（数量经济学专业论文）非线性跟踪—微分器在VaR中的应用研究.pdf

摘要 风险测量是风险管理的核心和基础 v a r 体系因其测量的综合 性而成为金融市场风险测量的主流方法 v a r 的概念虽然简单 但 对它的度量却是一个具有挑战性的统计问题 围绕v a r 的计算 中 西方学者进行了深入探讨 计算v a r 有三种主流方法 但每一种v a r 计算方法都各有其不足之处 近年来人们对此提出了许多改进的方 法 9 0 年代中期逐渐兴起的 经济物理学 给主流经济学研究提供 了一个新的视角 基于这一视角 复杂科学的研究方法开始进入经 济学和金融学领域 这一自然科学方法向社会经济领域扩散的新方 法为本文的研究提供了一个新思路 本文将利用控制论中的非线性 跟踪一微分器对金融时间序列进行模拟和预测 试图提出一种新的 仿真模拟方法 应用于v a r 的计算 本文首先介绍了v a r 模型框架 并对v a r 的三种主流计算方法 进行了详细的讨论 然后提出其不足之处和可以改进的地方 接着 介绍非线性跟踪一微分器的一般理论 推导出二阶最速控制系统跟 踪一微分器的离散形式 并且进行了数值仿真 然后将非线性跟踪 微分器应用于v a r 的计算 得到非线性跟踪一微分器模拟v a r 最后 用非线性跟踪一微分器模拟v a r 风险测量技术对中国股票市 场进行实证研究 并且对三种v a r 计算方法 m o n t ec a r l o 模拟v a r 历史模拟v a r 非线性跟踪一微分器模拟v a r 进行了比较分析和 评价 关键词 金融市场风险测量 v a r 非线性跟踪一微分器 模拟 a b s t r a c t t h ec o r ea n df o u n d a t i o no fr i s km a n a g e m e n ti sr i s km e a s u r e m e n t b e c a u s eo fi t s c o m p r e h e n s i v em e a s u r e m e n t v a rs y s t e mb e c o m e sa m a j o rm e t h o d f o rf i n a n c i a lm a r k e tr i s k m e a s u r e m e n t a l t h o u g ht h e c o n c e p to fv a r i s s i m p l e i t sm e a s u r e m e n ti sas t a t i s t i c a lp r o b l e mw i t h c h a l l e n g e w e s t e ma n d e a s t e r ns c h o l a r sw e n td e e pi n t od i s c u s s i o n s a r o u n dt h ec a l c u l a t i o no fv a r u s u a l l yi th a st h r e ek i n d so fm a i o r c o m p u t i n gt e c h n o l o g i e s a n de v e r yk i n do fv a rc o m p u t i n gt e c h n o l o g y h a si t sw e a k p o i n t s p e o p l eh a v ep u tf o r w a r dal o to fi m p r o v e dm e t h o d s t ot h i si nr e c e n t y e a r s e c o n o m i cp h y s i c s t h a tr o s eg r a d u a l l yi nt h em i d d l eo ft h e1 9 9 0 s h a sp r o v i d e dan e wv i s u a la n g l ef o rm a j o re c o n o m i c sr e s e a r c h i nv i e w o ft h i sv i s u a la n g l e t h ec o m p l i c a t e ds c i e n c er e s e a r c h a p p r o a c hb e g i n s t o e n t e rt h ef i e l d so fe c o n o m i c sa n df i n a n c e t h i sn e ww a yo fn a r f f a l s c i e n t i f cm e t h o d s p r e a d i n g t os o c i a le c o n o m i cf i e l do f f e r san e w t r a i no f t h o u g h tf o rt h er e s e a r c ho f t h i st e x t t h ea u t h o rw i l lu t i l i z en o n l i n e a r t r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o