（应用数学专业论文）模糊条件下投资组合的两个模型.pdf

模糊条件下投资组合的两个模型 金融数学专业 研究生葛瑜指导教师黄南京教授 在资本市场关于投资和融资决策的研究，自组合投资理论诞生以来受到 多方的关注，发展迅速，1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖获得者h a r r ym m a r k o w i t z 用科学的语言，严格表达了“不要把鸡蛋放在一只篮子里”这句古老谚语要 传达的思想，并且利用数学工具建立了证券组合投资理论的概念、理论和可 以在计算机上操作的方法，奠定了组合投资理论的基础 w i l l i a ms h a r p e 在 m a r k o w i t z 理论的基础上提出了资本资产定价模型( c a p m ) ，引入卢系数来度 量公司的系统风险，建立了证券期望收益率和它的p 系数之间的关系，为投 资学提供了理论基础使投资组合问题的研究上了一个新台阶，而c a p m 也 成为现代金融财务学中研究金融风险投资的一个重要分析方法而m i l l e r 和 m o d i g l i a n i 建立了一套有关财务决策的理论m m 理论，专门研究财务杠 杆作用、企业价值问题，指导企业融资 而实际中的市场由于具有很多不确定的因素，往往无法对资产的性质给 出确切的描述为此我们对资产的预期收益率给出在一定精度范围内的估计， 用模糊数来描述其预期收益率，使模型更具现实意义 本文将讨论两种具有模糊预期收益率的证券组合投资选择模型，首先利 用对称三角模糊数的约束满意度，假定在投资风险不大于某给定值的情况下， 如何确定投资比例，使收益最大；其次讨论企业在融资条件下，面对优良资产 和普通资产，该如何确定组合投资比例，使得在确定的收益率下，风险最小； 而当融资发生变化时，企业的投资比例又将如何变化 关键词：模糊数，投资组合，约束满意度，优良资产，模糊规划 i i t w om o d e l so fp o r t f o l i os e l e c t i o n u n d e r f u z z yc o n d i t i o n f i n a n c em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：g e y u a d v i s o r ：p r o f n a n - j i n gh u a n g t h es t u d yo fi n v e s t m e n ta n df i n a n c i n gd e c i s i o n m a k i n gi nc a p t i a lm a r k e t a t t r a c te v e r y o n e sa t t e n t i o na f t e rt h en a i s s a n c eo fp o r t f o l i oi n v e s t m e n tt h e o r y a n dt a k ear a p i dd e v e l o p m e n t u s i n gm a t h e m a t i c s ，h a r r ym m a r k o w i t z ，t h e e c o n o m i c sn o b e ll a u r e a t ei n1 9 9 0 ，e x p r e s s e ds t r i c t l yt h es a y i n g “d o n tp u t e g g si no n eb a s k e t ”w i t hs c i e n t i f i cw o r d s ，u p b u i l tt h ec o n c e p t i o na n dt h e o r y o f p o r t f o l i oo p t i o n a l ，a n df o u n do p e r a b l em e t h o d i nc o m p u t e r ，s o ，t h ef o u n d a t i o n o fp o r t f o l i os e l e c t i o nw a sf o u n d e d w i l l i a ms h a r p eb r o u g h tm a r k o w i t z st h e o r y f o r w a r da n da d v a n c e dc a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ( c