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51 第三章第三章第三章第三章 基本体及其表面交线基本体及其表面交线基本体及其表面交线基本体及其表面交线 知识目标知识目标知识目标知识目标 了解基本立体的投影规律 理解基本立体上点 线 面的关系 进一步增强空间思维能力 掌握基本立体及其简单截切后的投影图绘制基本方法 为绘绘制组合体打基础 能力目标能力目标能力目标能力目标 能够正确绘制各基本体的三视图 能够在基本体表面上找点 找线 能够绘制简单截切后的基本体的三视图 前面我们学习了点 线 面的投影知识和视图的基本知识 在此基础上来研究体的投影 我们知道 任何复杂形状的物体都可以看成是由简单形状的基本体组合而成 一般基本体按 其构成的表面可以分为平面立体和曲面立体 第一节第一节第一节第一节 平面体平面体平面体平面体 平面立体是指完全由平面围成的立体 平面立体的各个表面均为平面多边形 多边形的 边 棱线 即为各表面的交线 因此 绘制平面立体的投影可归结为绘制它的所有棱线即棱线 交点 顶点 的投影 然后判断其可见性 将看得见的棱线投影画成粗实线 看不见的棱线投 影则画成虚线 常见的平面立体有棱柱和棱锥 一一一一 棱柱及表面上的点棱柱及表面上的点棱柱及表面上的点棱柱及表面上的点 一 棱柱的三视图 1 分析 图3 1 a 图为一个正六棱柱 它由六个棱面和顶面 底面组成 将其顶面 底面放置为 水平面 水平投影反映实形且两面重影 正面 侧面投影都积聚成直线段 六个棱面中 前 后两个为正平面 它们的正面投影反映实形 水平和侧面投影积聚成一直线 棱柱的其它棱 面均为铅垂面 其水平投影积聚成直线 正面和侧面投影均为类似形 六个侧棱为铅垂线 根据以前所学直线 平面的投影规律 不难绘出棱柱的三视图 2 棱柱的三视图 52 b a 图3 1 b 为正六棱柱的三面投影 其作图步骤如下 作三视图的中心线 作最能反映形状 特征的图形 即水平投影正六边形 使其两对边平行于OX轴 作顶面 底面的投影 在 V 面 W 面积聚为两条直线 侧面的投影 侧面为矩形 四个顶点中两个在顶面上 两个在底面上 连接四个顶点的投 影即完成棱面投影 完成六棱柱的V面 W面投影 由图3 1 b 可以看出正棱柱体的投影特征 当棱柱的底面平行于某一个投影面时 则棱 柱在该面上的投影的外轮廓为与其底面全等的多边形 而另外两个投影则由数个矩形线框所 组成 二 棱柱表面上的点 由于棱柱各个表面均为平面 因此 求取棱柱表面上的点的投影可归结为在其所属平面 上找点 只要正确分析点所在的平面 根据点与平面的从属关系和点的投影规律可以方便地 求出点的三面投影 点的可见性 点所在的平面可见 则平面上的点可见 否则不可见 点所在平面有积聚 性 点的投影不判断可见性 如在图3 1 b 中已知棱柱表面上一点M的正面投影m 求m和m 根据点的投影规律 由于m 可见且处在长方形中间位置 应该是前侧棱面上的点 由 m 向下引垂线交俯视图积聚线得点m 由于前侧棱面为铅垂面 水平投影积聚为一条直线 m点不判断可见性 根据三等规律 可方便的求出m m 点可见 若是位于上下底面上的点 在主视图和左视图都有积聚性 按点的投影规律较易求解 图3 1 正六棱柱的三面投影 53 图3 2 正三棱锥的三面投影 b 读者可自行分析 二二二二 棱锥及其表面上的点棱锥及其表面上的点棱锥及其表面上的点棱锥及其表面上的点 一 棱锥的三视图 1 分析 棱锥由一个多边形底面和具有一个共同顶点的若干个三角形侧面组成 图3 