r a b b r e v i a t e da sn t d i nc y b e r n e t i c st os i m u l a t e a n dp r e d i c tf m a n c i a lt i m es e r i e s a n da t t e m p tt op u tf o r w a r dak i n do f n e we m u l a t i o ns i m u l a t i o nm e t h o d a p p l y i n gt ot h ec a l c u l a t i o no f 强r t h em a i nr e s e a r c hw o r ko f t h i st e x ti sa sf o l l o w s t h i st e x ti n t r o d u c e sv 瓜m o d e lf r a m ea tf i r s t d i s c u s s e si nd e t a i l s t h et h r e eb a s i cc o m p u t i n g t e c h n o l o g i e so f v 报 a n dt h e n c o m p a r e st h e m a n df i n d st h e i rw e a k p o i n t sa n dp l a c e st h a tc a r lb ei m p r o v e d i nw h a t f o l l o w si t p r e s e n t s t h e g e n e r a lt h e o r y o fn t da n ds e v e r a lk i n d so f c o n c r e t e n t d s d e r i v e so u tt h e d i s p e r s e d f o r mo ft h et w oo r d e r f a s t c o n t r o l l i n gs y s t e mn t d a n dc a r r i e so nn u m e r i c a le m u l a t i o n t h e n a p p l i e si tt o 馋艉c a l c u l a t i o na n dg e t sn o n l i n e a rt r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o r s i m u l a t i o n v a r f i n a l l y i tc a r r i e s o nt h e e m p i r i c a l r e s e a r c ho ft h e 2 n o n l i n e a rt r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o rs i m u l a t i o nv a rr i s km e a s u r e m e n t t e c h n o l o g yi n c h i n a ss e c u r i t i e sm a r k e t t ot h et h r e ec o n c r e t ev a r c o m p u t i n gt e c h n o l o g i e s m o n t e c a r l os i m u l a t i o n v a r h i s t o f i c n s i m u l a t i o nv a r n o n l i n e a rt r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o rs i m u l a t i o nv a r i t a l s oc a r r i e so nc o m p a r a t i v ea n a l y s i sa n da p p r a i s e k e y w o r d s r i s km e a s u r e m e n to f f i n a n c i a lm a r k e t v a r n o n l i n e a r t r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o r s i m u l a t i o n 第一章引言 1 1 金融市场风险管理v a r 方法产生的历史背景 2 0 世纪8 0 年代以来 国际金融市场经历了前所未有的迅猛发 展 金融活动不断地以超乎人们想象的方式影响着人类的整个经济 活动 面对金融的自由化和国际化浪潮 面对不断创新的金融工具 和不断涌现的金融衍生品 投资者不仅需要知道投资活动的预期收 益和资产价值 更需要了解投资活动所承受的风险 19 5 2 年 m a r k o w i t z 发表了p o r t f o l i os e l e c t i o n 开创了崭新的投 资组合理论 组合理论中用方差或半方差度量投资风险 特别揭示 了相关性对于投资组合风险的重要性 但组合理论对风险的量化存 