毕业设计（论文）-离散混沌系统的Q-S同步控制方法.doc

目录目录第一章 绪论11.1 离散混沌系统概述11.2 混沌的发展21.3 混沌同步控制方法31.4 本文的主要研究成果和内容安排4第二章 二维logistic的混沌同步控制与Q-S同步控制72.1 二维logistic映射的混沌同步控制72.2 二维logistic映射的Q-S同步9第三章 二维Hnon的混沌同步控制与Q-S同步控制133.1 二维Hnon映射的混沌同步控制133.2 二维Hnon映射的Q-S同步15第四章 总结19致谢21参考文献235绪论第一章 绪论1.1 离散混沌系统概述混沌是非线性动力学中一个非常重要的概念，与日常人们提及的混沌有别。在非线性动力学中，混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动。所谓服从确定性规律，是指系统的运动（或演化，evolution）可以用确定的动力学方程(即使有时这类方程还没有被找到)表述，而不是像噪声那样不附送任何动力学方程。所谓运动具有随机性，是指不能像经典动力学的机械运动那样由某时刻状态可以预言（或预测）以后任何时刻的运动状态，混沌运动倒是像其他随机运动或噪声那样，其运动状态时不可预言的，换言之，混沌运动在像空间中没有确定的轨道。混沌运动这种在确定性系统中出现的随机性被称为“貌似随机”。混沌运动的一些特点：(1)混沌运动是决定性和随机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真正的或完全的随机运动。(2)对初始状态的敏感依赖，即蝴蝶效应。蝴蝶效应是区别混沌同其他确定性运动的最重要标志。(3)连续动力系统中，只有非线性系统才可能做混沌运动。离散混沌系统是指混沌系统中，研究对象不连续，而是以离散映射形式出现的混沌系统。以为离散映射可写成如下形式：但是，同样的问题也可能用连续过程的微分方程表示：就是实际上，这不过表示微分方程是离散映射取极限的结果。由此可见，离散映射与微分方程并不一定是分别表示两种截然不同的动力系统。也可以说，它们可能是从不同条件或角度分析同一动力系统而得出的不同形式的动力学方程。还可以看出，既然低维离散映射可能反映高维微分动力系统的部分规律，因此离散映射所代表的动力系统要比相同维数（状态变量数目相同）的微分动力系统复杂。实际上，微分动力系统受到其状态变量应是连续变化的要求，这种连续性使其运动要受到较严格的限制。而在离散映射中，状态变量的变化时不连续的，从而它不存在连续性对运动的限制，这就使离散系统的运动可以更丰富多彩。因此总的说，离散系统的运动比之相同维数的微分动力系统要复杂得多，或者说所蕴含的信息量要多。比如，一维或二维的微分动力系统不可能做混沌，但是一维离散映射却可能出现混沌。1.2 混沌的发展混沌运动史1963年由美国气象学家洛伦兹（E.Lorenz）在研究区域小气候，求解他所提出的模型方程时首先发现的1。在研究区域小气候时可以认为，受日光加热的地标和同温层构成温度分别为和的平行板，空气在这两块平行板之间进行对流和热传导，这就是所谓瑞利-柏纳德对流（Rayleigh-Bnard convection）.这样的一个小气候系统要用一组偏微分方程描述。此系统有以平衡态：流体（空气，在小型实验室中是某些液体）静止，热量考热传导由下层到上层。瑞利研究了此平衡态的线性稳定性。他发现，当超过某一临界值时，此平衡态不稳定，并开始出现环形对流。当与差别不大时，这种环形流还是稳定的。但当较大时，此环形流就不稳定了，流体的流动变得不规则。为了进一步求解描述上述系统方程的解，通常的方法是讲解写成傅里叶级数形式1。这样，原偏微分方程可化为一些列关于傅里叶系数的一系列常微分方程组。求其近似解（所谓Galerkin approximation）是只截取级数的有限项。这样，原偏微分方程组便化为有限个常微分方程组。1963年洛伦兹截取傅里叶级数的前三项，得到下列方程组 (1.2.1)式中表示对流运动的振幅（流速，对于环流，表示顺时针方向，表示逆时针方向），表示对流时上升与下降流体的水平方向温差，表示对流引起的垂直方向温差对线性情形（无对流的平衡态）的偏离。和都是量纲为1（无量纲）的正的参量，他们分别是普朗特（Prandtl）数、瑞利数（或雷诺数）和与容器（小气候区域范围）大小形状有关的量，方程中的求导也是对无量纲时间进行的。