高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题导学案 北师大版选修11.doc

1.1 命题学习目标1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念思考1给出下列语句：若直线ab，则直线a和直线b无公共点；367；偶函数的图像关于y轴对称；5能被4整除.请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：都是陈述句；能够判断真假.梳理(1)定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类真命题：判断为真的语句叫作真命题；假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思考1你能把“内错角相等”写成“若，则”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思考2“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.由p能推出q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x2时，x23x20；(2)若x23x20，则x2；(3)若x2，则x23x20；(4)若x23x20，则x2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思考1原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否.思考2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题.梳理(1)四种命题的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一命题的概念例1下列语句：(1)是无限循环小数；(2)x23x20；(3)当x4时，2x0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作abcabc；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合1，2，3中的元素.其中是命题的是_.(填序号)答案(1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.其流程图如图：跟踪训练1下列语句中，是命题的为_.红豆生南国；作射线ab；中国领土不可侵犯！当x1时，x23x20.答案解析和都不是陈述句，根据命题定义可知是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若mnb，则ab.解(1)逆命题：若方程mx2xn0有实数根，则mn0且n0，则mn0，真命题.逆否命题：若mn0，则m0且n0，假命题.(4)逆命题：在abc中，若ab，则ab，真命题.否命题：在abc中，若ab，则ab，真命题.逆否命题：在abc中，若ab，则ab，真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练2命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()a.若loga20，a1)在其定义域内不是减函数b.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数c.若loga20，a1)在其定义域内是减函数d.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数答案b解析直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.命题角度2四种命题的相互关系例3若命题p：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是()a.互为逆命题b.互为否命题c.互为逆否命题d.同一命题答案b解析已知命题p：若xy0，则x，y互为相反数.命题p的否命题q为：若xy0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则xy0，r是p的逆否命题，r是p的逆命题的否命题，故选b.反思与感悟(1)判断四种命题之间四种关系的两种方法利用四种命题的定义判断；巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.(2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；一个实数不是正数就是负数；“若x3，则x2x60”的否命题；“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是_.答案1解析“若xy0，则x，y不是相反数”，是真命题.实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.“若x3，则x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x43不是不等式的解，故是假命题.“相等的角是同位角”，是假命题.类型三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假.解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为，判断如下：抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，令x2(2a1)xa220，则(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a70的解集为r，则a0的解集为r，且抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以ab，则ac2bc2(a，b，cr)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()a.0 b.2c.3 d.4答案b解析命题“若ab，则ac2bc2(a，b，cr)”是假命题，则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac2bc2，则ab(a，b，cr)”是真命题，则其否命题是真命题.故选b.5.给出以下命题：“若x2y20，则x、y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是_.答案解析否命题是“若x2y20，则x，y全为零”，真命题.逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题.14m，当m0时，0，x2xm0有实根，即原命题为真.逆否命题为真.1.可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变.3.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定和结论q的否定；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.40分钟课时作业一、选择题1.下列语句中，不能成为命题的是()a.512b.x0c.已知a、b是平面向量，若ab，则ab0d.三角形的三条中线交于一点答案b解析a是假命题，c、d是真命题，b中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题.2.下列说法正确的是()a.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”b.语句“最高气温30时我就开空调”不是命题c.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题d.语句“当a4时，方程x24xa0有实根”是假命题答案d解析对于a，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；b所给语句是命题；c的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选d.3.已知命题“若ab0，则a0或b0”，则下列结论正确的是()a.真命题，否命题：“若ab0，则a0或b0”b.真命题，否命题：“若ab0，则a0且b0”c.假命题，否命题：“若ab0，则a0或b0”d.假命题，否命题：“若ab0，则a0且b0”答案b解析“若a0且b0，则ab0”是真命题，又“若a0且b0，则ab0”是“若ab0，则a0或b0”的逆否命题，故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若ab0，则a0且b0”.4.下列命题中为真命题的是()a.命题“若x2 016，则x0”的逆命题b.命题“若xy0，则x0或y0”的逆否命题c.命题“若x2x20，则x1”d.命题“若x21，则x1”的逆否命题答案b解析a选项，“若x2 016，则x0”的逆命题为“若x0，则x2 016”是假命题；b选项，“若xy0，则x0或y0”的逆否命题为“若x0且y0，则xy0”是真命题；c选项，由x2x20，得x1或x2，故c是假命题；d选项，“若x21，则x1”是假命题，故其逆否命题是假命题.5.若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()a.互逆命题 b.互否命题c.互为逆否命题 d.以上都不正确答案a6.已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()a.0 b.1 c.2 d.3答案b解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b2ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选b.7.下列命题：(1)若“a2b2，则a0的解集为r”的逆否命题；(4)“若x(x0)为有理数，则x为无理数”.其中正确的命题是()a.(3)(4) b.(1)(3)c.(1)(2) d.(2)(4)答案a解析对于(1)，逆命题是“若ab，则a2b2”，易知是假命题；对于(2)，否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，易知是假命题；对于(3)，结论成立的条件是a0或故a0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以(3)正确；对于(4)，若x为有理数，则x必为无理数，因为x为有理数，故x为无理数，则(4)正确，故选a.二、填空题8.已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_，q是_.答案一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段的两个端点的距离相等9.已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a1且b2，则ab4”，则命题p的否命题是_.答案若实数a，b满足ab4，则a1或b2解析由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10.在命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0，则方程x22xk0有实数根；若xy8，则x2或y6；“矩形的对角线相等”的逆命题；“若xy0，则x，y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是_.答案解析44(k)44k0，是真命题.其逆否命题为真，故是真命题.逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.否命题：“若xy0，则x，y都不为零”是真命题.三、解答题12.判断命题：“若b1，则关于x的方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题的真假.解方法一因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可.方程判别式为4b24(b2b)4b，因为b1，所以4