高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标52 抛物线.doc

第52讲 抛物线解密考纲对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查一、选择题1(2018宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点p(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(b)ay28xby28xcy24xdy24x解析 设抛物线方程为y22px(p0)，则(3)5，p4，抛物线方程为y28x.故选b2(2018江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点m(p，p)和抛物线的焦点f作直线l交抛物线于另一点n，则|nf|fm|(c)a1b1c12d13解析 由题意知直线l的方程为y2，联立方程得n.所以|nf|p，|mf|pp，所以|nf|fm|12，故选c3已知抛物线c：y24x，顶点为o，动直线l：yk(x1)与抛物线c交于a，b两点，则(a)a5b5c4d4解析 设a，b，由已知得直线l过定点e(1,0)，因为e，a，b三点共线，所以y2y1，即(y1y2)y1y2，因为y1y2，所以y1y24，所以y1y25.4(2018吉林长春一模)过抛物线y22px(p0)的焦点f且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于a、b两点，则(a)abcd解析 设抛物线的准线为l：x，|fb|m，|fa|n，过a，b两点向准线l作垂线ac，bd，由抛物线定义知|ac|fa|n，|bd|fb|m，过b作beac，e为垂足，则|ae|ce|ac|bd|ac|mn，|ab|fa|fb|nm.在rtabe中，bae60，cos 60，即m3n.故.5已知点a(2,1)，抛物线y24x的焦点是f，若抛物线上存在一点p，使得|pa|pf|最小，则点p的坐标为(d)a(2,1)b(1,1)cd解析 由抛物线定义知，|pf|等于p到准线x1的距离，当pa与准线垂直时|pa|pf|最小，p点的纵坐标为1，代入方程得x.6已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦ab，则ab的中点到x轴的最短距离为(d)abc1d2解析 由题意知，抛物线的准线l：y1，过点a作aa1l于点a1，过点b作bb1l于点b1，设弦ab的中点为m，过点m作mm1l于点m1，则|mm1|.因为6|ab|af|bf|，所以|aa1|bb1|6,2|mm1|6，|mm1|3，故点m到x轴的距离d2，故选d二、填空题7(2018福建福州质检)过抛物线y22px(p0)的焦点作倾斜角为30的直线l与抛物线交于p，q两点，分别过p，q两点作pp1，qq1垂直于抛物线的准线于p1，q1，若|pq|2，则四边形pp1q1q的面积是_1_.解析 由题意得四边形pp1q1q为直角梯形，|pp1|qq1|pq|2，|p1q1|pq|sin 301，s|p1q1|1.8如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_2_米解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意将点a(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设b(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米9(2017全国卷)已知f是抛物线c：y28x的焦点，m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n.若m为fn的中点，则|fn|_6_.解析 依题意，抛物线c：y28x的焦点f(2,0)，准线x2，因为点n在y轴上，m为fn的中点，所以点m的横坐标为1，所以|mf|1(2)3，|fn|2|mf|6.三、解答题10已知抛物线y24px(p0)的焦点为f，圆w：(xp)2y2p2的圆心到过点f的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于a，b两点，wab的面积为8，求抛物线的方程解析 (1)易知抛物线y24px(p0)的焦点为f(p,0)，依题意设直线l的方程为xmyp，因为w(p,0)，所以点w到直线l的距离为p，解得m，所以直线l的斜率为.(2)由(1)知直线l的方程为xyp，由于两条直线关于x轴对称，不妨取xyp，代入y24px中，得y24py4p20，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24p，y1y24p2，所以|ab|16p，因为wab的面积为8，所以p16p8，得p1，所以抛物线的方程为y24x.11已知抛物线y22px(p0)，过点c(2,0)的直线l交抛物线于a，b两点，坐标原点为o，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以ab为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析 (1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.(*)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以y1y22pm，y1y24p，所以x1x24.因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，抛物线的方程为y24x.(2)(1)中(*)式可化为y24my80.y1y24m，y1y28.设ab的中点为m，则|ab|2xmx1x2m(y1y2)44m24，又|ab|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m.所以直线l的方程为xy20或xy20.12(2017全国卷)已知抛物线：c：y22x，过点(2,0)的直线l交c于a，b两点，圆m是以线段ab为直径的圆(1)证明：坐标原点o在圆m上；(2)设圆m过点p(4，2)，求直线l与圆m的方程解析 (1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此oa的斜率与ob的斜率之积为1，所以oaob.故坐标原点o在圆m上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圆心m的坐标为(m22，m)，圆m的半径r.由于圆m过点p(4，2)，因此0，即(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)