习题第三章.pdf

3 2 1 偶极矩为 p 的偶极子处在外电场 E 中 1 若 E 是均匀的 当 p 与 E 的夹角 0 30 0 5 251504 3 10 r C Cml 1W为何值时偶极子达到平衡 此平 衡是稳定平衡还是不稳定平衡 2 若 E 是不均匀的 偶极子能否达到平衡 答案 1 因为电偶极子在均匀外电场中0F 合 sinMpE 所以当0 时 0M 平衡 0 时是稳定平衡 时是非稳定平 衡 2 如果E 不均匀 不能达到平衡 3 2 2 两个偶极子相距为 r 偶极矩 P1和 P2 的方向与它们的连线平行 试证 1 它们之间的相互作用力 大小 为 12 2 0 3 2 p p F r 2 相互作用力的方向满足 P1和 P2 同向时相互吸引 反向时互相排斥 注 注 偶极子 一词已暗示组成偶极子的两个点电荷之间的距离远小于偶极子到 场点的距离 解 1 p对 A 处 1 3 2 0 2 4 2 p E l r 2 p对 B 处 1 3 2 0 2 4 2 p E l r 所以受到的力 21 Fq Eq E 2121 33 22 00 22 4 4 22 q pq p ll rr 21 3 33 22 0 211 4 1 1 22 q p ll r rr 将上式方括号内按马克劳林级数展开取前两项 22 0 f lffo l 2 2 2 3344 2222 0 11 11 22 0 3 1 1 3 1 3 1 2222 l l rr l llll r rrrr 21 221 34 00 23 3 42 q plp p F rrr 负号表示 2 p受力方向与x轴正方向相反 指向 1 p 1 p 与 2 p 同向时 相互吸引 反方向时 相互排斥 3 2 3 电荷分别为 q 和 q 相距为l两个点电荷组成的偶极子位于均匀外电场 E 中 已知 6 1 0 10qC 2 0lcm 5 1 0 10 EN C 1 求外电场作用于偶极子上的最大力矩 2 把偶极距从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向 求在此过程中外电场 5 力所做的功 解 1 Tp E sinTP E 当 2 时 取最大 653 1 0 102 0 102 10TP ENM 2 2 2 3 0 0 sincos2 10ATdPEdPENM 3 2 4 偶极距为 P 的偶极子处在外电场 E 中 1 求偶极子的电势能 即偶极子 作为系统 1 与激发外场的电荷 作为系统 2 之间的互能 约定偶极子在无限远时的电势能为零 2 P 与 E 的夹角为何值时偶极子的电势能最小 其值是多少 3 P 与 E 的夹角为何值时偶极子的电势能最大 其值是多少 解 1 p WqU p WqU WWW coscos ppp ppp WqE dlqE dlqEdlqlE Wp E 2 当0 时 min WpE 3 当 时 max WpE 3 4 1 半径为 R 厚度为 h h R 的均匀电介质圆板被均匀极化 极化强度 P 平 行于板面 如图所示 求极化电荷在圆板中心产生的电场强度 E 解法一 可视为不均匀带电的圆环 在环上取一极化电荷元dq coscosdqdspddlpdRd dq在 O 点产生的电场 2 0 4 dq dE R 其分量为 cos x dEdE sin y dEdE 取对称的一极化电荷元 dq 产生的dE 在y方向的投影 根据对称性分析得 0 yy EdE 2 2 0 00 1 cos 44 xx pd EdEpdRd RR 0 0 4 d Ep R 解法二 cosp 为面元与p 的夹角 22 0 4 ds dE RZ 方向如右图 因对称分布 只有 y E 则0 xx EdE 0 zz EdE 3 2 22 22 22 0 cos cos 4 yy RpR d dz EdEdE RZRZ 2 3 2 2 22 2 3 22 0 000 cos 444 d d pRdzpRdpd d RR RZ 3 4 2 附图中 A 为一金属 其外部充满电介质 已知交界面大会某点的极化电荷 面密度为 该点附近电介质的相对介电常数量为 r 求该点的自由电荷面密 度 0 解法一 金属外紧靠表面一点的场强 由 0 En 金得 00 00 Enn 金 又在介质内 0 PxE P n 可得到 00 P En xx 即 0 00 nn x 0 1 1 x 解法二 用 与D 的知识 PPnp 介金 介 0 00 0rrr DD pxExxx 0 1 r x xx 当1 r x 时 0 11 11 rr rr 3 4 3 附图中沿 x 轴放置的电介质圆柱底面积为 S 周围是真空 已知电介质内 各点极化强度PKxi 其中 K 为常量 i 为沿 x 轴正向的单位矢量 求 1 圆柱两底面上的极化电荷面密度 a 及 b 2 圆柱内的极化电荷体密度 解 Pkxi k为常数 1 bb Pkb aa Pka 2 1 ab P sPs P dsk s ba 3 4 4 平行板电容器面积为 S 