在严重不足 主要表现在以下几个方面 1 对投资收益有严格的假 定 即假定了收益服从正态分布 虽然也引进了半方差描述收益的 左半边 意在放松对整个分布的假定 但仍属于对期望值的平均偏 离程度的度量 并没有性质上的改变 2 用方差度量风险只是一个 指标 并没有给出风险是多少的绝对值 简言之 没有用货币表 示出风险的大小 对投资者来说并不直观 3 用方差量化风险没有 考虑到投资者对于风险的不同承受能力或偏好 在实践中的应用受 到限制 随着风险管理实践的不断发展 市场风险管理进一步要求金融 机构或工商企业在准确辩识和测量市场风险的基础上 根据其竞争 优势和风险偏好 利用各种工具和技术对风险进行规避 防范 转 移和保留 市场风险管理的基础和核心是对风险的定量分析和评估 即风险测量 但是面对包含各式各样复杂衍生金融工具 特别是期权 类非线性工具 的组合证券 传统的线性度量如占 久期 d u r a t i o n 已不再适用 即使引入凸性 c o n v e x i t y 当标的资产价格发生巨大 变动时 也不能准确估计风险 基于期权的度量如y 等虽可以计算单 一证券的风险 但它不能概括证券组合的总体市场风险 近二十年来 由于受经济全球化与金融自由化 现代金融理论 及信息技术的进步 金融创新等因素的影响 金融市场呈现出前所 未有的波动性 金融市场风险成为全球金融机构和监管当局关注的 焦点 金融风险管理已成为金融机构和工商企业管理的核心内容 为了使高层经理及时 准确地了解各项投资所面临的风险和依据风 险调整决策 风险管理实践中开始强调风险报告 最早也是最著名 的风险报告是1 9 9 3 年7 月3 0 国集团发表的题为 衍生证券的实践 和规则 的研究报告 它主要针对的是衍生金融风险管理 是监管 组织第一次明确地赞同采用v a r 度量和控制市场风险 随后 很多 金融机构都开发了内部使用的模型和系统 以支持风险报告 其中 最著名的是j p m o r g a n 集团开发的叫做r i s k m e t r i c s 的风险管理系统 j p m o r g a n 集团总裁d e n n i sw e a t h e r s t o n e 要求他的下属每天下午在当 天交易结束后的4 点1 5 分提交一份简短的报告 指出整个银行范围 的投资组合在未来2 4 小时内的风险和潜在的损失是多少 这就是著 名的 4 1 5 报告 依据巴塞尔委员会在1 9 9 7 年9 月颁布的 有效银行监管的核心 原则 金融机构所面临的金融风险主要有市场风险 信用风险 流 动性风险 操作风险和法律风险等 其中 市场风险是指由于利率 汇率 股指 商品价格等市场因素的变化而导致的金融资产收益的 不确定性 2 0 世纪7 0 年代以前 由于金融市场价格变化比较平稳 金融风险突出地表现为信用风险 然而进入7 0 年代以来 全球金融 体系发生了巨大变化 以布雷顿森林体系崩溃为标志的固定价格体 系演变为市场价格体系 导致了汇率 利率以及商品价格的波动日 益频繁 金融市场交易速度的加快和交易量的空前增加 从而导致 了金融市场波动性日趋加剧 2 0 世纪7 0 年代以来由于现代金融理论 的突破 主要是b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 计算机与通讯技术的 巨大进展及金融工程技术的出现与广泛应用 所导致的以衍生工具 的爆发性增长为标志的 金融创新 活动在提高了金融市场有效性 的同时 也增加了金融市场的波动性与脆弱性 西方主要发达主义 国家奉行的 放松金融管制 浪潮又为金融创新提供了良好的环境 这三股力量及其交互作用使金融市场呈现出前所未有的波动性 市 场风险取代信用风险而成为金融风险的最主要的形式 近年来美国 奥伦治县政府破产案 英国巴林银行倒闭案 日本大和银行巨额交 易亏损案等 无不与金融衍生工具有关 这就充分说明了市场风险 在金融机构面临的诸多风险中的核心地位 1 2 v a r 方法的历史沿革和国内外研究动态 1 2 1v a r 方法的历史沿革 金融机构最关心的是他们面临的市场风险能否以一个单一的量 化指标表示出来 而且金融监管当局也希望能方便地了解其监管的 金融机构所面临的市场风险的大小 以强化市场风险的管理与监管 v a r 方法的出现就迎合了这一需要 为了满足这一要求 j p m o r g a n 的风险管理人员开发了一种能够测量不同交易 不同业务部门市场 风险 并将这些风险集成为一个数的风险测量方法 撤 1 9 9 4 年1 0 月 j p m o r g a n 公司首先公布了它的v a r 系统r i s k m e t r i c s 它 能够评价全世界3 0 个国家1 4 0 种金融工具v a r 值 v a r 已经逐渐为 众多商业银行 投资银行 非金融公司 机构投资者及监管机构所 使用和关注 目前正成为金融风险管理的国家标准 在银行界 无论是国际银行的巴塞尔委员会 美联储 国际清 算银行 还是新近成立的欧洲中央银行 都倡导将y a r 作为一种可 行的风险管理方法 1 9 9 5 年4 月 巴塞尔委员会公布的 有关在资 本充足率协议中纳入市场风险因素的补充文件 中规定 从1 9 9 7 年 年底开始 其成员银行在设置应付风险的资本金额时除考虑信用风 险外 还要考虑市场风险 在计算市场风险时 成员银行可以采用 