2 a 为 正三棱锥 如图摆放时 底面为正三角形 为一个水平面 AB为侧垂线 AC BC为水平 线 三个侧面中 SAB为侧垂面 其余为一般位置平面 三个棱线中SC为侧平线 其余 为一般位置直线 2 棱锥的三视图 图3 2 b 为正三棱锥的三视图 其作图步骤如下 作三投影图中的中心线 作最能反映形状 特征的图形 即水平投影三角形和顶点S 使三角形的一边平行于OX 轴 在V面 W面上作底面积聚投影和顶点S的投影 侧面为等腰三角形 一个顶点为S 两个顶点在底面上 连接三个顶点的投影即完成侧面 的投影 从而完成三棱锥的投影 注意注意注意注意 A B两点的侧面投影是重合的 A点可见 读者应该能够在三个投影中对应地找到 每个侧面的投影 a 二 棱锥表面上的点 54 求取棱锥表面上的点 与求取棱柱表面上的点一样 都是在已知平面上找点 所不同的 是棱锥的两个侧面为一般位置平面 无积聚性 故在求取点的投影过程中 一般要根据点在 直线上 直线在平面上作图 这种作图方法称为辅助直线法 如图3 2 b 中已知点M的正面投影m 求其余二投影 首先 根据可见性判断M点在 SAC平面上 过顶点S作一条辅助线SM并延长交AC 于 点 点为直线AC上的点 在俯视图中可方便地求出 点的水平投影 于是求出直线 S 的水平投影 M属于S 得到M点的水平投影m 最后 利用点的投影规律得M的侧 面投影m 当然 还可以过M点作AB的平行线作为辅助线M 结果一样 SAC平 面的三面投影可见 所以M点的投影m m 可见 N点的正面投影不可见 判断它在 SAB平面上 由于该平面在左视图上有积聚性 故 可直接得到N点的侧面投影 最后 由点的投影规律求得其水平投影 55 图3 3 圆柱的三视图 a b 第二节第二节第二节第二节 回转体回转体回转体回转体 围成立体的表面中包含曲面 这样的立体叫做曲面立体 回转体是曲面立体中最常见最 基本的立体形式 回转体是由回转面围成或回转面加平面围成 所谓回转面是由一条母线 直 线或曲线 绕一个固定直线轴旋转而形成的曲面 任意位置的母线称为回转面的素线 素线 上每一个点的运动轨迹为圆 工程上常见的回转体有圆柱 圆锥 圆球 椭球等 一一一一 圆柱及其表面上的点圆柱及其表面上的点圆柱及其表面上的点圆柱及其表面上的点 一 圆柱的三视图 1 分析 圆柱是由一个圆柱面和两个平面 圆形 组成 如图 3 3 所示位置放置 上顶面 下 底面为水平面 水平投影为圆 V面 W面的投影积聚为直线 圆柱面可看成是一条直线 母 线 绕与之平行的轴线旋转而成 圆柱的轴线为一铅垂线 构成圆柱面的每条素线也都是铅 垂线 水平投影为圆 V面的投影为长方形 左右两条竖线为圆柱面的前 后的转向轮廓线 即最左 最右素线 W 面投影为长方形 左右两条竖线为圆柱面的左 右的转向轮廓线即最 前 最后的素线 2 圆柱的三视图 图3 3 b 为一圆柱体的三视图 作图步骤如下 作三投影图中的中心线 作最能反映形状 特征的图形 即水平投影圆 在 V 面 W 面上作顶面 底面积聚而成的两水平线 56 作圆柱面的投影 正面投影为最左 最右的素线的投影 侧面投影为最前 最后素线的投 影 完成圆柱的V面 W面投影 圆柱的投影是一个圆 两个长方形 二 圆柱表面上的点 圆柱表面上的点 在俯视图上有积聚性 一般可先求出其水平投影 然后再根据点的投 影规律找到其余投影 如图3 3所示 已知 M 的正面投影和 N 的侧面投影 求两点其余投影 由于圆柱面在水 平投影有积聚性 再根据M点主视图可见 可直接得到m 由点的投影规律得m 判断 其可见性 