数学二模二评讲稿(2010合肥).pdf

超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 1 页 共 17 页 数学二数学二数学二数学二 模拟二模拟二模拟二模拟二 一 选择题一 选择题一 选择题一 选择题 1 1 1 1 已知当 已知当时 时 是比是比高阶的无穷小 而高阶的无穷小 而是比是比0 x 22 11 ln 1 xx ln 1 n x ln 1 n x 高阶的无穷小 则正整数高阶的无穷小 则正整数等于等于 lncosxn A A A A B B B B C C C C D D D D 4321 答案 选择 答案 选择 B B B B 解 考查无穷小比较 等价无穷小 高阶无穷小 解 考查无穷小比较 等价无穷小 高阶无穷小 法法 1 1 1 1 从等价无穷小入手 从等价无穷小入手 当当时 时 0 x 42222 2 1 2 1 1ln 11 xxxxx nn xx 1ln 2 2 1 1cos 1 cos1ln coslnxxxx 由高阶无穷小概念可得 由高阶无穷小概念可得 即 即 24 n3n 法法 2 2 2 2 从极限入手 此略 从极限入手 此略 2 2 2 2 设极限 设极限 则函数 则函数在在点处必点处必 1 lim 3 ax afxf ax f xxa A A A A 取极大值 取极大值 B B B B 取极小值 取极小值 C C C C 可导 可导 D D D D 不可导 不可导 答案 选择 答案 选择 D D D D 解 考查导数定义 极限四则运算法则 解 考查导数定义 极限四则运算法则 因为函数在某点要么可导 要么不可导 因此 显然排除 因为函数在某点要么可导 要么不可导 因此 显然排除 A A A A B B B B 答案只能是 答案只能是 C C C C D D D D 之 之一 一 若若在在处可导 即处可导 即 则由极限四则运算法则可得 则由极限四则运算法则可得 f xxa lim xa f xf a fa xa 2 3 3 limlim xaxa f xf af xf a xa xaxa 00fa 与题设矛盾 故与题设矛盾 故在在处不可导 处不可导 f xxa 3 3 3 3 设 设是是区间上的连续函数 区间上的连续函数 是是在在上的一个原函数 则上的一个原函数 则 f x a b F x f x a b A A A A 当当在在内无界时 内无界时 在在内也无界内也无界 f x a b F x a b B B B B 当当在在内有界时 内有界时 在在内也有界内也有界 f x a b F x a b C C C C 当当在在内单调上升时 内单调上升时 在在内也单调上升内也单调上升 f x a b F x a b D D D D 当当在在内单调下降时 内单调下降时 在在内也单调下降内也单调下降 f x a b F x a b 答案 选择 答案 选择 B B B B 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 2 页 共 17 页 解 法 解 法 1 1 1 1 排除法 排除法 反例反例 1 1 1 1在在内单调下降 但内单调下降 但在在内单调上升 内单调上升 cosx 0 2 sinx 0 2 反例反例 2 2 2 2在在内无界内无界 但但在在内有界 内有界 1 2x 0 1 x 0 1 法法 2 2 2 2 直接法 直接法 在在内有界 即存在内有界 即存在 使得对任意 使得对任意 均成立 均成立 xfxF ba0 M bax MxF 由拉格朗日中值定理可得 对任意由拉格朗日中值定理可得 对任意 存在 存在介于介于之间 使得之间 使得 0 baxx xx 0 00 xxFxFxF 从而 从而 KabMxFxxFxFxxFxFxF 00000 即即在在在在内有界 内有界 xF ba 4 4 4 4 设 设则下列结论则下列结论不正确不正确的是的是 1 0 0 0 x ex f x x A A A A 在点在点处连续处连续 B B B B 在点在点处可导处可导 f x0 x f x0 x C C C C 在点在点处取极值处取极值 D D D D 点点为曲线为曲线的拐点的拐点 f x0 x 0 0 yf x 答案 选择 答案 选择 D D D D 解 解 在点在点处连续 处连续 A A A A 正确 正确 0 0lim lim 1 00 fexf x xx f x0 x 在点在点处可导 处可导 B B B B 正确 正确 0limlim lim 0 1 1 00 t t x t x xx e t x e x xf f f x0 x 任意任意 均有 均有 由极值定义可知 由极值定义可知 为为的极小值 的极小值 C C 0 x 0 0 1 fexf x 0 f xf 