板间距离为 d 中间充满均匀电介质 以知当 一板内壁的自由电荷为 Q 时 整块电介质的总偶极矩为 P总 忽略边缘效应 求 电介质中的电场强度 解 因为 0 DEP 0 DEP 00 i i p E V 0 00 11 PP EQ sdsd 或 0 EE E 0 EE E 得到 0000 11 QPQPP EQ ssssdssd 3 4 5 空气平板电容器面积 2 0 2mS 板间距离为 d 1 0m 充电后断开电源 其电势差 3 0 3 10UV 在两板间充满均匀电介质后电压降至 3 10V 求 1 原电容 C0 2 任一金属板内壁的自由电荷 绝对值 q0 3 放入电介 质后的电容 C 4 两板间的原电场强度 E0 5 放入电介质后的电场强度 E 6 电介质与金属板交界面上的极化电荷的绝对值 q 7 电介质的相对介电 常量 r 解 1 10 0 0 1 77 10 s CF d 2 7 000 5 31 10 QC u 库 充电后断开电源 板上电量不变 所以充满介 质后板上 0 QQ 3 7 10 3 5 31 10 5 31 10 1 0 10 Q C U 法 4 5 0 0 3 10 U V E m d 5 5 10 U V E m d 6 00 0 1 EEEQQ s 故 7 0 000 0 3 5 10 Q QsEQsE s 7 10 10 0 5 31 10 3 1 77 10 r C C 3 5 1 相距为5 0mm的两平行导体板带有等量异种电荷 面密度绝对值为 20uC m2 其间有两片电介质 一片厚为2 0mm 1r 3 0 另一片厚为3 0mm 2r 4 0 略去边缘效应 求各电介质内的E D和电介质表面的 解 因为 5 2 0 2 10 C D m 1 5 1 0 7 5 10 r D V E m 2 5 2 0 5 7 10 r D V E m 1 5 2 11 1101101 1 1 3 10 r C p npx EE m 6 2 221022011 1 6 10 C ppx Ex E m 2 5 2 323202202 1 1 5 10 r C p npx EE m 3 5 2 厚度为d 相对介电常量为 r 的无限大均匀电介质平板内以体密度 0 均 匀分布着自由电荷 求电介质板内 外的E D和P 解 在电介质的内部 距离板中心线为x的点 其对称点的大小相同 方向相 反 由高斯定理E dSq i 可得 0 2D sD sxs 0 Dx 0 00rr xD E 0 pxE 在电介质的外部 0 2D ssd 得 0 2 d D 0 00 2 rr dD E 0p 3 5 3 平板电容器两极极板相距d 面积为S 其中放有一层厚为t 相对介电常 量为 r 的均匀电介质 电介质两边都是空气 见附图 说两极板板间电势差 绝 对值 为U 略去边缘效应 求 1 电介质中的电场强度E 电位移D和极化强度P 2 极板上自由电荷的绝对值q0 3 极板和电介质间隙中 空气中 的场强E空 空 4 电容C 解 1 0 UE dtEt 0r EE r UE dtEt 0 0 r r r U DE dtt 0 0 1 1 r r r U PE dtt 2 0 0 r r Us QsDs dtt 3 0 0 00 r r UQ E sdtt 4 0 r r sQ C udtt 或视为三个电容器的串联 3 5 4 对上题的平板电容器在未放电介质时用支流电源充电 当电压 绝对值 为U0时切断电源 然后将电介质板插入 其厚度为t 相对介电常量为 r 在 此情况下求 1 极板上自由电荷的绝对值q0 2 电介质中的E和D 3 两极板间的电 势差 绝对值 U 解 由 0 0000 s QC UU d 得 1 插入介质t 因电源断开 板上电量不变 0 00 s QQU d 2 在介质中 00 UQ D sd 0 0rr UD E d 3 00 0 0 r QU UE dtEtdtt sd 000 0 r sUU dtt sdd 00 r UU dtt dd 0 rr r U dtt d 3 5 5 平板电容器两极板相距为d 用两种均匀电介质按附图方式充满两极板 之间的空间 两电介质的介电常量分别为 1r 和 2r 两者所占面积各为S1和S2 略去边缘效应 试证其电容为 1122 SS C d 解 由 1 12 2 ssQ 1 12 Udd 得 12 00rr dd 2 Q C U 3 联立 1 2 3 得 12 012 rr ss C d 或两个电容器并联 1212 0102012 12 rrrr ssss CCC ddd 3 5 6 如图所示 边长为10cm的三块正方形金属板A B C之间用0 5mm厚 相对介电常量 r 5 0的均匀电介质薄片隔开 外噌的两板相互联接后接到N点 中间的板接到M点 1 当M点对N点维持一正电压时 试以 符合标出各板上自由电 荷的分布 2 求M N间的电容 解 由 12 CCC 0 1 rs C d 0 2 rs C d 得 24 9 00 3 51010 