由于M位于圆柱右半部分 因此 在左视图中不可见 N点为一个特殊点 根 据其可见性 判断它在最左面的素线上 直接在俯视图中找到n 在主视图中找到n 位于 圆柱两端平面上的点 在主视图 左视图均有积聚 便于求作 读者可自行分析 二二二二 圆锥及其表面上的点圆锥及其表面上的点圆锥及其表面上的点圆锥及其表面上的点 一 圆锥的三视图 1 分析 圆锥是由圆锥面和底面 圆形平面 组成 圆锥面可看成一条直线 母线 绕与之相交 的轴线旋转而成 如图3 4所示 顶点与底圆周任意一点相连 即为一条素线 素线与底面 均倾斜一定的角度 因而圆锥面在三个投影面都不会积聚 底圆平面为一个水平面 在主视 图和左视图积聚成线 在俯视图反映实形 2 圆锥的三视图 a b 图3 4 圆锥的三视图 图3 4 b 为一个圆锥的三视图 作图步骤如下 57 图3 5 辅助圆 法求圆锥表面的点 作三投影图中的中心线 作最能反映形状 特征的图形 即水平投影圆 在V面 W面上作顶面 底面积聚而成的两水平线 作圆锥面的投影 曲面投影作可见与不可见部分的分界线 正面投影为最左 最右的素线 的投影 侧面投影为最前 最后素线的投影 完成圆柱的V面 W面投影 二 圆锥表面的点 圆锥表面上取点 没有积聚性可利用 可按点 线 面的从属关系求解 一般需要作辅 助线 除了辅助直线外 回转体上用辅助平面法也很方便 如图3 4 b 所示 已知M点 的正面投影 求解其余投影的过程 利用的辅助直线的方法 在此不再讲解 如图3 5所示 为用辅助平面法求解N点和K点三面投影的过程 已知N点的正面投影 过n 作一个平 行于底面的辅助平面 与圆锥的截交线为圆 在水平投影反映实形 由点 线的从属关系 正面投影不可见 得到N的水平投影n 最后 由点的投影规律求得侧面投影n 判断可 见性 K点为一个特殊点 已知其侧面投影 因其在最左边的素线上 可见 利用点 线 的从属关系可直接得到其余投影 三三三三 圆球及其表面的点圆球及其表面的点圆球及其表面的点圆球及其表面的点 一 圆球的三面投影 1 分析 圆球面所围成的立体叫做圆球体 圆球面可以看成是以半圆为母线 绕其直径旋转一周 而成 由于球体的对称性 它的各面投影均为圆 2 圆球的三视图 图3 6 b 是一个圆球的三视图 作图步骤如下 58 作三投影图中的中心线 作 H 面投影圆 为平行于水平面赤道圆的投影 作V面投影圆 为平行于正立投影面赤道圆的投影 作W面投影圆 为平行于侧立投影面赤道圆的投影 圆球是曲面体 三面投影都为曲面可见与不可见部分的分界线 投影是三个圆 分别为 三个不同方向的赤道圆 a b 图3 6 球的三视图 二 圆球表面上的点 圆球的投影在各投影面都不具有积聚性 因此在球面上找点 必须使用辅助平面法 如 图3 6 b 所示 已知点M的正面投影和 N 点的侧面投影 求其余投影位置 过M点作一 辅助水平面 与球的截交线为圆 其水平投影反映实形 根据点的投影规律和m 的可见性 就可以求出m的位置 在上半球 可见 然后 根据点的投影规律求出M点的侧面投影m 最后 判断可见性 由于m 位于右半球 故不可见 N点位于平行于侧立投影面的赤道圆 上 可直接按投影规律求解 59 图3 8 斜切四棱锥 第三节第三节第三节第三节 截交线截交线截交线截交线 较为复杂的立体 如带缺口的平面立体 可以看成是基本立体被一个或几个平面切割而 成 如图3 7所示 切割立体的平面叫做截平面 立体被平面截切后剩余部分叫做截断体 平面与立体表面的交线叫做截交线 图3 7 平面截切棱锥 截交线具有以下性质 1 共有性 