巴塞尔委员会制定的标准计算方法 也可以采用自己的内部v a r 模 型 1 9 9 6 年9 月6 日 美国三大金融管理机构 财政部货币监管署 联邦储备系统和联邦存款保险公司 联合做出决议 从1 9 9 8 年1 月 1 日起美国所有银行必须实施v a r 风险管理方法 并定期报告评估 结果 许多金融机构都将v a r 作为防范金融风险的第一道防线 并 且开发了利用v a r 进行风险管理的软件 如j p m o r g a n 公司的 r i s k m e t r i c s 系统 麟风险管理公司开发的p o r t f o l i om a n a g e r 模型等 等 在证券界 v a r 已得到了国际调换与衍生工具协会 美国标准 普尔公司 穆迪投资服务公司等权威机构的支持 美国证券和交易 委员会与华尔街六大证券公司也达成协议 用v a r 并结合其他方法 来指定资本金的最低要求 美国证券交易委员会 s e c 1 9 9 7 年1 月规定 上市公司必须及时披露其金融衍生工具所面临的市场风险 的量化信息 指出v a r 方法是可以采用的三种方法之一 自从首次被用于测量交易性证券的市场风险后 v a r 已获得广 泛的应用 并逐渐被一些非金融机构所采用 1 9 9 4 年g 3 0 报告发表 后 4 3 的衍生产品交易商声明 他们正在用v a r 测量其市场风险 3 7 的交易商表示在1 9 9 5 年底前已经使用了v a r 1 9 9 5 年w h a r t o n 商学院的一项调查表明 被调查的美国非金融企业中 使用v a r 评 估其衍生证券交易风险的占2 9 i n s t i t u t ei n v e s t o r 杂志1 9 9 5 年的调 查指出 3 2 的被调查企业使用了v a i l 而纽约大学同期的调查指出 6 0 的被调查养老基金使用了v a r v a r 开始只是一种风险度量方法 但不久人们就认识到它不仅 可以给风险投资者提供风险的定量数值 还可以用于通过调整预期 的风险收益来指导投资决策 行为金融学认为 投资者的情绪 心 理等诸多因素对实际投资决策有影响 投资者对待风险的态度体现 在投资者的预期财富低于某一确定值的概率上 用数学公式表达为 p r o b w w c 1 1 其中 p r o b 预期财富小于某一可能财富上限的概率 c 给定 的概率 w 概率c 下可能的财富上限 该式认为 如果投资者是风 险喜好的 预期财富小于某一可能财富上限的概率较小 即c 较大 相反 如果投资者是风险厌恶者 则c 较小 w 体现了投资者对待风 险的态度 如果投资者难以忍受较大的风险 则他会觉得某一确定 概率下可获得的财富上限比较大 即w 值较大 反之 w 值较小则 意味着投资者敢于冒险 从这里可以看出 在行为金融理论中投资 者对风险的态度是内生于模型中的 而m a r k o w i t z 模型中则是外生 地给定投资人是风险厌恶的 因此 从行为金融理论出发 用v a r 重新定义投资者的风险偏好来指导投资者的最优投资具有重要的理 论意义与实际价值 1 此外 v a r 方法还可以用于设定交易商市场风险的限额 测定 估值 风险模型的有效性及评估绩效等方面 如b a n k e rt r u s t 在绩效 评估中使用 风险调整的资本收益 指标r a r o c r i s ka d j u s t e dr e t u r n o f c a p i t a l 取代资本收益指标r o c r e t u r no f c a p i t a l 来反映交易员 的经营业绩 以防止交易员的过度投机行为 r a r 0 c r o c 厂v 出 1 2 2 国内外v a r 研究动态 v a r 的概念简单 然而它的度量却是一个具有挑战性的统计问 题 围绕v a r 的计算 西方学者进行了深入探讨 j e r e m y b e r k o w i t z 1 9 9 9 提出了新的评价v a r 的方法 j e a n p h i l i p p eb o u c h a u d 和 m a r cp o t t e r s 1 9 9 9 提出了如何利用金融资产波动的n o n g a u s s i a n 特性简单地计算复杂的非线性组合的v a r d a v i dl i 1 9 9 9 提出了 使用四阶矩统计量计算v a r 的新方法 d o w d k e v i n 1 9 9 9 提出了 v a r 计算的极端值方法 我国学者对v a r 方法的研究最早始于t 9 9 7 年郑文通的 金融风 险管理的v a r 方法及其应用 一文 其发展过程以1 9 9 9 年为界限可 以分为两个阶段 1 了解学习阶段和深入研究 具体应用阶段 第一 阶段主要是对v a i l 方法的引入 着重予对v a r 的概念 方法的介绍 其中较有代表性的有 郑文通 1 9 9 7 牛昂 1 9 9 7 姚刚 1 9 9 8 刘宇飞 1 9 9 9 探讨了v a r 的涵义和意义 对测量v a r 的三种基本 方法 历史模拟法 h i s t o r i c a ls i m u l a t i o n 方差 协方差法和蒙特卡 罗模拟法 m o n t ec a r l os i m u l a t i o n 做了介绍 张尧庭 1 