a p m ) f u r t h e r l y , u s i n g c o o 讴c i e n t8t on l e a s u r es y s t e mr i s ko ft h ef i r m h ee s t a b l i s h e dc o n n e c t i o n b e t w e e nn e g o t i a b l es e c u r i t i e se x p e c t e dr e t u r nr a t e sa n di t s 卢c o e f f i c i e n t ，l a i d af o u n d a t i o no fi n v e s t m e n t ，u p g r a d e dt h es t u d yo fp o r t f o l i os e l e c t i o nt oan e w h i g h n e s s ，a 8ar e s u l t ，c a p mb e c o m eai m p o r t a n ta n a l y s i sm e t h o do f f i n a n c e r i s ki n v e s t m e n tm f i l e ra n dm o d i g l i a n is e tu pat h e o r ya b o u tf i n a n c i n gd e c i s i o n m a k i n g m m t h e o r y t or e s e a r c hf i n a n c el e v e r a g ea n dc o r p o r a t i o nm e r i ta n d t og u i d ec o r p o r a t i o nm a k e i n gd e c i s i o na b o u tf i n a n c i n g i nf a c tw ec a n td e s c r i b ea c c u r a t e l yt h ec h a r a c t e ro fe a p t i a lf i r m l yb e c a u s e o fm a n yd u b i o u sf a c t o r si nn e g o t i a b l es e c u r i t i e sm a r k e t s ow eg i v eae s t i m a t e f o rc a p t i a le x p e c t a t i o ny i e l da n du s ef u z z yn u m b e rt od e s c r i b ei t se x p e c t e d r e t u r nr a t e s ，w h i c hm a k et h em o d e lm o r es i g n i f i c a n t i nt h i sp a p e rw ef o c u so nt w of u z z y - l i n e a rp r o g r a mm o d e l so fp o r t f o l i o i u v e s t m e n ti nw h i c he x p e c t e dr e t u r nr a t e si sf u z z yn u m b e r s f i r s t l y u s i n gt h e a b s t r a c ti v s a t i s f a c t i o no fc o n s t r a i n t so fs y m m e t r yt r i a n g l ef u z z yn u m b e ra n da s s u m i n g t h er i s ki sn o t b i g g e rt h a nag i v e nn u m b e r w es d e c t e ai n v e s t m e n tp r o p o r t i o nt o m a k er e t u r nr a t em a x i m a l 。