正确 正确 为偶函数 为偶函数 曲线曲线在点在点处附近两侧具有相同的凹凸性 从而 点处附近两侧具有相同的凹凸性 从而 点 f x yf x 0 x 0 0 不是曲线不是曲线的拐点 的拐点 D D D D 错误 错误 yf x 5 5 5 5 设 设在区域在区域内具有二阶偏导数 则 内具有二阶偏导数 则 f x yD 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 3 页 共 17 页 A A A A 必有 必有 B B B B 在在内必连续内必连续 22 ff x yy x f x yD C C C C 在在内必可微分内必可微分 D D D D 以上三个结论都不正确 以上三个结论都不正确 f x yD 答案 选择 答案 选择 D D D D 解 由多元函数重要概念间关系可知 解 由多元函数重要概念间关系可知 二阶偏导数存在 未必有二阶混合偏导数相等 二阶偏导数存在 未必有二阶混合偏导数相等 排除 排除 A A A A 注意 二阶混合偏导数存在且连续注意 二阶混合偏导数存在且连续 二阶混合偏导数相等 二阶混合偏导数相等 反例 设反例 设则则 22 22 0 0 0 0 0 xy xyx y f x yxy x y 4224 222 4 0 0 0 0 0 x xx yy yx y fx yxy x y 4224 222 4 0 0 0 0 0 y xx yy xx y fx yxy x y 由二阶偏导数的定义可得由二阶偏导数的定义可得 0 0 0 xx f 0 0 0 yy f 0 0 1 xy f 0 0 1 yx f 二阶偏导数存在 函数未必连续 从而 也未必可微 二阶偏导数存在 函数未必连续 从而 也未必可微 排除 排除 B B B B C C C C 注意 一阶偏导数连续注意 一阶偏导数连续 可微 但二阶偏导数存在只能保证一阶偏导数沿坐标轴方向连续 单变可微 但二阶偏导数存在只能保证一阶偏导数沿坐标轴方向连续 单变量量 连续 不能保证一阶偏导数连续 连续 不能保证一阶偏导数连续 反例反例 2 2 2 2在点在点处处 0 0 1 xy f x y 其它 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xxxyyxyy ffff 但是 但是 在在处不连续 从而也不可微 故 处不连续 从而也不可微 故 B B B B C C C C 不正确 从而选 不正确 从而选 D D D D f x y 0 0 6 6 将极坐标系下的二次积分将极坐标系下的二次积分 化为直角坐标系下的二次积分 化为直角坐标系下的二次积分 2sin 2 0 4 cos sin Idf rrrdr 则则 I A A A A 2 11 0 x x dxf x y dy B B B B 2 1 011 x x dxf x y dy 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 4 页 共 17 页 C C C C 2 122 0010 yy y dyf x y dxdyf x y dx D D D D 2 12 0 y y y dyf x y dx 答案 选择 答案 选择 C C C C 解 原二次积分的积分区域在极坐标系下是由射线 解 原二次积分的积分区域在极坐标系下是由射线和圆弧和圆弧所围成的平面区所围成的平面区域域 2 4 sin2 r 如图 化为直坐标则是由 如图 化为直坐标则是由所围成的平面区域 故所围成的平面区域 故1 1 0 22 yxxyx 2 2 2 0 2 10 1 0 111 0 yyy D x x D dxyxfdydxyxfdydyyxfdxI YX 7 7 7 7 为为矩阵 矩阵 为为阶单位阵 阶单位阵 则下列命题 则下列命题Anm m EmmArnm 经初等行变换为经初等行变换为 经初等列变换为经初等列变换为 正定 正定 A m EOA m EO T A A 正定 正定 必有解 必有解 仅有零解仅有零解 T AAbxA 0 xA 中正确的个数有中正确的个数有 个 个 A A A A B B B B C C C C D D D D 1234 答案 选择 答案 选择 C C C C 解 考查初等变换及其性质 正定矩阵及其性质与判定 线性方程组解的判定 解 考查初等变换及其性质 正定矩阵及其性质与判定 线性方程组解的判定 综合法 综合法 为行满秩矩阵 为行满秩矩阵 mAr nm A 错误错误错误错误 若若为 或经初等行变换化为 为 或经初等行变换化为 则不能只经初等行变换化为 则不能只经初等行变换化为形式 形式 A 100 001 OEm 正确正确正确正确 mAr nm 的列向量组 的列向量组 个个维列向量 中存在最大无关组 维列向量 