9 9 8 詹 原瑞 1 9 9 9 从理论上探讨了v a r 的度量问题 第二阶段的研究包括对v a r 方法的理论研究及其在我国金融市 场的实证研究 以及对v a r 方法的改进 范英 2 0 0 0 在股票价格 随机游走的假设下计算了深圳股市在不同置信水平下的风险值 对 v a r 方法在我国股票投资中的应用进行了初步探讨 陈守东 2 0 0 2 利用基于g a r c h 模型的v a r 方法对中国股市进行了分析 王春峰 万海晖 李刚 2 0 0 0 指出了用m o n t ec a r l o 模拟法计算v a r 所存在 的缺陷 并提出了用马尔科夫链m o n t ec a r l o 模拟法来计算v a r 值 2 0 0 1 年 王春峰出版了一部v a r 专著 金融市场风险管理 第一次全面系统地介绍了以v a r 为核心的风险测量方法 并且反映 了国际上金融市场风险管理领域的最新理论发展和应用动态 比如 国际上的最新研究成果 基于人工智能的v a r 计算 m c m c 方法 杂合主成分路径生成法等等 将国内v a r 的研究推向了一个新的高 度 v a r 的产生与发展使人们的投资观念 经营观念以及管理观念 都发生了巨大的变化 杜海涛 2 0 0 0 将v a r 方法运用于市场指数 风险度量 单个证券的风险度量 基金管理人员绩效评估及确定配 股价格等方面 赵睿 赵陵 2 0 0 2 引入了考察投资绩效对资产组 合影响的v a r 方法 求解了v a r 约束下的资产组合问题 屠新曙 2 0 0 2 将v a r 与最佳投资组合的概念结合起来 开发了一种新的 理论 一种类似于m a r k o w i t z 均值一方差选择最优投资组合的理论 即满足v a r 约束条件的最优均值一v a r 投资组合理论 1 3 本文所做的主要研究工作 研究v a r 可以有两个角度 一是提出另一种v a r 的定义 使之 对现有定义下的v a r 的局限性有所突破 二是提出新的v a r 计算方 法 对主流v a r 计算方法进行改进 取长补短 本研究仅从第二个 角度出发 采用控制论中的非线性跟踪一微分器原理 试图提出一 种新的仿真模拟方法 应用于v a r 的计算 这是前人从来没有做过 的工作 是本文的创新所在 主要研究工作如下 首先介绍了v a r 模型框架 对v a r 的概念及基本原理进行总结 并对v a r 的几种基本计算方法 方差一协方差v a r 历史模拟v a r m o n t e c a r l o 模拟v a r 进行了详细的讨论 然后对不同计算方法通过 比较发现其不足之处和可以改进的地方 接着介绍非线性跟踪一微 分器的一般概念和几种具体的非线性跟踪一微分器 推导出二阶最 速控制系统跟踪一微分器的离散形式 并且进行了数值仿真 然后 将非线性跟踪一微分器应用于v a r 的计算 得到非线性跟踪一微分 器模拟v a r 最后 用非线性跟踪一微分器模拟v a r 风险测量技术 在中国股票市场进行实证研究 对三种具体的v a r 计算方法 m o n t e c a r l o 模拟v a r 历史模拟v a r 非线性跟踪一微分器模拟v a r 利 用检验样本作了k u p i e c 失败检验 并在此基础上进行了比较分析和 评价 第二章金融市场风险测量v a r 模型 2 1v a r 的基本内涵 v a r v a l u ea tr i s k 按字面解释就是 风险价值 其含义是 在市场正常波动下 某一金融资产或证券组合的最大可能损失 具 体而言 v a r 是指在一定概率水平 置信度 下 某一金融资产或 证券组合价值在未来特定时期内的最大潜在损失 乔瑞恩 j o r i o n 1 9 9 7 给出了v a r 的 个比较权威的定义 可以表述为 在正常的 市场条件下 给定置信水平的一个持有期内某种风险资产的最坏损 失 作为一种测定方法 v a r 方法就是使用合理的金融理论和数理 统计理论 定量地对给定的资产 组合 所面临的市场风险作出全 面的度量 用数学公式表示为 p r o b a p 0 有系统 x l f x f r 2 一p n x r j b 且系统 3 5 的解而伍 0 满足 恕m f 一p o 枷 0 式中 x 弛 f 跟踪p o x 2 陋 f 收敛于 广义函数 p o 的 广义导数 系统 3 5 n n 系n 3 4 派生的 跟踪微分器 系统 3 3 称为 快 速跟踪微分器 对于高阶系统 有如下定理 定理3 2 晗伽若系统 量 g x 3 6 i f x l x 2 工 的解满足 蛩 f o f l 2 则v 有界可测信号p f 0 佃 v t 0 系统 孟 r x n r 3 7 姒咖r 矿加 等 万x n 的解满足 1 炮f i x l t 一p t l d t 0 2 x i f 2 i 弱收敛于p f 的i 一1 阶广义导数 可见 上述定理对函数f x x 或f x x h 的要求不高 只要 保证系统 3 4 或 3 6 的任意解满足l i m x f 0 o 1 2 即可 考虑到本研究所取的函数形式 用适当的指数函数取代开关函 数 下面仅研究指数函数形式的二阶非线性跟踪 微分器 引理3 1 李亚普诺夫渐近稳定性 若系统存在纯量函数 矿 矿 f 0 且矿 r 卅i o n 2 m 2 0 