s e c o n d l y , w ed i s c u s s tw h e nr e t u r nr a t e si sag i v e n n u m b e r ，h o wt om a k ed e c i s i o no nr e s t r i c t i o nb o r r o w i n gr a t ew i t hs u p e r i o r a s s e t sf o rf i r m st om a k er i s km i n i m a l f u r t h e r m o r e w h e nb o r r o w i n gr a t e s v a r y , h o w t oc h a n g ei t si n v e s t m e n tp r o p o r t i o n k e yw o r d s ：f u z z yn u m b e r ，p o r t f o l i o ，s a t i s f a c t i o no fc o n s t r a i n t s s u p e r i o ra s s e t s ，f u z z yp r o g r a m m i n g 致谢 本文的完成得益于我的导师黄南京教授的悉心指导， 以及四川大学数学学院金融与经济数学教研室老师们的真 诚关心，在此向他们表示最衷心的感谢和深深的敬意三 年多来，是他们始终不渝的关怀、鼓励、教诲和帮助，使作 者得以顺利完成学业导师黄南京教授严谨的治学态度， 脚踏实地的工作作风给予作者深刻的启迪和影响，使作者 受益终身在此，作者向导师表示深深的敬意和感谢! 作者衷心感谢答辩委员会的专家们在百忙之中审议我 的论文，感谢你们的宝贵建议和意见! 在将来的学习和工 作中，我将铭记导师黄南京教授、各位专家以及数学学院 各位老师和领导的谆谆教诲，以加倍的努力来回报各位老 师和各位同学、朋友的关心和帮助 也感谢我的父母及家人，你们多年来对我的关心和物 质上支持，使我能够全心全意的投入学习，j 顷利完成学业 让人永远难忘的历程端正和肯定了我的人生准则，增 强了我挑战未来的信心和进取的勇气最后，我再次感谢 我敬爱的导师黄南京教授，感谢各位专家和老师 第一章序言 1 1 引言 金融决策的核心问题是如何在不确定的环境下对资源进行分配和利用 为了解决这样一类问题，金融学应运而生它是作为经济学的应用分支学科发 展起来的，在西方已经历了百余年的历史由于其自身充足的特征，金融学从 二十世纪5 0 年代起逐步从经济学中分离出来而成为一门独立的学科 金融学的最早出现可以追溯到1 8 9 6 年i r v i n gf i s h e r 最早确认并作出解 释的基本估值关系这种估值关系是金融理论的核心之一，它说明一项资产的 价值等于其产生的未来现金流的现值之和随着证券市场的发展，投资者们 开始寻找对风险证券进行定价和预涣未来价格的方法这样，在二十世纪一开 始法国数学家l o u i sb a c h e l i e r 便提出了著名的“投机理论”他发现股票 价格的变化服从布朗运动这一理论为后来金融学的发展，特别是现代期权 定价理论的建立奠定了基础1 9 3 4 年b e n j a m i ng r a h a m 和d a v i dd o d d 两 人合作出版了一本关于证券估值的的著作吼它成为了证券业的圣经 1 9 3 8 年f r e d e r i c km a c a u l a y 建立了对债券交易市场上的发行者和投机者都非常有 用的债券价格对利率的敏感性分析模型等n 他的关于久期( d u r a t i o n ) 和利 率免疫( i m m u n i z a t i o n ) 的工作导出了几乎被目前所有从事资产债务管理的 人都普遍采用的工具1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 和m o r g e n s t e r n 提出了至今仍 广泛使用的效用理论l ，开始了对投资者风险态度的描述 1 9 5 2 年，h a r r ym m a r k o w i t z 发表了一篇题为“投资组合选择”的论文 吼用科学的语言严格表达了“不要把鸡蛋放在一只篮子里”这句古老谚语要 传达的思想，阐述了如何利用投资组合创造更多的可供选择的投资品种，从而 第一章序言 2 在一定风险水乎下取穆最大可能的预期收益率该文引发了大量的对现代证 券组合的分析工作，开创了现代金融数学的先河。