1998-数二真题、标准答案及解析.pdf

1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 1998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析理工数学二试题详解及评析 一 填空题一 填空题 1 2 0 112 lim x xx x 答 1 4 详解 1 用四则运算将分子化简 再用等价无穷小因子代换 2 2 0 2 2 0 2 2 0 114 lim 112 211 lim 4 1 1 2 lim 24 x x x xx xxx x x x x 原式 因 22 1 11 2 xx 详解 2 采用洛必达法则 200 0 0 11 11 2 12 1 limlim 2 41 11 lim 4 11 1 2 12 1 lim 44 xx x x xx xx x xx xx x xx 0 0 0 0 原式 注 2 110 xx 可求出 详解 3 采用 1 u 的马克劳林展开式 此时余项用皮亚诺余项较简单 当0u 时 22 1 11 2 uuuo u 所以0 x 时 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 22 22 11 11 28 11 11 28 xxxo x xxxo x 于是 222 2 0 2 2 0 1111 112 2828 lim 1 lim 4 1 4 x x xxxxo x x o x x 原式 2 曲线 32 2yxxx 与x轴所围成的图形的面积A 答 37 12 详解 因为 15 12 28 yy 所以 02 3232 10 4343 02 22 10 22 4343 37 12 Axxx dxxxx dx xxxx xx 3 2 lnsin sin xdx x 答 cotlnsincot xxxxC 详解 用分部积分法 有 2 2 2 lnsin lnsincotcotlnsincot sin cotlnsincsc1 cotlnsincot xdx xdxxxxdx x xxxxdx xxxXC 4 设 f x连续 则 22 0 x d tf xtdt dx 答 2 xf x 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 详解 令 22 2 uxtdytdt 当0t 时 2 ux 当tx 时 0u 故 2 222 00 1 2 xx dd tf xtdtf u duxf x dxdx 5 曲线 1 ln0yxex x 的渐进线方程为 答 1 yx e 详解 1 ln 1 limlim ln1 1 limlimln1 1 ln1 11 limlim 11 xx xx xx xe x ae xx byaxxe x e x e e xx 故此曲线的渐进线方程为 1 yx e 二 选择题二 选择题 设数列 n x与 n y满足lim0 nn n x y 则下列断言正确的是 A 若 n x发散 则 n y必发散 B 若 n x无界 则 n y必有界 C 若 n x有界 则 n y必有无穷小 D 若 1 n x 为无穷小 则 n y必为无穷小 答 应选 D 详解 方法一 由极限运算性质知 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 1 limlimlim0 nnn nnn n yx y x 所以 D 为正确选项 方法二 取数列0 n y 排除 A 若取数列 21 21 1 2 0 2 0 21 1 2 2 2 n n knk xk nk nk yk k nk L L 便排除了 B 对于 C 若数列0 n x 则 n y可为任意数列 所以 C 项也不正确 故应选 D 2 函数 23 2f xxxxx 不可导点的个数是 A 3 B 1 C 2 D 0 答 应选 C 详解 因为 23 22111 f xxxxxxxx xx 可见 f x在0 1x 处不可导 而在1x 处是可导的 故 f x的不可导点的个数为 2 3 已知函数 yy x 在任意点x处的增量 2 1 y x y x 且当0 x 时 是x 的 高阶无穷小 0y 则 1y等于 A 4 e B C 4 e D 2 答 应选 A 详解 由 2 1 y x y x 有 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 2 1 yy xxx 令0 x 得 2 1 y y x 解此微分方程并利用初始条件由 0 y 得 arctanx ye 故 arctan 4 1 x yee 4 设函数 f x在xa 的某个邻域内连续 且 f a为其几大值 则存在0 当 xaa 时 必有 A 0 xaf xf a B 0 xaf xf a C 2 lim0 ta f tf x xa tx D 2 lim0 ta f tf x xa tx 答 应选 C 详 解 由 题 设 存 在 邻 域 aa 使 当 xaa 时 有 f xf a f xf a 所以 当axa 时 0 xaf xf a 当axa 则在 0 b内 3 ln 1 0 t t 若0b 利用洛必达法则有 2 33 000 0 sincoscos limlimlim ln 1ln 1 xxx x axxaxax xtx dt tx 若1a 则上式为 与条件不符 故 1a 从而再用洛必达法则有 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 得 1 2 c 因此 1 1 0 2 abc 五 五 利用代换 cos u y x 将方程 cos2sin3 cos x yxyxyxe 化简 并求处原方程的通 解 详解 方法一 有cosuyx 两端对x求导 得 cossin cos2sincos uyxyx uyxyxyx 于是原方程化为 4 x uue 其通解为 12 cos2sin2 5 x e uCxCx 从而原方程得通解为 12 cos2 sin cos5cos x xe yCCx xx 方法二 23 sec secsectan secsectansectansec yux yuxuxx yuxuxxuxxux 代入原方程得 4 x uue 以下同方法一 六 六 计算积分 3 2 1 2 2 dx xx 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 详解 33 1 