方程(1.2.1)就是有名的洛伦兹方程。1963年洛伦兹利用计算机（McBeeLGP-30机子，内存60KB，每秒60次乘法运算）求解此方程1。发现，当时，只要超过24.74，解便变得混论不规则（随机的或非周期的），且解很不稳定而敏感地与初始条件有关。实际上，这样的解就是现在所说的混沌。20世纪90年代之前，人们虽然认识到了混沌存在的客观性，但由于它的不稳定性和长时间发展趋势的不可预报性，又认为为它是一种“有害”的现象，在许多实际应用相关的工程技术领域内，人们想尽办法回避这类“有害”现象1。如何利用混沌研究成果服务于人类已成为非线性科学发展提出的新的重要课题。利用混沌的恶前提是驾驭它，也就是控制混沌。1989年胡伯勒（A.Hubler）在他发表的一篇文章中首次提出混沌可以被控制的现象。次年，奥特（E.Ott）、格里波基（G.Grebogi）和约克（J.Yorke）提出控制混沌的思想，并基于混沌轨道是由无穷多不稳定周期轨道构成的基本性质，提出一种参数微扰法控制混沌运动的具体实施办法，即现在称之为的OGY方法（Ott, Grebogi and Yorke）。很快他们提出的控制混沌的思想和方法被迪托（W.L.Ditto ）等人在一个力学实验中证实2，稍后也被罗意（R.Roy）等人在一个激光系统中加以利用和拓展3。随后的10多年中，有关混沌控制的研究得到了蓬勃的发展。这期间人们提出各式各样控制混沌的方法及其理论，并在自然科学的众多实际领域内的实验和应用中得到证实。近年来，这一研究方向的理论实验以及应用上的工作进展异常迅猛。1.3 混沌同步控制方法同步是自然界中的一种基本现象，它通常指：至少在两个振动系统相位间的协调一致现象。关于同步现象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯(C.Huygens)关于耦合单摆的同步现象的观察。混沌同步现象则是指两个混沌系统相位间达到协调一致的现象。在20世纪90年，Pecora和Carroll提出相同混沌子系统间，在不同的初始条件下，通过某种驱动（或耦合），仍然可以实现混沌轨道的同步化 4。他们提出了一种混沌同步的方法（简称P-C方法），并在电子线路上首次观察到混沌同步现象。这项发现极大地推动了混沌同步的理论研究，拉开了利用混沌的序幕。常用的混沌同步方法有：1、驱动-响应同步方法，Pecora和Carroll提出的正是此方法。2、主动-被动同步方法，是驱动-响应同步方法的改进，由L.Kocarev和U.Parlitz提出。3、变量反馈同步控制方法，此方法是由Pyragas5借鉴非线性连续混沌系统反馈控制法的思想所设计出来的方法。Q-S同步方法6，有别于一般的混沌同步方法，只需要简单的几个步骤或重复，就可以有效地控制混沌，并且阶数比以往的方法更低。因此Q-S同步控制方法是离散动力系统中非常重要的方法。下面给出离散动力系统中的Q-S同步的定义6。定义：对两个离散动力系统：(i) (ii) 其中令，是有界向量方程。如果存在合适的控制变量使得，则系统(i)和系统(ii)是Q-S同步。可见，Q-S同步控制方法的关键是找到合适的标量控制器。1.4 反步法反步法，即Backstepping （逐步后推，反推）设计方法，是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Lyapunov 函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法7。它通过从系统的最低阶次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律. Backstepping自适应控制是当前自适应控制理论和应用的前沿课题之一,近年来, 在处理线性和某些非线性系统时, 该方法在改善过渡过程品质方面展现出较大的潜力,除航空航天领域外, 在液压控制、电机控制、机器人控制、船舶控制等许多工业控制领域, 反推自适应控制的应用在国内外均有大量报道.1.5 本文的主要研究成果和内容安排Logistic映射和Hnon映射都是混沌系统中经典的动力学方程，通过对这两个映射的研究，更容易描述混沌系统的特性。