在理论界被称为二十世纪发 生在华尔街的第一次金融革命1 9 5 8 年，m o d i g l i a n i 和m i l l e r 在研究企业 资本结构和企业价值之间的关系时，发表了一项划时代的重要成果，即所谓 的m m 理论m 这一理论蕴涵着一个极为深刻的思想，那就是无套利均衡思 想，它在后来产生了巨大的影响，是金融学在研究方法上从传统经济学中逐步 独立出来，而且成为其后一系列金融研究成果的重要分析手段，也是当今金 融工程面向产品设计、开发和实施的基本分析技术因此这一方法被看作是现 代金融学的真正的方法论革命1 9 6 4 年m a r k o w i t z 的学生w i l l i a ms h a r p e 在m a r k o w i t z 理论的基础上提出了资本资产定价模型( c a p m ) 【6 j ) 引入p 系 数来度量公司的系统风险，建立了证券期望收益率和它的p 系数之间的关系 式这是第一个在不确定的条件下探讨资本资产定价理论的数学模型它为金 融市场收益结构的分析提供了理论依据而由于标准的资本资产定价模型有 一系列理想的假设条件，为实际应用带来了许多困难，因此人们围绕资本资产 定价模型的前提假设展开了大量的研究 而传统的经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要发展 起来的由于这些学科考察的对象都是无生命的机械运动，大多是界限分明 的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适宜用 精确方法描述和处理而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有 关生命现象、社会现象的学科，研究对象大多是没有明确界限的模糊事物， 具有“亦此亦彼”的模糊性，不能进行精确的测量1 9 6 5 年美国加利福尼亚 州大学控制论教授l a z a d e h 提出一种模糊子集的概念对一个元素是否 属于某个子集不是简单地肯定或否定，而是对属于程度用“隶属度”给予一 种刻画，把经典数学中的集合理论推广到模糊集合理论，奠定了模糊数学的 基础1 9 6 7 年，g o g u e n 又考虑了l 一模糊子集，把隶属度取值由 o ，1 1 推 广到一种称为“格”( l a t t i c e ) 的代数结构的集合，并且讨论了模糊关系， 1 9 6 8 年c h a n g 提出模糊拓扑空间，1 9 7 3 年g o g u e n 又讨论了l - 模糊拓扑 空间1 9 7 8 年，z a d e h 讨论了模糊事件的概率问题，提出了可能性理论， 阐述了随机性与可能性的区别这被认为是迷糊数学发展的第二个里程碑 之后，他引入了模糊语法，讨论了模糊系统问题；m a r i n o s 提出模糊逻辑分 第一章序言3 析，c h a n g 提出在模糊环境中进行判决的问题；e s s a n t o s 提出模糊序列函 数；d m d a v i o 和a t h a y s e 提出模糊函数表达式；ak a n d e l 讨论模糊开关 函数的性质； n e g o i t a 和s t e f a n e s c o 用模糊关系概念构造模糊系统的状态方 程直至今日，模糊数学已发展成一门完善的，有众多分支的学科，为人们研 究模糊性事物提供数学模型 我们所研究的证券组合问题显然是一种从社会现象中剥离出来的模型， 它存在和发展所依赖的环境是社会环境，具有不确定性、复杂性和模糊性；故 我们研究的证券市场都是满足以下假设的完全市场； ( a ) 投资者都是以预期收益率和风险损失率来评价证券及其组合； ( b ) 投资者都服从不满足假设和回避风险假设 ( c ) 证券都是无限可分的，投资者可以购买1 股甚至吉股； ( d ) 存在无风险利率，投资者可以利用统一利率存款或借款，且对每一个投资 者无风险利率是相同的、在投资期内不变； ( e ) 在证券交易中不必支付交易费； ( f ) 投资者投资期限相同，他f f 丁的证券持有期都一样； ( g ) 所有与证券价格有关的信息都是公开的，所有投资者能够免费共享； ( h ) 同一证券的期望收益率和标准差，以及两种证券间的方差，对所有投资者 都是相同的，所有投资者对证券的统计特征如期望、标准差、协方差都有 相同的看法，不会因人而异 而对模型进行判断、描述的人，其思维也具有模糊性所有这一切都决定 了我们不能对模型进行非此即彼的精确测量如果坚持用确定常数来描述证 券的某些性质不仅难度很大，也很可能导致模型建立的错误或者所得的结果 无价值这样，本文作者从贴近实际的角度出发，考虑用模糊数来描述证券的 预期收益率和风险损失率，对证券的这些性质给出一个在一定精度范围内的 第一章序言4 估计，使模型在满足完全市场假设的条件下，能在一定程度上更贴近人的自然 思维和社会的自然现象，在一定程度上也放松了模型严格的假设条件 基于以上，本文讨论具有模糊预期收益率和风险损失率的投资组合选择 模型作者用对称三角模糊数来描述证券或资产的预期收益率和风险损失率 