（浙江通用）高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.5 指数与指数函数1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nn*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nn*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sq.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(7)在(，)上是减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na.()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘()(3).()(4)函数yax是r上的增函数()(5)函数 (a1)的值域是(0，)()(6)函数y2x1是指数函数()1若a(2)1，b(2)1，则(a1)2(b1)2的值是()a1 b.c. d.答案d解析a(2)12，b(2)12，(a1)2(b1)2(3)2(3)2.2函数yx的图象可能是()答案d解析因为当x1时，y0，所以图象过点p(1,0)故选d.3已知0.2m”或“解析设f(x)0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)n.4若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，1a22，即1a或a1.5函数y823x(x0)的值域是_答案0,8)解析x0，x0，3x3，023x238，0823x0，b0)；(2) 解(1)原式ab1.(2)原式1010201.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数(1) (0.064)2.5 0_.(2)()_.答案(1)0(2)解析(1) 原式1110.(2)原式.题型二指数函数的图象及应用例2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()aa1，b1，b0c0a0d0a1，b0(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_答案(1)d(2)1,1解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，故选d.(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(1)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图象之间的关系是()a关于y轴对称 b关于x轴对称c关于原点对称 d关于直线yx对称(2)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()aa0，b0，c0 ba0c2a2c d2a2c2答案(1)a(2)d解析(1)yx2x，它与函数y2x的图象关于y轴对称(2)作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，abf(c)f(b)，结合图象知0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c1.73 b0.610.62c0.80.11.250.2 d1.70.3cb解析(1)a中， 函数y1.7x在r上是增函数，253，1.72.51.73，错误；b中，y0.6x在r上是减函数，10.62，正确；c中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x在r上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,00.93.10.93.1，错误故选b.(2)yx为减函数， 即b01，ac，故acb.命题点2解简单的指数方程或不等式例4设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()a(，3) b(1，)c(3,1) d(，3)(1，)答案c解析当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a0且a1)是定义域为r的奇函数(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值解因为f(x)是定义域为r的奇函数，所以f(0)0，所以k10，即k1，f(x)axax.(1)因为f(1)0，所以a0，又a0且a1，所以a1.因为f(x)axln aaxln a(axax)ln a0，所以f(x)在r上为增函数，原不等式可化为f(x22x)f(4x)，所以x22x4x，即x23x40，所以x1或x1或x4(2)因为f(1)，所以a，即2a23a20，所以a2或a(舍去)所以g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，则t(x)在(1，)为增函数(由(1)可知)，即t(x)t(1)，所以原函数为(t)t24t2(t2)22，所以当t2时，(t)min2，此时xlog2(1)即g(x)在xlog2(1)时取得最小值2.思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_(2)若函数f(x)，其定义域为(，1，则a的取值范围是()aa baca da0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0且a1)的图象必经过点()a(0,1) b(1,1) c(2,0) d(2,2)答案d解析a01，f(2)2，故f(x)的图象必过点(2,2)3已知a22.5，b2.50，c()2.5，则a，b，c的大小关系是()aacb bcabcbac dabc答案d解析a201，b1，cbc.4若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()a(，2 b2，)c2，) d(，2答案b解析由f(1)得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选b.5若关于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()a(0,1)(1，) b(0,1)c(1，) d.答案d解析方程|ax1|2a (a0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0a1时，如图(1)，02a1，即0a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求综上，0af(n)，则m、n的大小关系为_答案mn解析a22a30，a3或a1(舍)函数f(x)3x在r上递增，由f(m)f(n)，得mn.8已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_答案0解析当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.9已知函数f(x)ax24x3(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在r上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.10已知函数f(x)exex(xr，且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xr都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解(1)f(x)exx，f(x)exx，f(x)0对任意xr都成立，f(x)在r上是增函数f(x)的定义域为r，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数(2)存在由(1)知f(x)在r上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xr都成立，f(x2t2)f(tx)对一切xr都成立，x2t2tx对一切xr都成立，t2tx2x2对一切xr都成立，t2t(x2x)mint2t20，又20，20，t.存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xr都成立b组专项能力提升(时间：25分钟)11函数f(x)a|x1|(a0，a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()af(4)f(1) bf(4)f(1)cf(4)1，f(4)a3，f(1)a2，由单调性知a3a2，f(4)f(1)12已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()a1个 b2个c3个 d4个答案b解析函数y1x与y2x的图象如图所示由ab得ab0或0ba或ab0.故可能成立，不可能成立13关于x的方程x有负数根，则实数a的取值范围为_答案解析由题意，得x0，所以0x1，从而01，解得a.14当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m2.15已知定义在实数集r上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)在(1,1)上的