221 77 10 0 5 10 rs CF d 3 5 7 一金属球带有电荷q0 球外有一内半径为b的同心接地金属球壳 球与 壳间充满电介质 其相对电介质常量与到球心的距离r的关系为 r Kr r 式 中K的常量 试证在电介质中离球心为r处的电势 0 ln 4 Qb rk V kr bk 解 设介质中P点距球心距离的为r 则由高斯定理 s D dsq 可得 2 4DrQ 2 4 Q D r 2 00 44 r QQ E rrkr 外球接地电位为0 0 4 bb p rr Q UE drdr r kr 00 12 ln 4 422 b b p r r QdrQr U r krkrk 0 11 lnln 4 Qrb krkkbk 0 lnln lnln 4 Q rrkbbk k 0 ln 4 Qb rk kr bk 3 5 8 有一平行板电容器 板间距离为2 0cm 其中有一块1 0cm厚的玻璃 r 7 0 介电强度为25 10 6V m 其余为空气 介电强度为 3 10 6V m 今 在两极板间加上40kV电压 电容器是否会被击穿 将玻璃取出 使极板间全部 是空气 电容器在上述电压下是否会被击穿 解 因为板间全的空气 则有 3 3 40 10 20 10 2 U kV EE cm d 击穿 3 5 9 长直导线和它同轴的金属圆筒构成圆柱电容器 期间充满相对介电常量为 r 的均匀电介质 如图 设导线半径为R1 圆筒内径为R2 沿导线单位长度上 的自由电荷 0 略去边缘效应 求 1 电介质中的电场强度E 电位移D和极化强度P 2 两极的电势差U 3 电介质表面的极化电荷面密度 解 1 电场具有轴对称分布 D dsq 0 sss D dsD dsD dsl 上下侧 0 002Drll 0 2 D r 0 0 2 r E r 22 11 002 12 001 ln 22 RR RR rr R UEdrdr rR 11 02 00 01 1 1 ln 2 rr r R E R 3 1 0 10 01 1 2 r rR 1 0 20 02 1 2 r rR 加 4 0 0 02 2 12 01 1 2 ln ln 2 r r LQ L C R R U R R 3 5 10 两共轴导体圆筒 内筒外半径为R1 外筒内半径为R2 R2 2R1 其间有 两噌均匀电介质 分界面半径为a 内层介电常量为 1 外层介电常量为 21 2 两电介质的介电强度都是Em 当电压升高时 哪层电介质先击穿 试证两筒之间所允许的最大电势差为 2 2 1 1 2 mm R UE ain aR 解 因为两筒间的场强为 0 2 r E r 22 11 12 00 22 RrR RRr rr UEdrdrdr rr 12 2 010 lnln 22 rr Rr Rr 1 2 2 r r 1 2 2 12 01 ln 2 r R U R r 内层场强最大值 1 1 2 201 1 2 2 ln M M r u E RR R R r 外层场强最大值 2 2 2 10 1 2 2 ln M M r u E Rr r Rr 21 1 2 M M ER Er 21 2RR 即 21MM EE 因两层介质击穿强度都是 M E 故电压上升时 外层先达到 2MM EE 击穿 而 2 2 1 2 1 ln 2 R MMR r UEr 3 6 1附图表示由两层均匀电介质充满的圆柱形电容器的截面 两电介质的介电 常量分别为 12 1 求此电容器单位长度的电容 2 D及E在电介质的交界面处是否连续 解 1 在介质介面处D 连续而E 不连续 2 由D dsq 可得 2 D R 0 2 r E r 23 12 12 32 12 000102 lnln 2222 RR RR rrrr RR Udrdr rrRR 12 21 0 32 12 2 lnln rr rr C RR U RR 3 6 2 分界面左右两侧电介质的相对介电常量分别为 1r 3和 2r 6 设分界面左 侧场强大小为E1 与法线成450角且指向右侧 求分界面右侧的场强E2 解 11 2 2 n EE 因为 12 21 n n E E 1 2 1 211 2 2 2 r nn r EEE 1 2 2222 22211 22 769 22 r nt r V EEEEE m 2 1 1 2 1 2 2 1 2 7 2 32 2 r r nr r E E t tg E E 00 66 8066 48 3 6 3 相对介电常量为 r 的均匀电介质与真空的交界面为一平面 见附图 已 知真空中均匀场强E1与界面法线夹角为 计算 1 以界面上一点为球心 R 为半径的球面上场强E的通量 2 D沿附图中的窄矩形的环流 解 因为 23 EEE 23 2 00cosDD ER 2 2 2 0 cos D E ER 3 3 2 0 0 cos D E rr E R 222 0 00 1 coscoscos r E rr E ERRER 0 1112 CC Lllll D dlD dlD dlD dl