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文档简介

2013年全国高中数学联赛（四川）初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、42 8、2 9、 10、 11、635 12、 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知函数的最小正周期是求在上的最大值与最小值 解：， （5分） 由条件知，则 于是， （10分） 当时，故，即 （15分） 所以，在时取最大值，在时取最小值是 （20分）14、已知函数，数列满足：，.，记 ( I ) 求证：数列成等比数列，并求数列的通项公式；（II）记，求数列的前项和公式解：（1） （5分）于是，即，所以数列成等比数列又，于是，所以数列的通项公式为 （10分）（II）由（I）知，故，于是， （15分）即 ，所以，数列的前项和公式. （20分）15、已知点，P、Q为椭圆上异于点B的任意两点，且，（I）若点B在线段PQ上的射影为M，求M的轨迹方程；（II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围解：（I）设、，PQ的方程为，与椭圆方程联立消去得：，所以， （5分）由得，即，从而可得化简得，解得（舍去）或设，因为，所以，代入PQ方程得，整理得，由题意知轨迹不经过点 所以，动点的轨迹方程为： （10分）（II）PQ方程为，所以，所以PQ中垂线方程为， （15分）其在x轴上的截距为，所以, （20分）16、若实数满足，则称为的不动点已知函数，其中为常数（I）若，求函数的单调递增区间；（II）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点求实数的值；（III）求证：不存在实数组，使得互异的两个极值点皆为不动点解：（I）若，故当时，显然在上单增；当时，由知或所以，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， （5分）（II）由条件知，于是，即，解得从而 （10分）（III）假设存在一组实数满足条件由条件知，因为的两个不同极值点，则，即 设的两个不同极值点为，其中，则是方程的两实根，所以又由是的不动点，则是方程的两根，设其另一个根为故即故有于是，从而 又，即，故，即 （15分）令，则故在上单增，从而至多有一个实根；又因为， ，从而至少有一个实根；所以，恰有一个实数根 由、知，即，这
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