中存在最大无关组 个个维列向量 它们可经列对换构成维列向量 它们可经列对换构成Anmmm 可逆矩阵可逆矩阵 且 且 可用列初等变换化 可用列初等变换化为单位阵 为单位阵 再利用列初 再利用列初等等 m P BPA m 列变换 m P BEBP mm 列变换 变换化变换化为为 BO OEBE mm 列变换 整个列变换过程为 整个列变换过程为 BPA m 列变换 BEm 列变换 OEm 列变换 错误错误错误错误 而 而为为矩阵 矩阵 nmAr nm AATnn 从而 从而 故 故不为正定阵 不为正定阵 nmArAAr T xAxAAx TTT 定二次型 概念可知 定二次型 概念可知 为正定阵 为正定阵 T AA 正定正定 T AA mAr nm 为正定阵 为正定阵 T AA 对 任 意 非 零 列 向 量对 任 意 非 零 列 向 量 从 而 从 而 见 注 见 注 2 2 2 2 故 故0 x0 xAxAAx TTT 0 xAT 即 即 mArmn T mAr nm 注注 1 1 1 1反证法反证法若若则由线性其次方程组解的判定定理可知 则由线性其次方程组解的判定定理可知 只有零解 只有零解 列满列满 0 xAT0 xAT T A 秩 与秩 与矛盾 矛盾 0 x 注注 2 2 2 2 对任意对任意 均有 均有 只有零解只有零解 0 x0 xAT 0 xAT mArmn T 正确正确正确正确 mAr nm 对任意列向量对任意列向量 均有 均有 从而 由线性非齐次方程组解的判定定理可 从而 由线性非齐次方程组解的判定定理可b mbArAr n 得 得 均有解 实际上此处有无穷多解 均有解 实际上此处有无穷多解 bxA 错误 错误 nmAr nm 0 0 4 4 xx xx xf 由分段函数求导及高阶导数概念可得 由分段函数求导及高阶导数概念可得 0 24 0 24 4 x x xf 24 24 lim 0 lim 0 00 4 x x x fxf f xx 24 24 lim 0 lim 0 00 4 x x x fxf f xx 0 0 4 4 ff 不存在 不存在 0 4 f 于是 于是 3 n 10101010 设 设 求高阶导数 求高阶导数 1 1 f x x x 2010 1 2 f 答案 答案 2012 22010 解 考查高阶导数 解 考查高阶导数 11 1 f x xx 11 1 1 1 nn n nn nn fx xx 于是 于是 2010 201020112011 1 1 2010 2 2 2 f 2012 22010 11111111 曲线 曲线与与轴所围图形绕轴所围图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为轴旋转一周所得旋转体的体积为 1 yxx xy 答案 答案 6 解 解 6 4 1 3 1 2 2 1 2 1 0 32 1 0 dxxxdxxxxV 12121212 微分方程 微分方程满足初始条件满足初始条件 的特解为的特解为 yy y 0 0y 0 2y y 答案 答案 2tanx 解 可降阶的微分方程 不显含 解 可降阶的微分方程 不显含 设 设 则 则 原方程化为 原方程化为xyp dp yp dy 可分离变量方程 可分离变量方程 dp ppy dy 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 8 页 共 17 页 故故 不合初始条件 舍去 不合初始条件 舍去 0 p0 dx dy Cy 代入初始条件代入初始条件 可得 可得 y dy dp ydydp 1 2 2 C y p 0 0y 0 2y 2 1 C 再代入初始条件 再代入初始条件可得 可得 故 故2 2 2 y dx dy 24 2 dx y dy 222 arctan 2 1 2 Cxy 0 0y 0 2 C 所求特解为所求特解为 即 即 x y 2 arctanxytan2 13131313 设 设是由曲线是由曲线和直线和直线 所围成的区域 所围成的区域 是连续函数 是连续函数 Dsinyx 22 x 2 x 1y f 则则 322 1 D Ixy f xydxdy 答案 答案 2 解 如图 用辅助曲线 解 如图 用辅助曲线sinyx 0 2 x xxnexnln 证 转化 证 转化 在在内有最小值内有最小值 0 0 xnexnln xnexxf n ln 0 tetxex nn ln ln 法法 1 1 最值法 最值法 设设 则 则 0 ln xxnexxf n x0 n efxfxnexnln 法 2 设 则 令 解得 在邻近 ln n x f x x 0 x 1 1ln n nx fx x 0fx 1 n xe 1 n xe 当时 当时 所以为的最大值点 故 1 n xe 1 n xe 