在第二章中，假定在完全市场假设的条件下投资风险不大予某个给定的值， 建立模糊线性规划模型，求解模型以确定投资比例，使得收益最大；利用对称 三角模糊数的约束满意度，将模型转化为普通的线性规划模型；并利用求解线 性规划模型基本的单纯形法，对给出的具体例子做出分析和解答，证明了模 型的正确性和现实意义在第三章中，讨论的情况是企业需要融资，而投资市 场中又有优良资产和普通资产可供选择；假设企业的预期收益率确定的情况 下，建立规划模型，确定投资比例，使得风险最小；将模型转化为普通的线性 规划问题后，利用l a g r a n g e 乘数法，引入l a g r a n g e 函数来求解模型；而后 给出具体的算例，讨论当企业的融资发生变化以及资产的性质发生变化时。 企业的投资比例又将如何变化 1 2 1 投资组合选择模型 1 2 预备知识 任何一项带有风险的投资，不论是证券投资还是添置设备或者改建厂房， 以及开发新产品的投资等等，收益与风险总是一对孪生子如果你想获取较高 的收益，那么就得承担较大的风险；如果你对风险采取谨慎的态度，宁肯冒较 小的风险，那么获取的收益也将较低如何度量收益与风险呢? 我们首先引进 收益率的概念 定义1 1 收益率r 为 一m w o r = 一 眠 其中w o 时期初资产。m 是期末资产 第一章序言5 如果在期初投资的金额为w j ，而在期末由于这笔投资获得，那么”，1 一 u ，o 就是从期初到期末这一段时间内投资的盈与亏，正值为盈，负值为亏，再 除以期初投资额w o ，则表示每投资一元的盈亏即这项资产的收益率 对于股票，如果考虑的是某家公司的每天的收益率，我们就把定义中的 w ，o 作为该公司股票昨天的收盘价，m 作为今天的收盘价其含义是：如果 你以昨天的收盘价买进一股，一天后再以今天的收盘价卖出，那么，l 一- 就是在一天内这笔交易的盈亏，而f = 肾就是股票在这一天内的收益 塞 收益率f 是一个随机变量i 记它的数学期望为r 或e ( r ) ，方差为0 2 ( r ) 标准差为盯( r ) 期望r 和标准差o ( r ) 是投资者最关注的两个量 定义1 2r 是收益的一种度量，它表示就平均而言投资者可以获得的收 益率，r 越大，投资者期望得到的收益也越高，故称r 为预期收益率口( r ) 是风险的度量，它表示投资者时问获得的收益率偏离r 的程度。盯( r ) 越大， 投资者实际可能获得的收益率偏离r 越大，从而风险越太，故称仃( r ) 为风险 损失率 设有礼种证券s l ，岛，s n ，它们的预期收益率分别是r 1 ，r 2 ，r n 假 如投资者有一笔资金，按照茁l ，勋，z 。的比例投资于s 1 ，s 2 j 一，品，就构 成了一个证券组合p = ( z l ，3 7 2 ，。) 对组合弘容易知道它的预期收益率 是 = x l r l + x 2 7 2 + + z n r n 第一章序言 6 设证券& ，s 2 ，品的风险分别是a - ，盯z ，o 。，由于每一种风险都是 风险证券，所以每一个以都大于0 ，又设证券& 和马的收益率之间的协方 差为a i d ，我们便得到一个方差 协方差矩阵 其中= 砰是方差，并且= q 。 !；! 组合p = ( z 1 ，x 2 ，x 。) 的方差盯：和风险c r p 是 = x i x d t = 1 ，= l 唧= ( q ) ； i = l = 1 m a r k o w i t z 提出，理性的投资者总是寻求这样的投资组合p = ( x l ，x 2 它在给定期望收益率水平凰的条件下使风险达到最小，即求解 z 母j o i j = 2 ：1 r 1 + 3 c 2 r 2 + x 。= 1 0 ( i = 0 ，1 ，2 ， 或者在给定风险水平的条件下使期望收益率达到最大，即求解 ( 1 2 ) ( 1 3 ) z 。) ( 14 ) 3 3 3 e 2 n 盯 盯 盯 他 珐 以 盯 口 盯 l l l；n 盯 盯 盯 ，。一 。弹蚤 。，1 n 豇 第一章序言 7 m a x x p = x l t l + 3 ：2 t 2 + + z n r n 上述两种模型实际上是等价的 ( 1 5 ) 由于x l + x 2 + + z 。= 1 ，故由( 1 1 ) 和( 1 3 ) 组成的方程组是含有n 1 个参数的方程对所有可能的。