例谈分段函数问题中的几种特殊图象.pdf

4 6 数 学通讯 2 O 1 O年第 9期 上半月 专论茎萃 例谈分段函数问题中的几种特殊图象 黄加卫 浙江省湖州新世纪外 国语学校莲花庄校区 3 1 3 0 0 0 分段函数是一类特殊表达形式的函数 指的 是 自变量在不 同的取值范 围内 其对应法则不相 同的函数 它不仅在初等数学乃至高等数学中具 有重要的理论价值 而且具有较广泛的应用价值 笔者经过研究发现 把握住分段 函数的图象特征 对于解决此类问题而言具有至关重要的作 用 下 文将就 分段 函数 问题 中的几种特殊 图象展开 例析 1 U 字型 图象 例 1 2 0 0 2 年 全 国高考 题 设 a 是实数 函数 z 一X I a l 1 z R 求 的最小 值 分 析 易知 J I a 一1 D L i n 丢 n 时 一 n 3 z n时 J 一 1 0 a l 图 1 图 2 若 口 1 最 小值 为 专 3 n 如 图 3 综上 函数 z 的最 l 一 I 一 0 1 1 n i 图 3 f 导 一 n c n 评 注 分 段 函数 中 的 U 字型 图象指 的是其 图象 的形状 类 似 一个 或 若 干 个 字母 U 的形 状 这种 分段 函数 的构 成知识 要 素 往往 与抛 物线 等 圆 锥 曲线知 识有 关 常 伴 以绝 对值 或 函 数最 值 等 知 识 为考 查 对象 2 V 字型 图象 例 2 2 0 0 6年 浙 江 理 科 卷 对 口 b R 记 mX 一 函数 一m X 1 l 一 2 1 R 的最 J 值是一 分析 由l X 1 l l 一2 I 1 x 2 z 丢 故 厂 f I x 1 l 丢 一 2 l z 0 在 区问 一8 8 上有 四个不 同的根 X z z z 则 X l X2 z 3 X 4一 分析 因为定义在R上的奇函数 z 满足f x 一 4 一一厂 则 厂 z 一4 一 一z 故函数图象关 于直线 z一 2 对称且 厂 0 一 0 由 z一4 一一厂 z 可知 厂 z 一8 一 厂 z 所以函数是以 8 为周期的周期 专论荟萃 数学通讯 2 O 1 0年第 9期 上半 月 4 7 1 i 一 8 一 6 i一 4 2 0 2 4 6 8 l 图 5 函数 又因为 厂 z 在区间 0 2 上是增函数 所以 厂 在区间 2 O 上也是增函数 如图 5 所示 那么 方程 z 一m m O 在区间 8 8 上有四个不同 的根 l X 2 不妨设 l 3 c 2 由对称 性知 l 一1 2 勋 五 一 4 所 以 l X 2 确 一一8 故答案为 一8 评注 分 段 函数 中的 V 字型 图象指 的是 其 图象 的 形状 类 似 一 个 或 若 干个 字母 V 的 形 状 这 种分段 函数 的构成 知 识要 素往 往 与直 线等 知 识 有关 常伴以绝对值或周期性等知识为考查对象 3 UV 字 型 图象 例 4 2 0 O 3 年 北京 高考 试 题 有 三 个 新 兴 城 镇 分 别 位 于 A B C 三 点 处 且 一 AC 一 1 3 km BC 一 1 0 kin 今 计划合 建一 个 中心 医 院 为 同时方 便 三镇 准 备 建 在 B C 的垂直平分线上的P点处 如 图 6建 立 坐 标 系 若 希 望 点 J A 一 日 一 5 0 D C 5 0 x 图 6 P 到三个镇 的最远 距离 为最 小 点 P位 于何 处 分 析 记 P O P到三个 镇 的最远距 离为 g 则 f g g Y 当 g g Y l 1 2 一Y I l 1 2 一 I 当 二 F 0 若方程 3 f x 一 恰有 5 个实数解 则 的取值范围为 A 孚 8 c 詈 8 B D 詈 y 一 一 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图 8 分析 因为当 一1 1 时 将函数化为方 程z z 兰 一1 0 实质 上为 一 个半 椭圆 其 图象如 图 8所 示 同 时在坐 标系 中作 出当 z 1 3 时 厂 z 的图象 再根据周期性作出函数其它部 分的图象 由图易知直线 Y一 与第二个椭圆 z 一 4 z 芝一1 o 相 交 而与 第三 个半 椭圆 一 8 睾一 1 o 无 公 共 点 时 方 程 恰 有 5 个 实数解 将Y一詈代人 z 一4 l y o 得 m g in 1 一 7 2 m z 1 3 5 m 一 0 令 t一 9 m O 则 1 一8 红 1 5 t 一 0 由 一 8 一 4 1 5 t t 1 0 得 t 1 5 由 9 m 1 5且 m o 得 m 同 样 由 Y 一 詈与 z 一 8 箸一 1 0 方程 联立后 根 据 0可 计算得 m o 由 得 整 理得 一 1 z Y A 2 re x 2 n y m 一 z 0 又 M 在 圆 一 口 一 6 一 r 2上 所 以 z Y 一 2 a x 2 b y 卫一口 一 b 代入 上式得 2 一 2 a一 2 mA z 2 Z a 一 2 b一 2 h A mz z 一 1 r 2一 口 一 b 0 因为 点 M 是 圆上任意 一点 所 以 r 以 一 口一 h A 一 0 j b A z b m 0 l 一1 一n 一b z 0 由 得irn a 1 一吉 由 得 一6 1 一 古 所 以 m 一 1一 口 b 代人 得 a 2 一1 r z 一 一6 2 0 当 一 1 即 1 时 解得 m一 l 0 不合 题 意 舍 去 当 z 1 时 式化为 上 卫 一口 2 6 z o 解 得 z一 代人 得 口 b 0 一 z 口 b 一 m 一 所以满足条件的点 A为 口 6 常数为 口 十D r 收 稿 日期 2 0 1 0 0 6 0 8 上接 第 4 7页 的图象组合而成 这种分段 函数的构成知识要素 往往综合了抛物线等 圆锥 曲线和直线等知识 而 且还经常涉及到函数综合知识的运用 4 M 字 型 图象 例 6 2 0 0 6 年湖北理科卷 关于 X的方程 z 一 1 z l z 一1 l k一0 给出下列四个命题 存 在实 数 k 使 得方 程恰有 2个 不 同的 实根 存 在实 数 k 使得 方 程恰有 4个不 同的 实根 存 在实 数 k 使得 方程 恰有 5个 不 同的 实根 存 在实 数 k 使得 方程 恰有 8个不 同的 实根 其 中假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 分析 设 厂 一 l z 一1 I 一 z 一1 f 一 z 一 1 一 2 l 或 z 一 1 1 一X 一1 一 1 1 然后利用导数知识求 出单调 区间以及极值 再 加上 此 函数为偶 函数 就可 以画 出直线 Y k与 Y一 z 的简 图 如 图 9 所示 通过 判断两 者 的交 点情况 分析 即知答 案选 A I Y 七 4 一 一 一 一 1 O l 2 2 图 9 评注 分段函数 中的 字型图象指 的是其 图 象 的形状类似若干个波峰或波谷组成 这种分段 函数 的构成知识要素往往与多项武函数等知识有关 常伴 以函数的对称性 周期性等知识的考查 分段 函数问题 常涉及到 函数 的奇偶性 单调 性 对称 性 周 期 性 以及 方程 等方 面 的知 识 着 重 于考查考生对于数形结合