2010年北京市宣武区高三数学试卷(理科).pdf

北京市宣武区 2009 2010 学年度第一学期期末质量检测 高 三 数 学 文科 北京市宣武区 2009 2010 学年度第一学期期末质量检测 高 三 数 学 文科 2010 12010 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 8 页 全卷满分 150 分 考试时间为 120 分钟 第 卷 选择题 共 40 分 第 卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共有 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 在每个小题给出的四个选项中 有且只 有一个是符合题目要求的 一 选择题 本大题共有 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 在每个小题给出的四个选项中 有且只 有一个是符合题目要求的 1 设集合 全集 4 3 2 1 A 5 4 3 BBAU 则集合 BACU 中的元素个数为 A 1个 B 2个 C 个 3D 个 4 2 是 直线与直线2 a03 2 1 yxal14 2 xyl互相垂直 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 在区间 1 9 上随机取一实数 则该实数在区间 4 7 上的概率为 A 9 4 B 3 1 C 2 1 D 8 3 4 若函数是函数的反函数 则的值为 yf x x y2 2 ff A 16 B 0 C 1 D 2 5 下列结论正确的是 A 使成立 Rx 012 2 x 都有2 lg 1 lg x x成立 C 函数 2 sin xy是偶函数 D 0 x2 1个点 每个图形总的点数记为 则 n a 6 a 20102009544332 9999 aaaaaaaa 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 个小题 共个小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题共 13 分 已 知 的 三 个 内 角ABC A B C所 对 的 边 分 别 为 a b cA 是 锐 角 且 Babsin23 求A 的度数 若 的面积为7 aABC 310 求的值 22 cb 16 本小题共 13 分 如图是正三棱柱 111 CBAABC 3 1 AA 2 AB 若为棱中点 NAB 求证 平面CNB 1 AC 1 求四棱锥的体积 111 AANBC 17 本小题共 13 分 某班 50 名学生在一次百米测试中 成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间 将测试结果按如下 方式分成五组 第一组 第二组 14 13 第五组15 14 如图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图 18 17 I 若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好 求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数 II 设表 示 该 班 两 个 学 生 的 百 米 测 试 成 绩 已 知nm 18 1714 13 nm求 事 件 2 nm 的概率 13 14 15 16 17 18 0 38 0 34 0 18 0 06 0 04 秒 频率 组距 18 本小题共 13 分 已知二次函数的图象经过坐标原点 且满足 xg12 1 xxgxg 设函数 xlnxgmxf 1 1 其中为常数且m0 m I 求函数的解析式 xg II 当 时 判断函数的单调性并且说明理由 02 的焦点坐标为 1 F0 2 点 M 2 2 在椭圆 E 上 求椭圆 E 的方程 设 Q 1 0 过 Q 点引直线 与椭圆 E 交于两点 求线段中点lBA ABP的轨迹方程 O 为坐标原点 的任意一条切线与椭圆 E 有两个交点C D且OODOC 求 的 半径 O 20 本小题共 14 分 已知函数 55 5 x xf 为正整数 m 求和的值 0 1 ff 1 xfxf 若数列的通项公式为 n a m n fan mn 2 1 求数列的前项和 n am m S 设数列满足 n b 2 1 1 b 设 nnn bbb 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n n bbb T 若 中的满足对任意不小于 3 的正整数 n m S57774B 2 3 sin AA 60或120 oo 是锐角 的度数 60 A A o 6 分 3 sin 2 1 310 3 cos27 222 bc bccb 40 bc 13 分 89 22 cb 16 本题满分 13 分 证明 连结和交于点 连 1 BC 1 CBOON 111 CBAABC 是正三棱柱 O为的中点 又为棱中点 1 BCNAB 在中 1 ABC 1 ACNO 又 CNB1平面 NO 1 AC 平面 CNB1 平面 6 分 1 ACCNB1 是直角梯形 11A ANB3 2 1 111 AABAAN 四边形面积为 11A ANB 2 9 CN平面 四棱锥C 11A ANB 11A ANB 的体积为 2 33 13 分 17 本题满分 13 分 解 根据直方图可知成绩在 16 14内的人数为 2838 0 5018 0 50 人 5 分 成绩在的人数有 14 13204 050 人 设为 a b 成绩在的人数有 18 17 306 050 人 设为 A B C 14 13 nm时有 ab 一种情况 18 17 nm时有 AB AC BC 三种情况 nm 分别在 和 时有 aA aB aC bA bB bC 六种情况 14 13 18 17 A B C a aA aB aC b bA bB bC 基本事件总数为 10 事件 2 nm 由 6 个基本事件组成 所以 5 3 10 6 2 nmP 13 分 18 本题满分 13 分 解 设 的图象经过坐标原点 所以 c 0 cbxaxxg 2 xg 12 1 xxgxg 12 1 1 22 xbxaxxbxa 即 1 2 2 22 xbaxbaxbaax a 1 b 0 6 分 2 xxg II 函数的定义域为xmxmxxfln2 2 0 x mxmx x mmxxf 1221 22 2 令 122 2 mxmxxk1 2 2 1 2 2 m xmxk 在02 m0122 2 mxmxxk 0 上恒成立 即0 xf在上恒成立 0 当02 0 经过 M 2 2 一个焦点坐标为 1 F0 2 椭圆 E 的方程为 2 2 8 4 a b 22 1 84 xy 5 分 当直线l的斜率存在时 设直线l与椭圆 E 的两个交点为 A B 相交所得弦的中点 11 y x 22 y x yxP x x 1 48 1 48 2 2 2 2 2 1 2 1 y y 得 0 4 8 21212121 yyyyxxxx 弦AB的斜率 0 28 4 21 21 21 21 y y x yy xx xx yy k 四点共线 QPBA PQAB kk 即 10 12 xy x y y x 且 经检验 0 0 1 0 符合条件 线段AB中点的轨迹方程是 10 分 P02 22 xyx 当 O的切线斜率存在时 设 O的切线方程为ykxm 由 22 1 84 xy ykxm 得 222 12 4280kxkmxm 设 则 4433 yxDyxC 2 2 43 2 43 21 82 21 4 k m xx k km xx ODOC 0 4343 yyxx 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 22 388mk0 即 8 83 2 2 m k 直线ykxm 为 O的一条切线 圆的半径 2 1 m r k 即 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 经检验 当 的切线斜率不存在时也成立 O 2 6 3 r 1 分 20 本题满分 14 分 解 51 5 55 5 0 1 ff 1 1 xfxf 55 5 55 5 1 xx x x x 555 55 55 5 1 分 由 得 11 1 1 mk m k f m k f 即 1 1 kmk aa m km f m k f 由 m1m321m aaaaaS 得 aaaaaS m13m2m1mm 由 得 21 1 2 mm amS 4 55 2 1 1 1 2 1 1 mfmSm 10 分 2 1 1 b 1b bbbb nnn 2 n1n 对任意的 0 n bNn 1b 1 b 1 1b b 1 b 1 nnnn1n 即 1nnn b 1 b 1 1b 1 11113221 1 2 11 11 11 11 nnnn n bbbbbbbbb T 数列是单调递增数列 b