0fx ttettf t0 eftfxnexnln 1616 本题满分本题满分本题满分本题满分 10101010 分分分分 设设是区间是区间上单调增加的连续函数 且上单调增加的连续函数 且 xf ba0 b a dxxf 证明 证明 I I I I 存在点 存在点 使得 使得 II II II II 存在点 存在点 使得 使得 ba 0 a dxxf ba fdxxf a 证 考查变限函数 零点定理 罗尔定理 证 考查变限函数 零点定理 罗尔定理 I I I I baCxf baxf 0 b a dxxf 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 10 页 共 17 页 否则 否则 在在内恒为负 从而内恒为负 从而 矛盾 从而 由 矛盾 从而 由零点定理零点定理零点定理零点定理可可得 得 0 bf xf ba0 b a dxxf 存在存在 使得 使得 bac 0 cf 设设 则 则 x a dxxfxF 且 且 bcCxF 0 b a dxxfbF 由由零点定理零点定理零点定理零点定理可知 存在点可知 存在点 使得 使得 即 即 babc 0 F0 a dxxf II II II II 法 法 1 1 1 1 零点定理 零点定理 设设 则 则 xfdxxfxG x a 且 且 aCxG 0 afaG0 kxex 设设 则 则 2 x e xf x 0 x 2 0 2 0 20 0 0 0 0 2 3 x x x x x x x e xf x 不存在 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 12 页 共 17 页 1 1 1 1 0 xf 2 00 lim lim x e xf x xx 0 1 lim lim 2 x exf x xx 当当为任意实数时 方程在为任意实数时 方程在内只有一个实根 内只有一个实根 k 0 2 2 2 2 且 且 2 2 0 xfxf 4 2 2 min e ff 当当时 时 方程在方程在内没有实根 内没有实根 4 0 2 e k 0 综上可知 综上可知 方程没有实根 方程没有实根 0 k 方程有一个实根 在 方程有一个实根 在内 内 4 0 2 e k 0 2 0 2 1919 本题满分本题满分本题满分本题满分10101010 分分分分 已知已知是二阶连续可导函数且是二阶连续可导函数且 g x 0 1g cos 0 0 g xx x f xx Ax I I I I 确定 确定使得使得在在处连续 处连续 A f x0 x II II II II 当 当在在处连续时 求处连续时 求 f x0 x fx IIIIIIIIIIII 讨论 讨论在在处的连续性 处的连续性 fx 0 x 解 解 I I I I 00 cos lim lim xx g xx f x x 0 0 coscos0 lim x g xgx x 0 g 当当时时 在在处连续 处连续 0 Ag f x0 x II II II II 当 当时 由公式法求导可得 时 由公式法求导可得 0 x 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 13 页 共 17 页 2 1 sin cos fxxg xxxg xx x 当当时 由定义法求导可得 时 由定义法求导可得 0 x 0 1 cos 0 lim 0 x g xx fg xx 2 0 cos 0 lim x g xxxg x 0 sin 0 lim 2 x g xxg x 1 0 1 2 g 故故 0 2 1 0 0 cos sin 2 x g x x xxgxxxgx xf IIIIIIIIIIII 2 00 1 lim lim sin cos xx fxxg xxxg xx x 0 cos lim 2 x xgxxx x 1 0 1 2 g 0 f 在在处连续 处连续 fx 0 x 2020 本题满分本题满分本题满分本题满分11111111 分分分分 求函数求函数在由抛物线在由抛物线与两个坐标轴所与两个坐标轴所围围yxxyyxf 3 4 2 4 0 yxx 成的平面闭区域成的平面闭区域上的最大值和最小值 上的最大值和最小值 D 解 考查有界闭区域上连续的二元函数的最值 解 考查有界闭区域上连续的二元函数的最值 注意到 函数是可微函数 故只需关注区域内驻点与区域边界上的可能最值点 注意到 函数是可微函数 故只需关注区域内驻点与区域边界上的可能最值点 内可能极值 驻点 内可能极值 驻点 D 解解得驻点得驻点 4 0 3 10 x y fy fx 4 1 3 44 1 33 f 边界上可能最值 边界上可能最值 D 在抛物线段在抛物线段上 将上 将代入代入中得 中得 AB 2 4yx