（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修4.doc

1.6预习课本p6064，思考并完成以下问题(1)如何利用数据建立拟合三角函数模型？ (2)解三角函数应用题的解题步骤是什么？ 1三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用2用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据画散点图选择函数模型求解函数模型检验1电流i(a)随时间t(s)变化的关系是i2sin 100t，t(0，)，则电流i变化的周期是()ab100c d50答案：c2某人的血压满足函数式f(t)24sin(160t)110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()a60 b70c80d90答案：c3电流i(a)随时间t(s)变化的关系式是i5sin，则当t时，电流i为_答案：三角函数在物理中的应用典例已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解列表如下，t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示(1)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题活学活用交流电的电压e(单位：v)与时间t(单位：s)的关系可用e220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解：(1)当t0时，e110(v)，即开始时的电压为110 v.(2)t(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 v，当100t，即t s时第一次取得最大值.三角函数在实际生活中的应用典例如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心o距离地面40.5米，半径40米如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，并求出最大值解(1)由已知可设y40.540cos t(t0)，由已知周期为12分钟，可知，即.所以y40.540cos t(t0)(2)令y40.540cos t60.5，得cos t，所以t或t，解得t4或t8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12820(分钟)(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰在你的朋友的正上方，再过半个周期时，恰相反，故过(6k2)(kz)分钟后距离之差最大，最大值为40米解三角函数应用问题的基本步骤活学活用已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位小时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yacos tb.(1)根据以上数据，求函数yacos tb的最小正周期t、振幅a及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)由表中数据，知周期t12.由t0，y1.5，得ab1.5，由t3，y1.0，得b1.0，a0.5，b1，振幅为，ycos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，cos t11，cos t0.2kt2k.即12k3t12k3，0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24.在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午3：00.层级一学业水平达标1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至()ax轴上b最低点c最高点 d不确定解析：选c相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点2在两个弹簧上各挂一个质量分别为m1和m2的小球，它们做上下自由振动已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s15sin，s25cos.则在时间t时，s1与s2的大小关系是()as1s2 bs1s2cs1s2 d不能确定解析：选c当t时，s15，s25，s1s2.选c.3.如图所示，一个单摆以oa为始边，ob为终边的角()与时间t(s)满足函数关系式sin，则当t0时，角的大小及单摆频率是()a， b2，c， d2，解析：选a当t0时，sin ，由函数解析式易知单摆周期为，故单摆频率为，故选a.4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()a5 b6c8 d10解析：选c根据图象得函数的最小值为2，有3k2，k5，最大值为3k8.5稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y500sin(x)9 500(0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y10 0009 500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()a10 000元 b9 500元c9 000元 d8 500元解析：选c因为y500sin(x)9 500(0)，所以当x1时，500sin()9 50010 000；当x2时，500sin(2)9 5009 500，所以可取，可取，即y500sin9 500.当x3时，y9 000.6如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_ s往复一次解析：由图象知周期t0.800.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次答案：0.87.如图，电流强度i(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数iasin(a0，0)的图象，则当t秒时，电流强度是_安解析：由图象可知，a10，周期t2，所以100，所以i10sin.当t秒时，i10sin5(安)答案：58某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaacos(x1,2,3，12)来表示已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温为_ .解析：依题意知，则a23，a5，则y235cos，当x10时，y235cos20.5 ()答案：20.59.如图所示，某地夏天从814时的用电量变化曲线近似满足函数yasin(x)b.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量(2)写出这段曲线的函数解析式解：(1)最大用电量为50万kwh，最小用电量为30万kwh.(2)观察图象可知从814时的图象是yasin(x)b的半个周期的图象，所以a(5030)10，b(5030)40.因为148，所以.所以y10sin40.将x8，y30代入上式，解得.所以所求解析式为y10sin40，x8,1410某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)解：(1)设表示该曲线的函数为yasin(ta)b(a0，0，|a|)由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅a100，b800.又7月1日种群数量达到最高，6a2k(kz)又|a|，a.故种群数量y关于时间t的函数解析式为y800100sin (t3)(2)种群数量关于时间变化的草图如图层级二应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心o距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点p到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式yasin(t)2，则()a，a3b，a3c，a5 d，a5解析：选b由题意知a3，.2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数f(t)504sin (t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？