，x 2 ，x n - 1 ，可得到( 唧，勺) 平面上的一个 点集，称这个点集是证券s l ，s 2 ，& 的可行集既是图( 1 1 ) 中的曲线易易 图1 1 p 在可行集中存在一个特殊的子集，对可行集中任何一点a ，在该子集中必 存在一点a ，使得47 优于a ，称这个特殊的子集是证券s l ，s 2 ，& 的有效 前沿或者说证券s 1 ，岛，& 的最优组合在有效前沿上既是图( 1 1 ) 中的 曲线s 局 现在我们来研究n 风险证券与无风险证券的组合 设无风险利率是r ，它在( 唧，唯) 平面上对应的点是f ( 图( 1 1 ) ) ，经过f 点作一条与有效前沿相切的切线，切点为m 由于m 在有效前沿上，所以m 点必定对应一个组合p = ( z 2 ，z 2 ，z ：) ( 此处? 可正可负，z 2 + z 2 + + z ：= 1 ) 这一组合的期望收益率是盯，风险是a m 我们称m 点是切点组合 n b 2 l l 一 吼 = q 0争驴邳 。m。枷反 ，i，、【 第一章序言 8 引理1 11 8 1 无风险证券r 或存款j f 和风险证券s l ，s 2 ，- ，品的有效 前沿是切线段f m 以上的讨论给出了证券组合的原理，但是实际应用中关键的问题是计算 出切点组合m 我们考虑n 种风险证券s - ，岛和无风险证券f 的组 合p = ( 玑z l ，x 2 ，一，z 。) ，其中可1 ，x i 曼1 , y + z 1 + z 2 + + z 。= 1 这一 组合的预期收益率及风险损失率为 r p = y r f + z l r l + x 2 r 2 + + x n r n nn 盯；= 耶一， 1 = 1j = l 现在我们考虑这样一个问题：对给定的期望收益率，求y ，3 ；1 ，x 2 ，x 。 使方差以最小，亦即求一个规划问题： 。羔z x r l + x 2 r 2 1 - 一+ z n 7 n + 1 2 l z 2 一一。n ”，3 ：。， 曦1 2 ，川 引理1 2l a g r a n g e 乘数法：求函数 y = ，( z ) ，z = ( x l ，x 2 ，- - ，z 。) 在m ( 礼) 个约束条件 g k ( x ) = 0 ，k = 1 ，2 ，一，m 第一章序言 9 下的极值，可引进l a g r a n g e 函数 m f = y + k 9 k 式中h 为待定常数把f 当作礼+ m 个变量z l ，z 2 ，z 。和a l ，a 2 ，a m 的无约束函数，对这些变量求一阶偏导数，得到稳定点所满足的方程组 i 蕊o f o ，江，一 ， 【鲰= o ，k1 ，2 ，一 故问题( 1 6 ) 的求解可根据引理1 2 引入l a g r a n g e 函数求解 1 2 2 模糊数及基本概念 现在介绍模糊数的概念 定义1 3 所谓集合x 的一个模糊子集 ，就是x 中每个元素。对这个 模糊子集a 有一个刻画其隶属程度的数p ( 0 ，i 定义1 4 对一个模糊子集中的模糊数五，其隶属函数为 il ( z ) ，z 礼 ( 1 8 ) 第一章序言 1 0 其中，l ( x ) 是上半连续的，并在x n 使得 当x n l 时有r ( z ) = 0 ，我们把l ( z ) 和r ( z ) 分别叫做左参考函数和右 参考函数 梯形模糊数是一个四元组( r 1 ，r 2 ，r 3 ，r 4 ) ，且满足r l r 2 r 3 r 4 ，其隶 属函数为 f 。z - r n ，l r l z n ，、i 1 ，r 2 zsr 3 纵叫2 1 嚣，聪。 o ) 对称 三角模糊数的隶属函数可写为 弘 ) a m sx a a z 0 ) = 一扎，b ，b + n ) o ) 为对称三角模糊数，其隶属函数分别为 p f ( z ) i t a 。( z ) = p 5 ( 。) = 籀，r s z r # ， 【0 ， 其它， i 盐= 鲁# 生，o ；一m i z n ： 鼍，。i 茁n t + m t 【0 ， 其它， 【：警卫，b 一礼sz b ， 三= 兰 ，bs z b + n ， 1 0 ，其它， 为解模糊线性规划模型( 2 1 ) ，我们将它转化为一普通线性规划模型来求 解。对两个三启模糊数五，5 ，设5 = ( 。一m ，o ，n + m ) ，5 一( b 一心b ，b + n ) ，则有 a ( 0 ) _ 6 ( 口) = 【n ：，o a = 。一( 1 一a ) m ，o + ( 1 一q ) m = 6 ：，6 a = b 一( 1 一) n ，b + ( 1 一o ) 叫 首先，我们证明两个模糊数的约束满意度有如下性质 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 定理2 1 对两个区间模糊数a = 【。，a r 】，5 = b ，b r ，p 0 ，1 】，p ( as 5 ) p 成立当且仅当 ( 1 一p ) 。