q o 口2 0 则系统 3 8 在 o o 点是渐近稳定的 目p l i m x o o l i m x f o 证明 选取李亚普诺夫函数为 v x o z o 三 l 一甜 m l i n lo 石 z o 注意到引理3 2 中所给的条件 则有 y f z f 0 日 v x n z 筹拿d t 豢拿c l t0 x 出 m i i q l 月i 1 西 2 2 d 础x l l 即生堕置寻堕 2 a l 葺i z 2 2 x 2 卜a i x l 茁一口2 x 2 盖i l l岫hi 2 x 百m lx 2 2 q 置百e n tx 2 2 a 2 x 2 警 一2 a 2 2 0 有系统 f 南 f 毡 p 划卜 h 洲飞 屯 l q 1 0 且系统 3 1 0 的解一 r f 满足 恕m 伍 r 一p o 枷 o 式中 而 r f 跟踪p o x 2 陋 收敛于 广义函数 p o 的 广义导数 证明 系统 3 9 在原点渐近稳定 即 i m o 0 f 1 2 恰 好满足定理3 1 的条件 故由定理3 1 得证 3 2 几种具体的菲线性跟踪一微分器 1 对于非线性系统 i 童1 p x 2 r k 阶飞 s 和 鼬飞 s 劬 蹦 a l a 2 刈 l o 3 1 1 构造它的一个李亚普诺夫函数为 矿 x 1 x 2 2 熹t x 卜x 甜 l 一 所以由引理3 2 系统 3 1 1 的零解是渐近稳定的 即系统 3 1 1 的解满足定理3 3 的条件 这样 由定理3 3 可得到如下形式的非线 性跟踪微分器 f 量 0 x 2 f 卜卜小k 刊 蜘刊鸲第毗 1 2 对o a 占 倒 一万卜 h 占 1 4 2 对于二阶快速系统 x 2 r 裂幕 托吲 3 1 5 1 f s 劬g o x o x o l q r u j 驯 为避免原点附近的颤振 将符号函数s i g n 改成带线性区间d 的饱和 函数s a t 得如下形式 酬 毒臻瑞x o 2 r 纠 3 1 6 1 t o 一r s 讲0 f x f x 占 q i a i 占 j 0 3 1 7 l a l j 由类似的证明可知系统 3 1 6 的零解是渐近稳定的 即系统 3 1 6 的解满足定理3 3 的条件 这样 由定理3 3 可得到如下形 式的非线性跟踪一微分器 r 删g 掣群x 2 啡 t t z r 8 3 1 8 1 量 o 删k r 一p o 纠x u 州 3 对于三阶快速系统 由类似于2 的证明 可以得到相应的三 阶非线性跟踪一微分器 其中 南 f x 2 t i 2 f r 3 1 9 也一胁r c x i 1 2 萧 爿噜 s 挣回 s 瑙 掣 一 蔓 2 r 3 2 0 3 2 1 一般来说 用有限个跟踪微分器串联的办法 可得n 阶 三 阶甚至更高阶的微分信号 可以看到 二阶跟踪一微分器获得了 广 义函数 p o 的 广义导数 而三阶跟踪 微分器不仅能够获得 广 义函数 p o 的 广义导数 同时还能得到 广义函数 p f 的凹 凸性方面的信息 这就体现了非线性跟踪一微分器的几何意义 理 爿 肼 警 l i 占4 中其 论上 更高阶的微分信号将进一步揭示出有关 广义函数 p o 的性 质方面的信息 3 3 二阶离散系统最速控制跟踪一微分器及其数值仿真 3 3 1 二阶快速跟踪一微分器的离散形式 对二阶连续系统 进行离散化得 或者 f量 o 置o 1 膏 h s r z c 七 z l x k 尼 h x 2 k x k x d 1 k 训1 x 1 k h x x 2 h u 2 胃 r 3 2 3 i x 2 t 1 j 川 7 其中h 为采样步长 x i 尼 x 2 女 为第k 步t k h 时的状态 工 膏 也 女 7 当霞 h 给定时 在g 一 点上的最速控制综合函数 可按如下公式计算 占 h r a h g o i z l h x 2 z 9 0 矿 塑 盟2 s i g n z 翌2 舱最 3 2 4 2 一 3 一 z i l 占1 g x rs 讲q 占 按照文献 2 的方法 由离散最速控制综合函数 3 2 4 可构造 出关于输入信号p o 的跟踪一微分器的如下离散形式 z l 忙 1 j x 1 女 2 j h r d h s g x 幻一p t 2 女 e t h t g o 一 煎 堕 i毛 m 点 3 25 2x2 s i g n z 一 i t 立 一 i z l 女m 点 蹦卅墨学 旧 n 2 女 1 x 女 一h r 5 a 皓 女 占 或者 j 川 确 七 触z p 3 2 6 l x 2 是 1 x 2 盘 一h r t 戤对蝤 是 占 可见系统 3 2 5 或 3 2 6 有两个可调参数r 和矗 其中h 是积 分步长 r 是决定跟踪快慢的参数 r 越大 七 跟踪越好 从而x 越近似于输入信号p f 的微分 于是在数值仿真过程中 我们可以根 据需要设置 修改参数r 和h 达到较高的跟踪精度 3 3 2 二阶离散快速跟踪一微分器的数值仿真 下面给出一些利用二阶离散快速跟踪一微分器进行数值仿真的 结果 由文献 2 对非线性跟踪一微分器的稳定性的分析知 当r 拇 时 系统 3 1 0 是稳定的 即定理3 3 是r 在极限状态下成立的 但 是在具体仿真过程中 r 必须取某个确定的值 要达到较高的跟踪精 度 r 到底应该取值多大 因为要使跟踪效果好 