二维映射起着从一维到高维的衔接作用，对二维映射中混沌现象和混沌控制的研究有助于认识和控制更复杂的高维动力系统的性态。本文将用混沌同步和Q-S同步分别研究二维Logistic映射和二维Hnon映射，并通过符号计算，绘出混沌运动的奇怪吸引子。本文中，第二章将会介绍二维Logistic映射的混沌同步和Q-S同步；第三章将会介绍二维Hnon映射的混沌同步和Q-S同步，作为二维Logistic映射的对比；第四章将会总结二维Logistic映射和二维Hnon映射的对比结果，以及混沌同步和Q-S同步两种同步方法分别在二维Logistic映射、二维Hnon映射中的作用。- 7 -二维logistic的混沌同步控制与Q-S同步控制11二维logistic的混沌同步控制与Q-S同步控制第二章 二维logistic的混沌同步控制与Q-S同步控制2.1 二维logistic映射的混沌同步控制首先，给出二维logistic映射8： (2.1.1)显然，这是一个具有耦合项的二维logistic映射。以映射(2.1.1)为驱动系统，那么受控的二维logistic映射 (2.1.2)就是响应系统。其中就是待定标量控制器。当参数取，初始值取时，其混沌吸引子如图2-1所示：令误差记为：，那么由(2.1.1)和(2.1.2)可以得到离散误差动力系统： (2.1.3)接下来，引用文献6的方法：第一步：引入第一个误差变量，令第一个Lyapunov为，令第二个误差变量为 (2.1.4)其中。然后可得的导数 (2.1.5)第二步：令 (2.1.6)通过符号计算，由(2.1.4)和(2.1.6)可得标量控制器 (2.1.7)因此 (2.1.8)令第二部分Lyapunov函数为，其中。所以的导数为 (2.1.9)由此可见，式(2.1.9)右边将是负定的如果以下条件成立： (2.1.10)显然，存在多种情况满足(2.1.10)，例如。由(2.1.4)和(2.1.6)，可得含有的闭环离散动力系统： (2.1.11)因此，对于给定的正实数，如果参数满足(2.1.10)，那么系统(2.1.11)全局渐近稳定且。由和(2.1.8)可得图2-1。接下来用数值模拟验证上述同步方法的有效性。参数取 满足(2.1.10)。当未施加变量控制器时分别以，作为系统(2.1.1)和(2.1.2)的初始值。因此可得系统(2.1.3)的初始值。图2-2为混沌同步误差示意图。图2-2 2.2 二维logistic映射的Q-S同步接下来,考虑Q-S同步方法研究上述二维logistic映射8。驱动系统 (2.2.1)受控系统 (2.2.2)这里将会用到广义反步法5来探讨(2.2.1)和(2.2.2)的Q-S同步。第一步：令第一个误差变量，由(2.2.1)和(2.2.2)可得 (2.2.3)令第一部分Lyapunov函数为，第二个误差变量为 (2.2.4)其中且由此可得的导数 (2.2.5)第二步：利用符号计算，从等式 (2.2.6)和(2.2.4)可得标量控制器 (2.2.7)因此 (2.2.8)令Lyapunov函数为，其中，那么的导数为 (2.2.9)由此可见，式(2.2.9)右边将是负定的如果以下条件成立： (2.2.10)显然，存在多种情况满足(2.2.10)，例如。由(2.2.4)和(2.2.6)，可得含有的闭环离散动力系统： (2.2.11)接下来用数值模拟验证上述同步方法的有效性。参数取 满足(2.2.10)。当未施加变量控制器时分别以，作为系统(2.2.1)和(2.2.2)的初始值。因此可得系统(2.1.3)的初始值。图2-3为其Q-S同步误差示意图。图2-3 13二维Hnon的混沌同步控制与Q-S同步控制17二维Hnon的混沌同步控制与Q-S同步控制第三章 二维Hnon的混沌同步控制与Q-S同步控制3.1 二维Hnon映射的混沌同步控制研究Hnon映射是为了通过和logistic映射的比较，更容易理解混沌系统的特性。下面是二维Hnon映射9： (3.1.1)这是一个简单的二维Hnon映射。接下来，我们用第二章的方法研究其混沌同步控制特性。以映射(3.1.1)为驱动系统，那么受控的二维Hnon映射 (3.1.2)就是响应系统。其中就是待定标量控制器。