()a0,5 b5,10c10,15 d15,20解析：选c由2k2k，kz，知函数f(t)的增区间为4k，4k，kz.当k1时，t3，5，而10,153，53动点a(x，y)在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t0时，点a的坐标是，则当0t12时，动点a的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()a0,1 b1,7c7,12 d0,1，7,12解析：选dt12，从而可设y关于t的函数为ysin.又t0时，y，即sin ，不妨取，ysin.当2kt2k(kz)，即12k5t12k1(kz)时，该函数递增，0t12，函数的单调递增区间为0,1，7,124有一冲击波，其波形为函数ysin 的图象，若其在区间0，t上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是()a5 b6c7 d8解析：选c由ysin 的图象知，要使在区间0，t上至少有2个波峰，必须使区间0，t的长度不小于2t，即t7，故选c.5下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天024时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为_解析：根据题图设hasin(t)，则a6，t12，12，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，60，h6sin6sin t，t0,24答案：h6sin t，t0,246一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为_.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y4.02.80.02.84.02.80.02.84.0解析：设yasin(t)，则从表中可以得到a4，t0.8，.又由4sin 4.0，可得sin 1，取，故y4sin，即y4cos t.答案：y4cos t7在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式dasin(t)h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?解：(1)依题意知t12，故，h12.2，a1612.23.8，所以d3.8sin12.2.又因为t4时，d16，所以sin1，所以，所以d3.8sin12.2.(2)t17时，d3.8sin12.23.8sin12.215.5(m)(3)令3.8sin12.210.3，有sin，因此2kt2k(kz)，所以2kt2k2，kz，所以12k8t12k12.令k0，得t(8,12)；令k1，得t(20,24)故这一天共有8 h水深低于10.3 m.8.如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动角到ob，设点b与地面距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从oa开始转动，经过t秒到达ob，求h与t间关系的函数解析式解：(1)由题意可作图如图过点o作地面平行线on，过点b作on的垂线bm交on于点m.当时，bom.h|oa|0.8|bm|5.64.8sin；当0时，上述解析式也适合则h与间的函数解析式为h5.64.8sin.(2)点在o上逆时针运动的角速度是，t秒转过的弧度数为t，h4.8sin5.6，t0，)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1ysin 是()a周期为4的奇函数b周期为的奇函数c周期为的偶函数 d周期为2的偶函数解析：选aysin 为奇函数，t4，故选a.21弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()a3 b6c18 d36解析：选clr，61r.r6.slr6618.3若0，则点p(tan ，cos )位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选b0，tan 0，cos 0，点p(tan ，cos )位于第二象限4已知角的终边过点(4，3)，则cos()()a bc d解析：选b角的终边过(4，3)，cos .cos()cos .5函数y1sin x，x0,2的大致图象是()解析：选b取x0，则y1，排除c、d；取x，则y0，排除a，选b.6已知5，则sin2sin cos 的值是()a bc2 d2解析：选a由5，得12cos 6sin ，即tan 2，所以sin2sin cos .7函数ytan的值域为()a1,1 b(，11，)c(，1 d1，)解析：选bx且x0，x且x，即x，当x时，y1；当x时，y1，函数的值域是(，11，)8将函数ysin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为()aysin x bysincysin dysin解析：选c将函数ysin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为x，即可得ysin，然后将其图象向左平移个单位，即将x变为x.ysinsin.9.已知函数yasin(x)ba0，0，|的周期为t，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是()aa3，t2 bb1，2ct4， da3，解析：选c由题图可知t24，a(24)3，b1.t4，.令，得.10设函数f(x)sin，则下列结论正确的是()af(x)的图象关于直线x对称bf(x)的图象关于点对称c把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象df(x)的最小正周期为，且在上为增函数解析：选c当x时，2x，f(x)sin 0，不合题意，a不正确；当x时，2x，f(x)sin，b不正确；把f(x)的图象向左平移个单位，得到函数ysinsincos 2x，是偶函数，c正确；当x时，f sin 1，当x时，f sin 1，在上f(x)不是增函数，d不正确11已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是()abcd解析：选d由图象可得t，t，则2.又图象过点，2sin2，f(x)2sin，其单调递增区间为(kz)，取k1，即得选项d.12中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为()a41米 b43米c78米 d118米解析：选b摩天轮转轴离地面高16082(米)，摩天轮上某个点p离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h8278cos t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h8278cost827843(米)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知sin()，且，则tan(2)_.解析：sin()sin ，cos ，tan(2)tan .答案：14已知函数yasin(x)(a0，0)的最大值为3，最小正周期是，初相是，则这个函数的解析式为_解析：由题意，知a3，7，y3sin.答案：y3sin15已知函数ytan x(0)的图象的相邻两支截直线y1和y2所得的线段长分别为m，n，则m，n的大小关系是_解析：两条直线所截得的线段长都为ytan x(0)的最小正周期，mn.答案：mn16将函数f(x)2sin(0)的图象向左平移个单位得到函数yg(x)的图象若yg(x)在上为增函数，则的最大值为_解析：根据题意得g(x)2sin x，又yg(x)在上为增函数，即2，所以的最大值为2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知cos，求的值解：因为cossin ，所以sin .原式8.18(本小题满分12分)设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解：(1)x是函数yf(x)的图象的对称轴，sin1.k，kz.0，.(2)由(1)知，因此ysin.由题意得2k2x2k，kz.kxk，kz.函数ysin的单调增区间为，kz.19(本小题满分12分)函数f(x)3sin的部分图象如图所示(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)的最小正周期为，x0，y03.(2)因为x，所以2x，于是当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最