、填空题(每小题3分，共15分)1.曲面上曲线的弧长是_不变量。2.球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是_变换。3. 圆的曲率和挠率特征为_。4. 曲率恒等于0的曲线是_。5. 在曲面上的任意点，主方向的数目总为_。三、计算题(每小题12分，共48分)1、求曲线在平面与y = 9a之间的弧长。2、在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。3求正螺面=ucosv,usin,av上的测地线。4、求曲面上的曲率线的方程.四、证明题(每小题9分，共27分)1. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么曲线是直线或平面曲线。2、证明过原点平行于圆柱螺线=a，a，b的副法线的直线轨迹是锥面.3、 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。微分几何模拟卷H一、判断题(判断下列各小题，正确的在题后括号内打“”，错的打“”。每小题2分，共10分)1、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( )2、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( )3、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( )4、LN-M2是内蕴量。 ( )5、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网 ( )二、填空题（每空3分，共15分 ）1、若曲面和曲面等距，则的高斯曲率K= 。2、柱面的第一基本形式为 。3、设若曲面上的曲线，若既是渐近线又是测地线，则是 。又若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线，则是 。4、曲面在点A（1，3，4）的切平面方程是 。三、计算题（每小题12分，共48分）1、求曲线的曲率k和挠率。 2、求曲线的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。3、求曲面高斯曲率。4、求正交网的坐标曲线u-曲线的测地曲率。四、证明题(第1小题6分,2，3，4小题各7分，共27分)1、是否存在曲面使得E=1