r 要取得比较大 但r 的过大会给微分信号增加高频噪音 文献 2 给出一个折中的办 法是 在保证跟踪效果的前提下 r 尽可能取值小些 文献 2 的研究也表明 参数艿对微分信号有很大的影响 但我 们所给出的二阶离散跟踪一微分器明确地解决了连续跟踪一微分器 的纯开关函数换成线性饱和函数时的线性区间占的大小问题 即明确 给出关系式 艿 h r 一 数值仿真实例l 积分步长取为h o o l 仿真2 0 0 0 步 即k 1 2 2 0 0 0 设输入 信号为 啦 s i n 尝 仿真结果如图3 1 至图3 3 所示 从数值仿真可以看出 二阶离 散跟踪一微分器具有如下优点 1 本文给出的二阶离散跟踪一微分器跟踪性能很好 能达到较 高的跟踪精度 在图3 1 中 跟踪数据与正弦输入信号数据几乎在一 条曲线上 而从经过局部放大的图3 2 中可见 跟踪数据与正弦输入 信号数据几乎重合 2 二阶离散跟踪一微分器给出了合理提取微分信号的有效方 法 在微分品质方面具有很好的效果 从图3 1 可以看出 由输入的 正弦信号获得的微分数据具有余弦函数的形状 与实际符合得很好 而从微分数据的散点图 图3 3 可见 微分数据起初有个别的 异常 点 在图3 3 中用黑圈标记 远不在余弦函数图像上 这仅仅只是 由于技术调整所带来的问题 一般来说异常点数目非常少 不会影 响跟踪的效果 也不会影响微分数据的品质 通常可以忽略不计 3 二阶离散跟踪一微分器的线性区间的大小可以由关系式 占 柚直接确定 从而减少了模型的可调参数个数 又仿真结果表明 在此例中h 0 0 1 是一个合理的取值 而且参数r 的值是可调整的 这样一方面操作起来很简单 另一方面又可以通过调整r 提高精度 图3 l 输入为正弦信号时的跟踪与微分曲线 l a b 图3 2 输入为正弦信号时的跟踪数据与历史数据的对比曲线图和对比散点图 图3 3 输入为正弦信号时的微分数据散点图 二 数值仿真实例2 积分步长取为h 1 设输入数据为上证综合指数的日收盘价 样 本区间为1 9 9 5 年1 月3 日 2 0 0 1 年4 月5 日 共1 5 2 1 个交易数据 仿真结果如图3 4 至图3 7 所示 在图3 4 中 跟踪数据与上证 综指历史数据几乎在一条曲线上 而从经过局部放大的对比散点图 图3 5 a 中可见 即使一些 异常 点 在图3 5 中用黑国标记 也都跟踪上了 进一步地 从跟踪数据与历史数据的局部放大的对 比曲线图 图3 5 b 中可以看到 这不仅体现在正常的趋势跟踪上 就是在尖峰的情形下也跟踪得很好 即无超调 即所有的趋势都跟 踪到了 而且从误差曲线图 图3 6 可以清楚地看出 误差集中在 零点附近 误差绝对值超过1 0 0 的只有很少 部分 从图3 7 微分数据的散点图可见 微分数据存在少量 异常 点 结合证券市场股票价格的实际意义来说 中间部分的 异常 应该 可以用一些突发事件 比如 政府的金融政策的改变 证券市场权 威人物的讲话 证券黑幕的暴露 等等 来解释 图3 4 上证综合指数的跟踪与微分曲线 图3 5 上证综合指数的跟踪数据与历史数据的局部放大的对比散点图与对比曲线图 囤3 6 上证综合指数的跟踪数据的误差曲线图 图3 7 上证综合指数的微分数据敖点图 综上所述 对利用二阶离散最速控制综合函数构造出来的离散 形式的跟踪一微分器所做的数值仿真表明 这种跟踪一微分器跟踪 输入信号既快速 无超调 又无震荡 且能给出较好的微分信号 在跟踪性能 微分品质等方面都有很好的效果 3 4 利用二阶离散快速跟踪一微分器进行股价的预测 我们利用已有的股票历史价格数据扫 f 出 n 为样本容量 用二 阶离散快速跟踪一微分器跟踪预测1 0 日的股票价格 得到1 0 日的 股票价格预测值乜 其外推公式为 j z i 尼 1 x l i x 2 i oq 呷 i x 2 七 1 x 2 一h r s a t g k j 7 其中r 为可调参数 9 0 一 穗钟 煎 j 1 2 堕 堋 华 d 力 3 0 s i g n a i a 占 3 4 巧 2 1 要 i 爿1 d j o l 艿 h 一 用外推公式 3 2 7 计算出五 1 作为价格p n 1 的预测值 同时也可以得到微分信号x 1 x 2 1 将p 1 补充到股票价 格历史数据中去 再利用 3 2 7 式预测下一个股票价格 依次 类推 即可得到1 0 日的股票价格预测值和相应的微分信号 我们取上证综合指数1 9 9 5 年1 月3 日 2 0 0 1 年3 月2 2 日的日 收盘价 共1 5 1 1 个交易数据 利用 3 2 7 式来做事后预测 预测 2 0 0 1 年3 月2 3 日 2 0 0 1 年4 月5 日共1 0 个日收盘价 并与历史数 据进行对比 预测值与预测误差见表3 2 仿真及预测误差图见图 3 1 预测曲线与原始数据曲线对照图见图3 2 仿真预测的结果表 明 误差相对较小 且短期预测数据在预测股票价格趋势上效果很 好 基本上所有的未来变化趋势都跟上了 表3 2 预测值与预测误差 图3 1仿真及预测误差曲线图图3 2预测曲线与原始数据曲线对照图 3 5非线性跟踪一微分器在v a r 测量技术中的应用 金融市场风险管理的一个难点就是损益分布的确定 参数方法 假设收益率服从一定的分布 计算相对来说比较简单 但结果很大 程度上依赖于假设的正确与否 m o n