yxxyyxf 3 4 20 4 3 8 4 3 4 4 4 23222 xxxxxxxxxxfxg 转化为一元连续函数在闭区间上最值问题 转化为一元连续函数在闭区间上最值问题 驻点 驻点 0 3 8 23 2 令 xxxg 3 4 x 27 28 9 20 3 4 3 4 fg 3 8 0 2 2 4 4 0 0 fgfg 在直线段在直线段上 上 端点函数值 端点函数值 OAxxf 3 4 0 02x 3 8 0 2 0 0 0 ff 在直线段在直线段上 上 端点函数值 端点函数值 OByyf 0 40 y4 4 0 0 0 0 ff 从从 中比较选择可得中比较选择可得 27 28 9 20 3 4 f4 4 0 0 0 0 ff 3 8 0 2 f 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 14 页 共 17 页 0 最大值 f4 最小值 f 2121 本 题 满 分本 题 满 分本 题 满 分本 题 满 分 11111111 分分分分 计 算 积 分计 算 积 分 其 中 其 中是 由 圆 弧是 由 圆 弧 222 D Ixxyd D 与直线与直线和和所围成的闭区域 所围成的闭区域 22 1xy 0 0 xy 1x 1y 解 考查二重积分的计算 解 考查二重积分的计算 如图 添加区域如图 添加区域与与构成正方形 则构成正方形 则 1 DD 222 D Ixxyd 一直一极 一直一极 11 222222 D DD xxydxxy d 1 0 5 2 0 2 1 0 22 1 0 2 cos drrddyyxdxx 2 0 2 1 0 24 cos 6 1 3 1 ddxxx 111 114 596 2 24524 2222 确定参数确定参数的取值 使得线性方程组的取值 使得线性方程组 a b 1234 1234 234 1234 1 32 223 54 3 3 xxxx xxxxa xxx xxaxxb 有解 并求出其通解 要求将通解用该方程组的一个特解及其导出组的基础解系表示 有解 并求出其通解 要求将通解用该方程组的一个特解及其导出组的基础解系表示 解 考查线性非齐次方程组的理论与解法 解 考查线性非齐次方程组的理论与解法 对增广矩阵作初等行变换对增广矩阵作初等行变换 52210 32210 32210 11111 3345 32210 1123 11111 12 14 3 5 ba a ba a bA rr rr 2000 0000 32210 11111 23 34 ba a a rr rr 10112 01223 0002 0000 ab a B 由线性非齐次方程组解的结构定理可得 当由线性非齐次方程组解的结构定理可得 当时方程组有解 必有时方程组有解 必有且且 bArAr 0a 2b 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 15 页 共 17 页 此时 此时 由此可得 原方程组有无穷多解 且其通解为 由此可得 原方程组有无穷多解 且其通解为 B 10112 01223 00000 00000 322 2 44 33 432 431 xx xx xxx xxx 即即 0 0 3 2 1 0 2 1 0 1 2 1 21 ccx Rcc 21 2323 设设 T n aaa 21 1 2 i aR in 1 T 1 0a T A I I 求 求的所有特征值和特征向量 的所有特征值和特征向量 A IIII 当 当为何值时 为何值时 为正交阵 为正交阵 kkAE IIIIII 当 当为何值时 为何值时 为正定阵 为正定阵 kAkE 解 考查矩阵特征值与特征向量 正交矩阵 正定矩阵 解 考查矩阵特征值与特征向量 正交矩阵 正定矩阵 I I I I 求特征值与特征向量 求特征值与特征向量 求特征值求特征值 法法 1 1 1 1 利用实对称阵性质 利用实对称阵性质 实对称阵 实对称阵 AAAr T 1 有有个特征值为个特征值为 一个特征值 一个特征值 A1 n00 n 1000 1 n n T trA 的特征值为的特征值为 A1 0 121 nn 法法 2 2 2 2 解特征方程 解特征方程 的特征多项式为的特征多项式为A 00 00 00 1 1 3 1 2 13121 2 1 3 2 2 321 3 2 33231 232 2 221 13121 2 1 1 1 a a a a a a aaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa EA n n r a a r nk nnnn n n n k k 超越芜湖地区冲刺模二评讲稿何先枝 第 16 页 共 17 页 1 1 2 13121 22 2 2 1 3 2