当参数取，初始值取时，其混沌吸引子如图3-1所示：图3-1 令误差记为：，那么由(3.1.1)和(3.1.2)可以得到离散误差动力系统： (3.1.3)第一步：引入第一个误差变量，令第一个Lyapunov为，令第二个误差变量为 (3.1.4)其中。然后可得的导数 (3.1.5)第二步：令 (3.1.6)通过符号计算，由(3.1.6)和(3.1.4)可得标量控制器 (3.1.7)因此 (3.1.8)令第二部分Lyapunov函数为，其中。所以的导数为 (3.1.9)由此可见，式(3.1.9)右边将是负定的如果以下条件成立： (3.1.10)显然，存在多种情况满足(3.1.10)，例如。由(3.1.4)和(3.1.6)，可得含有的闭环离散动力系统： (3.1.11)因此，对于给定的正实数，如果参数满足(3.1.10)，那么系统(3.1.11)全局渐近稳定且。由和(3.1.8)可得图3-1。接下来用数值模拟验证上述同步方法的有效性。参数取 满足(3.1.10)。当未施加变量控制器时分别以，作为系统(3.1.1)和(3.1.2)的初始值。因此可得系统(3.1.3)的初始值。图3-2为混沌同步误差示意图。图3-2 3.2 二维Hnon映射的Q-S同步这里直接使用上述二维Hnon映射9驱动系统 (3.2.1)受控系统 (3.2.2)使用广义反步法6来探讨(3.2.1)和(3.2.2)的Q-S同步。第一步：令第一个误差变量，再由(3.2.1)和(3.2.2)可得 (3.2.3)令第一部分Lyapunov函数为，第二个误差变量为 (3.2.4)其中且由此可得的导数 (3.2.5)第二步：利用符号计算，从等式 (3.2.6)和(3.2.6)可得标量控制器 (3.2.7)因此 (3.2.8)令Lyapunov函数为，其中，那么的导数为 (3.2.9)由此可见，式(3.2.9)右边将是负定的如果以下条件成立： (3.2.10)显然，存在多种情况满足(3.2.10)，例如。由(3.2.4)和(3.2.6)，可得含有的闭环离散动力系统： (3.2.11)接下来用数值模拟验证上述同步方法的有效性。参数取 满足(3.2.10)。当未施加变量控制器时分别以，作为系统(3.2.1)和(3.2.2)的初始值。因此可得系统(3.1.3)的初始值。图3-3为其Q-S同步误差示意图。图3-3 19总结19总结第四章 总结通过第二章和第三章，可以看到，混沌同步方法和Q-S同步方法都能使离散混沌系统达到同步。而Q-S同步方法较混沌同步方法更具有一般性，在不要求系统状态达到完全一致（）的情况下，也能使混沌系统达到同步状态。在不可避免干扰的保密通信应用中，更具有使用价值。并且发现，无论是混沌同步方法还是Q-S同步控制方法，最终得到的判定条件都是那么，可以得到一个推论：在参数取值恰当情况下，二维混沌系统都可以达到同步状态。推论可以推广到高维的混沌系统：在参数取值恰当情况下，混沌系统都可以达到同步状态。21致谢致谢一起走过的四年，我学业上的成绩和生活中的快乐是很多人在经意与不经意间所赐予的。这种赐予尤其集中的突显于撰写毕业论文的这段时间，我衷心地感谢陪伴我度过这段时间的老师，朋友们。此时此刻，我最想感谢的就是我的导师李瑞红老师，从选题到论文结构再到表述规范，她都一一给予了非常悉心的指导。李老师是一个非常严谨但又不失亲切的人，我很感激她对我要求上的严格与认真以及能力上的肯定与信任。从李老师身上，我所领受到的不仅仅是她治学上的严谨，更重要的是她对学生赤诚的爱与关心。她所做的一切总是能在让我感到感动的同时，拾得非常有益的人生智慧。另外，我还要感谢李小南老师，这四年若没有李老师在各方面的关心，我不会这么无忧无虑的学习、工作和生活。他在工作中的严肃、全面、细致以及生活中的亲切，让我受到了太多太多的影响。最后，还要感谢我身边一直支持我并且从生活上给予无微不至照顾的朋友们。在他们的疼爱与呵护中，我度过了非常快乐、幸福、充实的大学四年，让我收获了活泼、自信、善良、宽容的品格。他们无处不在的问候和信任是我永远坚持下去的不竭动力。再次感谢所有关心，帮助我的老师、朋友和亲人。23参考文献23参考文献参考文献1 刘秉正, 彭建华, 非线性动力学, 北京: 高等教育出版社, 2004.2 Ditto W L, Rauseo S N, Spano M L. 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