t ec a r l o 模拟法是计算v a r 最有 效的一种方法 能说明大量风险 还考虑了波动率的时变性 厚尾 和极端事件等 但其计算复杂性高 且要求风险管理者设定金融变 量服从的随机过程 选择定价模型计算组合价值及其变化 这是 m o n t ec a r l o 模拟法不容忽视的一个弱点 难于向高层管理者解释 另外还存在伪随机数的问题 历史模拟法使用真实的价格 不需要 对市场的随机结构做任何假设 它允许非正态分布 能说明厚尾问 题 d o w d1 9 9 8 j o r i o n1 9 9 7 避免模型风险 同其他方法相比较 历史模拟还是很好的n 正因为其稳健性和直观性 巴塞尔协议1 9 9 3 年条款采用历史模拟法作为市场风险的基本度量方法 b a s l e c o m m i t t e eo nb a n k i n g s u p e r v i s i o n 19 9 5 o 但是 历史模拟法也遭到很多批评 其中最主要有两点 1 它的基本假设是过去能反映不远的将来 e n g l e 1 9 8 2 指出 波动 率有着显著而且可以预测的时变性 则如果利用性质良好的预测模 型得到金融时间序列的预测值 计算出来的v a r 值将较为准确 2 历史模拟法的准确性取决于决定历史结果的各种因素 条件 形势 等仍在发挥主要作用 否则就需要做出相应的调整 对历史数据加 以适当修正 非线性跟踪一微分器在跟踪预测方面的优势 即在给定历史 数据的前提下 快速跟踪且做出对未来的短期预测 恰好可捕获上 文所提及的 可以预测的时变性 如果同历史模拟法结合起来就可 以弥补以上所提出来的不足之处 而且非线性跟踪一微分器通过过 去发生的真实数据的反馈 钔来模拟预测变量随时间的互动情况 正 好是对历史数据的恰当调整 我们将非线性跟踪一微分器应用v a r 计算中去 则会提高整个模型的拟合精度 本文把这种方法称为非线性跟踪一微分器仿真模拟v a r 它属 于一种模拟模型 具有模拟分析模型的优点 非线性跟踪一微分器模拟v a r 核心在于根据历史样本数据并利 用控制论中的非线性跟踪一微分器技术进行模拟预测 得到未来的 损益分布 然后由给定置信度下的分位数得出其v a r 值 它不同于 m o n t ec a r l o 模拟法的是 不需要选择分布参数 不存在伪随机数问 题 且模拟预测过程显示了较强的几何意义 比m o n t ec a r l o 模拟法 更容易为高层管理者接受 第四章非线性跟踪 微分器v a r 模型的实证效果评价 4 1数据选取 本研究采用上证综合指数作为研究对象瞳 由于上证指数本身 已经包含了除权信息 投资工具的收益率可采用如下公式乜 置曲喙 4 1 考虑到1 9 9 3 年以前我国股票市场处于发展的初级阶段 市场容 量小 价格波动剧烈 制度不健全 市场不规范 将这一时期的数 据加入分析变量数列会造成风险特征的扭曲 同时 我国股市制度 变化对收益率变化有很大影响 特别是股市涨跌停板制度的实施对 控制风险起到了一定作用 在制度实施后市场风险明显降 f l o t 2 7 1 所 以 样本数据采用1 9 9 7 年 副以后的上证综合指数 原始样本 即用 来生成模型参数的母样本 取上证综合指数1 9 9 7 年1 月2 日 2 0 0 1 年3 月5 日的日收盘价 样本数n 1 0 0 1 检验样本 即用来比较各 种模型准确性的样本 取上证综合指数2 0 0 1 年3 月6 日 2 0 0 3 年4 月1 4 日的日收盘价 样本数t 5 1 0 4 2 模型评价方法 本文采用库皮克 k u p i e c 1 9 5 5 提出的似然比检验法来验证模 型的准确性 v a r 模型的准确性是指v a r 模型的测量结果对实际损 失的覆盖程度 例如 给定了9 5 的置信度下的v a r 则v a r 模型 的准确性是指实际损益结果超过v a r 的概率是否小于或等于5 在 k u p i e e 检验中 设f 为样本中损失高于v a r 值的次数 r 为检验样 本中总的数据个数 损失超过v a r 值的次数服从二项分布 即 f b t 芦 其中p 1 一口 口为模型所采用的置信水平 由二项式 过程可得特定f 次失败在丁个样本中发生的概率为 1 一p p k u p i e c 检验的原假设和备选假设为 h ph p 对应的似然比统计量为 l r 2 i n 1 一尹f7 1 扣一l n 1 p t f p f 该似然比统计量在原假设下服从自由度为1 的z 2 分布 k u p i e c 1 9 5 5 针对不同的左尾概率和样本容量的大小 构造 出相应的失败次数f 的接受域 见表4 1 以t 2 5 5 p 5 即 口 9 5 为例 只要损失偏离天数落在 6 2 1 之间 则认为v a r 模型 预测有效 若f 2 1 则表明v a r 模型低估了损失发生的可能性 若 f 6 则表明v a r 模型估计过于保守 表4 1 k u p i e e 检验的非拒绝区间 概率水平失败次数f 的非拒绝区间 p t 2 5 5 天t 5 1 0 天t 1 0 0 0 天 0 0 1 71 f 1 l4 f 1 7 0 0 2 52 f 1 26 f 2 l1 5 f 3 6 0 0 56 2 11 6 f 3 6 3 7 f 6 5 0 0 7 51 l f 2