最小生成树之Prim算法.doc

最小生成树之Prim算法1、生成树的概念 连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。 生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。 生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树。2、最小生成树的性质 用哲学的观点来说，每个事物都有自己特有的性质，那么图的最小生成树也是不例外的。按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。3、构造最小生成树，要解决以下两个问题：( 1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。(2).选取n-1条恰当的边以连接网的 n个顶点。求最小生成树的算法一般都使用贪心策略，有Prim算法和Krusal算法等。普里姆算法的基本思想：1）清空生成树，任取一个顶点加入生成树；2）在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树；3）重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树。即:从连通网络 N = V, E 中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点v加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点 v加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。编写程序:对于如下一个带权无向图，给出节点个数以及所有边权值，用Prim算法求最小生成树。代码的注释我写得很详细，方便理解，有几点需要说明一下。(1)、2个for循环都是从2开始的，因为一般我们默认开始就把第一个节点加入生成树，因此之后不需要再次寻找它。( 2)、lowcosti记录的是以节点i为终点的最小边权值。初始化时因为默认把第一个节点加入生成树，因此lowcosti = graph1i，即最小边权值就是各节点到1号节点的边权值中最小的。( 3)、msti记录的是lowcosti对应的起点，这样有起点，有终点，即可唯一确定一条边了。初始化时msti = 1，即每条边都是从1号节点出发。输入数据:7 11A B 7A D 5B C 8B D 9B E 7C E 5D E 15D F 6E F 8E G 9F G 11输出:A - D : 5D - F : 6A - B : 7B - E : 7E - C : 5E - G : 9Total:39最小生成树Prim算法朴素版 java语言实现 代码如下import java.util.*;public class Main static int MAXCOST=Integer.MAX_VALUE; static int Prim(int graph, int n) /* lowcosti记录以i为终点的边的最小权值，当lowcosti=0时表示终点i加入生成树 */ int lowcost=new intn+1; /* msti记录对应lowcosti的起点，当msti=0时表示起点i加入生成树 */ int mst=new intn+1; int min, minid, sum = 0; /* 默认选择1号节点加入生成树，从2号节点开始初始化 */ for (int i = 2; i = n; i+)/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */lowcosti = graph1i; /* 标记所有节点的起点皆为默认的1号节点 */msti = 1; /* 标记1号节点加入生成树 */ mst1 = 0; /* n个节点至少需要n-1条边构成最小生成树 */ for (int i = 2; i = n; i+)min = MAXCOST;minid = 0; /* 找满足条件的最小权值边的节点minid */ for (int j = 2; j = n; j+) /* 边权值较小且不在生成树中 */ if (lowcostj min & lowcostj != 0) min = lowcostj; minid = j; /* 输出生成树边的信息:起点，终点，权值 */System.out.printf(%c - %c : %dn, mstminid + A - 1, minid + A - 1, min); /* 累加权值 */ sum += min; /* 标记节点minid加入生成树 */ lowcostminid = 0; /* 更新当前节点minid到其他节点的权值 */ for (int j = 2; j = n; j+) /* 发现更小的权值 */ if (graphminidj lowcostj) /* 更新权值信息 */ lowcostj = graphminidj; /* 更新最小权值边的起点 */ mstj = minid; /* 返回最小权值和 */return sum; public static void main(String args) Scanner sc=new Scanner(System.in); int cost; char chx, chy; /* 读取节点和边的数目 */ int n=sc.nextInt();/节点 int m=sc.nextInt();/边数 int graph=new intn+1n+1; /* 初始化图，所有节点间距离为无穷大 */ for (int i = 1; i = n; i+)for (int j = 1; j = n; j+)graphij = MAXCOST; /* 读取边信息 */ for (int k = 0; k m; k+) chx=sc.next().charAt(0); chy=sc.next().charAt(0); cost=sc.nextInt(); int i = chx - A + 1; int j