截交线既属于截平面又属于立体表面 是它们的共有线段 2 封闭性 立体是由面包围而成 故截交线是一个封闭的平面图形 60 一一一一 平面立体的截交线平面立体的截交线平面立体的截交线平面立体的截交线 平面立体的截交线为平面多边形 其边数为截平面与平面立体表面相交的数量 实际求 取截交线的过程 正是运用截交线的性质表面取点 线的原理进行的 下面举例说明作图具体过程 例3 1 求作正四棱锥被正垂面截切后的三视图 如图 8所示 分析 截平面与四棱锥的四个棱相交 故封闭图形仍应该是个四边形 四个顶点就是截平面 与四个棱线的交点 问题归结为求解既属于截平面又属于四棱锥表面的点 主视图中截平面 有积聚性 与各棱线的交点为已知 下一步只是求出各点的其余两面投影并正确判断可见性 作图步骤 先画出完整的四棱锥的三视图 在主视图中找到 点的正面投影 利用点的投影规律和点的从属关系可在俯视图和左视图中分别求出 和 将各点的同面投影依次 注意顺序 连接 注意左视图中 点为不可见点 判断可见性后 正确绘出虚线部分 完成截切后的四棱锥的三视图 例3 2 求作顶部开槽的正六棱柱的三视图 如图3 9所示 图3 9 带切口的六棱柱 分析 顶部开槽的正六棱柱 是由三个截平面切割而成 如图3 5所示 槽底由水平面截切 61 与各个侧面均有交线 其水平投影反映实形 正面投影积聚成线 槽的两个侧面由两个侧平 面切割 正面投影 水平投影积聚成线 侧面投影反映实形 只要正确求出截交线的关键点 如 及其对称点 的位置 依次连接之 就可完成切割后的三视图 作图步骤 先画出完整的正六棱柱的三视图 因在俯视图中反映槽水平面的实形 根据开槽宽度可直接绘出开槽后的水平投影 完成俯视图 根据槽深和长对正做出主视图 注意去除顶部切掉的线条 如 点处 求取关键点 的侧面投影 依次连接各点 完成侧面投影 注意 之间不可见 为虚线 而 点已被切 去 因此要擦去 二二二二 回转体的截交线回转体的截交线回转体的截交线回转体的截交线 回转体截交线则是一个封闭的平面曲线 此平面曲线既属于截平面也属于回转体 是它 们的共有点所组成 因此 画截交线时 根据它们的共有性 一般需要先求出截交线上若干 个点 然后依次连接成为一条光滑曲线 一 圆柱 平面截切圆柱 有三种基本情况 见表3 1 表3 1 圆柱截交线的基本形式 截平面的位置 垂直于轴线 平行于轴线 倾斜于轴线 截交线 圆 矩形 椭圆 截断体 投影图 62 例3 2 画出图3 10 a 所示开槽圆柱的三视图 分析 圆柱被三个平面切割 一个水平面与轴线垂直 两个侧平面与轴线平行 根据表3 1 中的规律 主视图中三个面均积聚成线 俯视图中两个侧平面积聚成线 水平面则反映实形 为不完整的圆 被两个侧平面所分 左视图中水平面投影积聚成线 两个侧平面反映实形 为一矩形 在此分析基础上 按点的投影规律即可完成三视图 作图步骤 先画出未被切割的圆柱三视图 画出开槽的水平投影 两个侧平面积聚为两条直线 可直接绘出 根据槽深绘制正面投影水平面的积聚线 与两个侧平面的正面投影积聚线形成开槽的主视 图 注意擦去中间不存在的部分 画槽的侧面投影 侧面投影中槽侧面为一个矩形 槽底积聚为一条直线 只要顺利找到侧 平面的几个关键点 如图中A B C D 的位置即可 找到截平面的关键点后 依次连接 之 注意 槽底水平面中间部分不可见 画成虚线 最外轮廓线由下至上到槽底为止 上面 是被切掉的部分 不应画出 图3 10 b 为顶部开槽的圆柱三视图 图3 10 开槽圆柱 二 圆锥 平面截切圆锥 根据截平面位置不同 