+ p a 兄p b + ( 1 一p ) b 8( 2 4 ) 证明( 1 ) 若p = l ，由p ( 5 5 ) 之1 ，有o r b l , ( 2 4 ) 式成立 ( 2 ) 若p = 0 ，由p ( a 5 ) 20 ，有铲sb r ，( 2 4 ) 式成立 ( 3 ) 若0 p o ) 5 = ( 6 一九，b ，b + n ) ( n 0 ) 时，由模糊约束满意度的定义知，可转化为 st耋p(三51tx。_l+：25：2x2。，+。，_|i。5)兰pc。， 根据定理2 1 到定理2 4 的证明，( 2 6 ) 与下式等价 f ( 1 一l o ) ( a x l + o 扣2 + - + o ：z 。) l + f 。( o f z l + 参勋+ 十。署z 。) “ ，s 皓+ ( 1 一l o ) b 凡， ( 2 7 ) _n l 缸= 1 ， i 札0 ( i = o ，1 ，2 ，n ) or 。瑚 f | r科m z d r r 0p0 一十 母 。：l = 一d n馘m 第二章证券组合投资选择模型的约束满意度解 1 7 这样模糊线性规划问题( 2 1 ) 就转化成了一个普通的线性规划问题( 2 7 ) ( 2 ，7 ) 的解即是问题( 2 1 ) 的解 消费者对风险的厌恶程度体现在水平b 的取值，b 若大，既是消费者可 接受的风险范围大，反之亦然若投资组合的风险与之相比较大，既是相应的 收益率也大，反之亦然值得指出的是问题( 2 7 ) 与。无关 2 2 实例 为验证模型的准确性和解法的可操作性，以下我们举一实例来验证 ( i ) 假设有4 种风险证券，其预期收益率分别为 t 1 = ( o 1 0 ，o 2 0 ) ，r 2 = ( 0 2 0 ，o 3 0 ) ，r 3 一( o 3 2 ，o 4 0 ) ，r 4 = ( o 4 0 ，o6 0 ) 一种无风险证券的收益率为r o = 0 0 5 ，4 种风险证券的风险分别为 a l = ( 0 0 4 ，o 0 5 ，o 0 6 ) ，a 2 = ( o 0 8 ，o 1 0 ，o 1 2 ) ( 3 = ( 0 1 0 ，o 1 4 ，o 1 8 ) ，a 4 = ( o ，1 8 ，0 , 2 0 ，0 2 2 ) 它们的a 一截集分别为 a l ( o ) = 1 0 0 5 一( 1 一a ) o 0 1 ，o 0 5 + ( 1 一a ) o 0 1 0 2 ( a ) = o 1 0 一( 1 一口) o 0 2 ，o 1 0 + ( 1 一q ) o 0 2 】 蜘( o ) = 【o 1 4 一( 1 一) o 0 4 ，o 1 4 + ( 1 一o ) o 0 4 a 4 ( o r ) = 【o 2 0 一( 1 一o ) o 0 2 ，0 2 0 + ( 1 一q ) o 0 2 j 首先，我们假设消费者对组合的风险要求为小于等于 b = ( o 。1 2 ，o 1 4 ，o 。1 6 ) ，6 ( o ) = 【o 1 4 一( 1 一o ) o 0 2 ，o 1 4 + ( 1 一o ) o 0 2 ) 相应的证券组合模型为 第二章证券组合投资选择模型的约束满意度解 1 8 s t 8 l z l + a 2 x 2 + a 3 x 3 + 8 4 2 4 b 4 筑= 1 t = 0 z ，0 ( i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 由定理2 5 知道计算结果与。无关。故可取口= 0 来计算，因为 f 0 ：竺登业兰生旦粤l 竺掣型二! 型：0 如。可i 再丁一2 根据( 2 7 ) ，可将( 2 8 ) 化简为 ( 2 8 ) l0 0 4 x l + o 0 8 x 2 + 0l o x 3 + o 1 8 x 4s o 1 6 s t i 啦x o + x 吣1 + ，x 狐2 + 三冀，吣。 9 用单纯形法对模型( 2 9 ) 求解得 表2 1 - 0 3 8 0 1f 一0 1 7 0 10 1 6 0 10 1 0 0 0000 9 9 9 6 0 7 5i 一1 2 5 0 2 0 7 5 0 2 0 2 5 0 2011 2 5 0 1 4 0 2 5j2 2 5 0 21 7 5 0 21 2 5 0 2i0 1 2 5 0 1 4 模型的解为豆= 0 3 8 ，x = ( 0 ，0 ，0 ，o 2 5 ，o 7 5 ) r 茹 。