22 11 221 2 22 dxdxdx xxxxxx 11 11 22 0 22 1 1 0 2 lim 11 42 lim arcsin 21 2 dxdx xx x x 33 22 2211 0 2 3 2 1 0 lim 11 24 111 lim ln 224 ln 23 dxdx xx x xx 因此 3 2 1 2 2 ln 23 2 dx xx 七 七 从船上向海中沉放某种探测仪器 按探测要求 需确定仪器的下沉深度y 从海平面 算起 与下沉速度v之间的函数关系 设仪器在重力作用下 从海平面由静止开始铅直下沉 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用 设仪器的质量为 m体积为 B海水比重为 仪器所 受的阻力与下沉速度成正比 比例系数为 0k k 试建立y与v所满足的微分方程 并求 出函数关系式 yy v 详解 取沉放点为原点 O Oy轴正向铅直向下 则由牛顿第二定律得 2 2 d y mmgBkv dt 这是可降阶的二阶微分方程 其中 dy v dt 令 dy v dt 则 2 2 d ydv dydv v dtdy dtdy 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 于是原方程可化为 dv mvmgBkv dy 分离变量得 mv dydv mgBkv 积分得 2 ln m mgBm yvmgBkvC kk 再根据初始条件 0 0 y v 得 2 ln m mgB CmgBkv k 故所求函数关系为 2 ln m mgBmmgBkv yv kkmgB 八 八 设 yf x 是区间 0 1上的任一非负连续函数 1 试证存在 0 0 1 x 使得再区间 0 0 x上以 0 f x为高的矩形面积 等于再区间 0 1 x上以 yf x 为曲边的梯形面积 2 又设 f x在区间 0 1内可导 且 2 f x fx x 证明 1 中的 0 x试唯一的 详解 1 令 1 x xxf t dt 则 x 在闭区间 0 1上连续 在开区间 0 1内 可导 又 010 由罗尔定理知 存在 0 0 1 x 使 0 0 x 即 0 1 000 0 x xx f xf t dt 也即 0 1 00 x x f xf x dx 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 2 令 1 x F xxf xf t dt 则 20 Fxxfxf xf xf xxfx 即 F x在 0 1内严格单调增加 从而 0F x 的点 0 xx 必唯一 故 1 中的 0 x试 唯一的 九 九 设有曲线1yx 过原点作其切线 求由此曲线 切线及x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体的表面积 详解 设切点的横坐标为 0 x则切点为 00 1xx 曲线1yx 在此点的切线斜 率为 0 1 21x 于是切线方程为 00 0 1 1 21 yxxx x 又因它经过原点 以点 0 0代入 得 00 21 xx 解得 0 2x 于是切线方程为 1 12 2 yx 即 1 2 yx 切点为 2 1 由曲线段1yx 12x 绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 22 2 1 11 21435 51 6 Syy dxxxdx 由直线 1 02 2 yx 段绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 2 2 1 15 25 22 Sxdx 因此 所求旋转体的表面积为 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 12 11 51 6 SSS 十 十 设 yy x 是一向上凸的连续曲线 其上任意一点 x y处的曲率为 2 1 1y 且此 曲线上点 0 1处的切线方程为1yx 求该曲线的方程 并求函数 yy x 的极值 详解 因曲线向上凸 故 0y 由题设 得 3 2 2 1 1 1 y y y 即 2 1 yy 曲线经过点 0 1 故 01 y 又因在该点处的切线方程为1yx 即切线斜率为 1 于 是 01 y 问题归结为求 2 1 01 01 yy yy 的特解 令 yp yp 于是得 2 1 pp 分离变量解得 1 arctan pCx 以 01p 代入 得 1 arctan1 4 C 所以 tan 4 ypx 再积分 得 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 2 tanln cos 44 yx dxxC 以 01 y 代入 得 2 1 1ln2 2 C 故所求曲线方程为 1 ln cos1ln2 42 yx 取其含有0 x 在内的连续的一支为 13 lncos1ln2 4244 yxx 当 4 x 或 3 4 x 时 cos0 4 xy 故此函数无极小值 当 4 x 时 y为极大 极大值为 1 1ln2 2 y 十一 十一 设 0 1x 证明 1 22 1ln1 xxx 2 1111 1 ln2ln 12xx 详解 1 令 22 1ln1 xxxx 则有 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 2 00 ln12ln 12 00 2 ln 1 1 2ln 1 0 0 1000 0 1 1 xxxx xxx x x xxxxx x 所以 0 x 从而 0 x 即 22 1ln1 xxx 2 令 11 0 1 ln 1 f xx xx 则有 22 22 1ln1 1ln1 xxx fx xxx 由 1 知 fx 不等式左边证毕 又 2 000 0 ln 1ln 1 limlimlim ln 1 1 lim 212 xxx x xxxx f x xx x xx 故当 0 1x 时 111 ln 12 f x xx 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 不等式右边证毕 十二 十二 设 11 2 T EC B AC 其中E是 4 阶单位矩阵 T A是 4 阶矩阵A的转置矩阵 12321201 01230120 00120012 00010001 BC 求A 详解 由题设得 1 2 T CEC B AE 即 2 T CB AE 由于 1234