截交线有五种情况 见表3 2 63 表3 2 平面截切圆锥的基本形式 例3 3 求作如图3 12 a 所示立体的三视图 分析 这是一个由圆锥和圆柱组成的简单复合体 二者同轴 被一个水平面切割 由表 3 1知 圆柱切割后是一个矩形 我们已经会作它的三视图 由表3 2知道 圆锥部分截交 线是双曲线 截交线主视图是水平面的积聚线 侧面投影仍然积聚成线 水平投影反映实形 因此 首先应作出此立体的主视图和左视图 而俯视图可以分成两部分考虑 圆柱部分我们 已经学过 根据 宽相等 作出两条平行线 圆锥部分的作图法类似平面斜切圆柱 先作特 殊点 再作一般点 最后光滑连接即可 注意 完成截交线后 判断线段的可见性 图3 11 是完善后的三视图 作图步骤 先画出立体完整的三视图 画出正面投影和侧面投影的积聚线 擦去上部多余部分 完成主视图和左视图 利用宽相等作出2 3点 过2 3作平行线即为矩形部分的投影 作双曲线上的特殊点 1 为双曲线的顶点 由点的投影规律知 它在中心线上 可直接 得到 当然 2 3 也是双曲线上的特殊点 此时 双曲线的大致范围确定 截 平 面 位 置 垂直于轴线 过锥顶 平行或倾斜于 轴 截 交 线 圆 三角形 双曲线 抛物线 椭圆 截 断 体 投 影 图 64 图3 11 圆柱圆锥被水平面截切 求一般点 此时需要作辅助线 由4 5 点处作侧平圆辅助线 此圆在左视图反映实 形 由 高平齐 得4 5 根据点的投影规律 在俯视图中求得4 5 若要精确 可 再作几个点 依次光滑连接各点 完成截交线投影 注意2 3点之间没有实线 因为截平面是一个整 体平面 在圆柱和圆锥连接处没有交线 但下半部分不可见的圆锥轮廓要表示 因此 此处 要用虚线 三 球 平面截切圆球 所得截交线均为圆 圆的大小取决于截平面到球心的位置 截切后截平 面与投影平面的相互位置 决定了投影图的形状 例3 4 求作图 3 12 a 所示顶部开槽半球的三视图 分析 半球顶部开槽 是被三个平面切割而成 槽底为水平面 槽两个侧面是两个侧平 面 由表3 7知 水平面在主视图积聚 在俯视图反映实形 是一个圆 被两个侧平面切割 后剩下中间一部分 侧平面在主视图和俯视图均积聚 在侧面反映实形 是一个圆 被水 平面截切后剩下上面部分 水平面与两个侧平面的交线是两条正垂线 因此 截交线具有 积聚性的主视图可以先绘出 然后作水平面的投影 注意只取中间部分 确定侧面投影的关 键点1 2 3 4 5 的位置 光滑连接各点 用圆弧 判断可见性 3 4 点间水平面不可见 画成虚线 完成后的投影图如图3 13 b 所示 65 图3 12 开槽半球的三视图 作图步骤 画出完整的半球三视图 由于水平面和侧平面在正面投影均有积聚性 故主视图可方便地画出 画出槽的水平投影 槽底水平面反映 实形 是一个 圆弧 包含1 2 3 4点 为此 在主视图中可作 通过 1 2 3 4 点 辅助圆 找到其水平投影 用两个侧平面的积聚 线截取 完成俯视图 其实这也是 求1 2 3 4点的过程 尤其注意1 2点的位置 不 能想当然地以直线连接 画出槽的侧面投影 槽底水平面积聚 可以直接得到 两个侧面反映实形是一个圆弧 因此 求出最高点5 后 应以圆弧连接3 4 5 各点 可见性的判断 3 4 点间的槽底不可见 画成虚线 本例半球顶部开槽对称 两个侧平面一样大 因此 上述求点的投影的过程只作了左侧 面上的点 右侧对称 如果两个侧平面不对称 就会形成一大一小 在左视图会显示 应 该按照上述方法分别求出 请读者自行分析具体的作图过程 66 第四节第四节第四