枷 = r觚n 第二章证券组合投资选择模型的约束满意度解 1 9 ( i i ) 其次，假设b = ( o 4 2 ，o 5 2 ，o 6 2 ) 】b ( n ) = 【0 5 2 一( 1 一n ) o 1 0 ，o 5 2 + ( 1 。) o 1 0 】时，相应的证券组合模型为 1 0 0 5 1 6 x l + 0 1 0 3 2 x 2 + 0 1 4 6 3 x 3 + 0 2 0 3 2 x 4 0 5 0 4 2 s 土 o + z 1 + z 2 + 。3 + z 4 = 1( 2 t o ) i2 ；0 0 ，x l 0 ，x 2 0 ，x 3 0 ，x 4 0 表2 3 表2 4 模型的解为袁= 0 4 8 4 2 ，x = ( 0 ，0 ，o ，0 ，1 ) r 由表2 1 可知，当消费者对风险的要求放宽时，即b 增大时，相应的收益 最大的证券的投入比例增大，即x 4 增大；反之亦然当消费者所能承受风险 的最大值与收益最大的证券的风险的最小值相等时，消费者会将全部资金投 入到此证券中，以谋求最大收益 第三章融资条件下具有优良资产的模糊 投资组合问题 3 1 模型的建立 我们讨论的证券投资市场仍然满足完全市场的假设及假设( a ) 、( b ) 假设企业的投资组合包含n + 1 种资产，其中礼种为普通资产，一种为优 良资产所谓的优良资产，是指有较高期望收益率，或较低标准差，或资产间相 关性较低的资产( 1 4 1 设几种普通资产的期望收益率为r ，优良资产的期望收 益率为危，其中r 懿投资在普通资产上的资金比例为p ，投资在优良资 产上的资金比例为q , p4 - q = 1 ，此时总投资的期望收益率为蜀= p 取+ q r 。 当企业引进财务杠杆机制时，设其负债率为z 0 ，1 ) r ，为无风险投资 收益率( 即债务资本) ，那么此时的权益报酬率的期望收益为 1 r = 亡乇( b x r s ) 用三角模糊数来描述普通资产和优良资产的期望收益率，赢= ( t n 一 乜l ，t n4 - ) ，袁s = ( 如一b l ，k + 6 2 ) ，其中a l ，a 2 ，b l ，b 2 o ，n t 7 ，其隶 属函数分别为 第三章融资条件下具有优良资产的模糊投资组合问题 2 1 故 “矗。( z ) = p 觅( z ) = 所以它们的o i 一截集为 旁鬣f n - - a 固l - x 巾 ：? n 。 孝鬣r s - b 幻l ( x 川 0 ) ， ? ( ) = 陋一( 1 一o ) d - ，t + ( 1 + ) 吲，选择投资组合使其风险最小的投资组合 问题，建立模糊规划模型 即 m i n ；五1 - a ) 2 防( a l + a 2 ) + g ( 6 z ) 2 ( 3 7 ) g ( 6 2 _ 6 1 ) = 。+ 字4 。字d l ( 38 ) 现在我们将茁和a 看作参量，引入l a g r a n g e 函数来求解此问题 l ( p ，q ，a l ，, k 2 ) = 盯( 口) 2 一a l ( e ( 。) 一t ( a ) ) 一a 2 ( p + q 一1 ) = j ( 等) 2 【p ( n + 2 ) + q ( b a + 6 2 ) 】2 一a 1 r b 忉+ q r s z 巧j + 者云囟( 如一。1 ) + g ( 6 。一6 1 ) 一t 一半d 2 + 气2 d 1 一a 2 ( p + q 一1 ) 陋 t 1 1 = = ，怕9 沁g p o 矿r【 n 耻 。 一 。妒 鏊置 击 叶噬 第三章融资条件下具有优良资产的模糊投资组合问题 筹= ( 警) 锨。怕) + g ( 6 。+ 6 z ) ( 。佃) 一禹h + 字( a 2 - - a 1 ) 沁 筹= ( 而1 - a 加( a l + a 2 ) + 鼬t + 6 2 ) 】( 6 z + 如) 一参【r 5 + 字( b ：呐) 卜a 。 羔= ( 击) 【p r n + q r 。- x r ， + 息 2 一。) + q ( 6 2 6 。) 】一t 一三去! ( f 2 + 三；兰d 。 + 互n 习( n 2 一1 ) + q ( 6 2 6 1 ) 】一一t ( f 2 + 丁d l 瓦o l ：p + g 一1 其中 令嚣= o ，面o l = 0 ，而o l = 0 0 l 2 = 0 ，解得 p = ! 堕毒型 一a + x r i 一字( 0 2 一0 1 ) 一 q 2 苫二_ a = ( 1 叫”掣妒字d 。 b 乱_ r n 一字【( a 2 - - a 1 ) 邓。呐) 而a t 、 z 为满足下式的两个参数 ( 墨) 2 1 1 击监p 。一x r ! + 与垒( 幻一b 1 ) 一a 】 + 。护f a