（江西版）高考数学总复习 第十一章11.4 直接证明与间接证明教案 理 北师大版.doc

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.4直接证明与间接证明考纲要求1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点 知识梳理1直接证明中最基本的两种证明方法是_和_2综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立综合法简称为：_.3分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止分析法简称为：_.4反证法：假设原命题_，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这样的证明方法叫反证法应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：第一步，分清命题“pq”的_；第二步，作出与命题结论q相矛盾的假设_；第三步，由p与q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真基础自测1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()a充分条件 b必要条件 c充要条件 d等价条件2用反证法证明“如果ab，那么”假设内容应是()a bc且 d或3设ta2b，sab21，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()ats bts cts dts4因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%，其中pq0.比较上述三种方案，提价最多的是()a甲 b乙 c丙 d一样多思维拓展1综合法与分析法有什么联系与差异？提示：综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证明转化为判定这些条件是否具备的问题2综合法与分析法各有什么优点与缺点？提示：综合法与分析法各有优缺点，分析法思考起来比较简单，易找到解题的思路和方法，缺点是叙述烦琐；综合法从条件推结论，较简洁地解决问题，但不便于思考因此，通常将它们结合起来使用，先用分析法探索证明途径，再用综合法叙述出来3在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？提示：反证法是间接证明的一种方法，它适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)若从正面证明，需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只需研究一种或很少的几种情形一、综合法【例11】(2011上海高考，理15)若a，br，且ab0.则下列不等式中，恒成立的是()aa2b22ab bab2c d2【例12】如图，四边形abcd是正方形，pb平面abcd，ma平面abcd，pbab2ma.求证：(1)平面amd平面bpc；(2)平面pmd平面pbd.方法提炼1综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明题的逻辑关系是：ab1b2bnb(a为已知条件或数学定义、定理、公理，b为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”2利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质3综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就是保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性请做针对训练1二、分析法【例21】abc的三个内角a，b，c成等差数列，a，b，c的对边分别为a，b，c.求证：.【例22】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.方法提炼1分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知2用分析法证“若p，则q”这个命题的模式是：为了证明命题q为真，这只需证明命题p1为真，从而有这只需证明命题p2为真，从而有这只需证明命题p为真而已知p为真，故q必为真特别警示：用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错3在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论p，若由p可以推出q成立，就可以证明结论成立一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明请做针对训练2三、反证法【例3】设an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和(1)求证：数列sn不是等比数列；(2)数列sn是等差数列吗？为什么？方法提炼反证法是间接证明问题的一种常用方法，它不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性用反证法证明要把握三点：(1)反设：必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)归谬：必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的；(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立请做针对训练3考情分析本节在高考中一般不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，作为一种方法考查有关内容因此，从该角度说它是每年高考的重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，在选择题、填空题、解答题中都可能涉及该部分命题的方向主要在函数、三角恒等变换、数列、立体几何、解析几何等方面，以考查“直接证明”中的综合法为主，偶尔也会出现利用反证法证明的题目，重点考查运算能力与逻辑推理能力针对训练1已知a，b，cr，且abc1.求证：8.2已知a，b(0，)，求证：.3已知p3q32，求证：pq2.参考答案基础梳理自测知识梳理1综合法分析法2由因导果3执果索因4不成立假设错误原命题成立条件和结论q基础自测1a2d解析：假设结论不成立，即的否定为.3d解析：stab21a2b(b1)20，st.4c解析：设产品的原价为a，则按方案甲可得提价后的价格为aa(1p%)(1q%)；按方案乙可得提价后的价格为ba(1q%)(1p%)a；按方案丙可得提价后的价格为caa2，则cba2a(1p%)(1q%)(p%q%)20，故应选c.考点探究突破【例11】d解析：当ab时，(ab)20，即a2b22ab，故a不成立；当a0，且b0时，b，c不成立；对于d，由ab0，知0，0，故2恒成立，等号成立的条件为ab.【例12】证明：(1)因为pb平面abcd，ma平面abcd，所以pbma因为pb平面bpc，ma平面bpc，所以ma平面bpc.同理，da平面bpc.又ma平面amd，ad平面amd，maada，所以平面amd平面bpc.(2)连接ac，设acbde，取pd的中点f，连接ef，mf.因为四边形abcd为正方形，所以e为bd的中点因为f为pd的中点，所以efpb.又ampb，所以四边形aefm为平行四边形所以mfae.因为pb平面abcd，ae平面abcd，所以pbae.所以mfpb.因为四边形abcd为正方形，所以acbd.所以mfbd.所以mf平面pbd.又mf平面pmd，所以平面pmd平面pbd.【例21】证明：要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又abc三内角a，b，c成等差数列，故b60，由余弦定理，有b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2得证于是原等式成立【例22】证明：要证lglglglg alg blg c，只需证lglg abc，即证abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以0，0，0，且上述三式中等号不能同时成立所以abc成立，所以lglglglg alg blg c成立【例3】(1)证明：若sn是等比数列，则s1s3，即(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列sn不是等比数列(2)解：当q1时，sn是等差数列当q1时，sn不是等差数列假设q1时，s1，s2，s3成等差数列，即2s2s1s3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，sn是等差数列；当q1时，sn不是等差数列演练巩固提升针对训练1证明：8，当且仅当abc时等号成立，不等式成立2证明：因为a，b(0，)，要证原不等式成立，只需