着眼理解的数学教学设计原则刍议.pdf

着眼理解的数学教学设计原则刍议 结合以数学 对称 概念为主题的案例实验研究的中期进展 上海 华东师范大学课程与教学研究所 200062 吕林海 新课程改革倡导要深切关注学生的发展 要在课程的整个过程中真正确立学生作为学习 者的主体地位 笔者认为 这一重要理念实质上 为我们在两个方面确立了前进的突破口 第一 要在整个数学教育体系中把学生的理解视作重 要的关注点 因为只有被学生理解了的数学 才能真正成为支撑学生今后发展的资源 也只 有理解了数学的学生 才是从根本上享有了主 体地位的学生 才更是真正享受学习 理解学习 的学习者 第二 就教师而言 在理念上确立了 关注学生的理解 在实践上也就相应应有所改 变 这即是要求 数学教学设计 要真正成为面 向学习者的 灵活的 被教师深刻理解的教学方 法论 要成为支撑学生的数学理解不断向前发 展的支点 实际上 这两个方面的结合 基 于理解的教学设计正是国际教育领域的前沿研 究热点 本文无意在理论上过多纠缠 而是试图 基于相关的国内外理论 结合我们研究团队 华 东师范大学课程与教学研究所211数学课程开 发实验室 所正在展开的案例研究 对着眼理 解的数学教学设计的实践原则作一个简要的分 析与阐述 以期抛砖引玉 引发相关论题的更多 思考 1 将数学学习扎根于学生的经验之中 以学生为本的口号一直很响亮 但在实践 中却很少真正被落实 基于理解的教学设计的 一个基本理念是把学生的已有经验作为重要的 情境资源 在教学设计与实施中 关注学生所体 现出的真实背景经验 并将教学的设计落实在 学生的这种真实经验基础之上 从而沟通知识 与经验之间的联系 具体而言 要对学生从经验 中体现出来的问题进行深刻地反思 提炼出具 有较多共性的线索 并以此作为进一步设计的 起点 从而支撑学生的深入探索与学习 例如 在以对称为主题的数学探究性学习中 一开始 我们设计了导入活动课 其中主要包含的版块 有 头脑风暴 角色游戏 我是镜中人 镜面反 射的模拟游戏 剪纸中的对称艺术 走进对称 世界 大屏幕的幻灯片的图片展示 展示有关 对称的概念结构图 我们做这样的导入课设计 的最重要的目的实际上是让数学对称概念的学 习扎根于学生的真实经验之中 让学生在思考 中 在想象中 在表演中 在动手做中 在观察中 感到对称的无所不在 感到对称的奇妙无穷 唤 起他们潜在的好奇心与学习探究渴望 更为重 要的是 让数学的抽象概念与学生的经验做如 此的连续链接 调动学生潜在的对对称的经验 性理解 而在传统教学中 忽视学生的真实指向 的经验之现象可谓司空见惯 毋宁说 这似乎成 为一种不自觉的常规行为而被广大教师普遍接 受 这有助于学生在今后的学习中更好地 更 深刻地理解概念 这即是为学生提供了一次有 意识地反思自己的原有思维中前理解的十分重 要的机会 从教师的角度来说 更为重要的是关注学 生在经验世界中表现出来的对概念理解上的最 本真的状态 这其中往往包含诸多的错误认识 1 数学教学通讯 2005年5月 上半月 总第222期 重庆 本文得到华东师范大学2004年度优秀博士培养基金资助 与片面认识 这恰恰是教师作进一步设计的起 点与基础 在有关对称学习的案例研究中 我们 通过观察 发现 在学生的经验认识中 普遍把 对对称的理解局限在轴对称或镜面对称上 比 如有的学生或独自 或与他人合作摆出多样的 人体汉字造型 如 出 凹 凸 等 这些汉 字都是轴对称汉字 再如 有的学生摆出了人体 的英文字母造型 如 M Y 等 同样也都是 轴对称字母 而对一些具有旋转对称的模型 如 三叶吊扇 五角星等 进行辨析的时候 大多数 学生仍只能从轴对称的角度进行分析 此外 很 多学生的经验中都体现了一些错误的概念认 识 如一个学生在解释 S 的对称性时 首先过 S 的中心作了一条横线 进而指出 上下两部 分关于这条横线是对称的 潜在认为是轴对 称 其认识上的错误之处在于 此时的对称不 是轴对称 而是180 的旋转对称 再如 还有一 个同学说过这么一段话 正方形共有4条对称 轴 除此以外任何过中心的直线都将正方形分 成不对称的两个图形 这段话前半句是正确 的 但后半句话的错误之处在于 除了4条原本 的对称轴外 任意过中心的剖分直线也能使图 形形成对称的图案 只不过这时的图案不是呈 轴对称 而是180度的旋转对称 总之 学生在 学习情境中所反映出来的真实理解或真实经 验 实际上都是重要而宝贵的教学资源 都是下 一步教学中应当给予重点关照的 也都是促使 学生概念转变的重要基点 相比较而言 传统教 学意义上对学生想法的不闻不问 甚或一棒子 打死等的做法 实在是惜不足取的 2 为学生创设动态变化的问题任务情境 情境在具有调动 引发学生的前理解 前经 验的作用同时 其更为重要的作用在于持续性 地推动学生的概念理解向前发展 这就要求教 师要根据学生思维和认知发展的变化 即时地 有目的地 有重点地设置动态变化的外部情境 既让学习者暴露自己知识理解的真实状态 同 时也促使学习者连贯性地反思自己理解上的特 征与不足 从而推动其理解不断地深入发展 例 如 在学习旋转变换的概念的过程中 我们设计 了如下的一组问题任务 问题任务1 请把下图 图 1 中的正方形以 A点为旋转中心 顺时针旋转90 连续旋转4 次 做出每次旋转变换后的图形 图1 问题任务2 请你在任务1的正方形中任 意描绘一个图案 然后想一下每次变换后图案 的位置 把它们补充在你原先画好的图形中 补 充完以后 你就得到了一幅属于你自己的美丽 图案画了 图2 问题任务3 如果把任 务1中的正方形变成长方形 矩形 其他变换操作不 变 你认为变换后的图形和 你在任务1中的图形有什么 不同 如图2 问题任务1的情境抛出 之后 绝大多数学生都得到了图 1 2 的 田 字 形 但由于正方形本身具有图形上的规整性 所 以虽然学生能够得到一个整体的 田 字形结 果 但是否他们达到了对旋转变换数学本质的 较为深刻的理解 尚不能肯定 所以 我们创设 了一个动态的跟踪问题 即问题任务2 此时 一部分学生画出了如图1 3 当然 图案可以 任意选择与设计 为了论说观点 笔者在这里只 是选择了一幅较典型的图案进行分析 这显示 2 重庆 数学教学通讯 2005年5月 上半月 总第222期 了他们的确达到了对概念本质的较深刻的理 解 但有一部分原先也正确画出 田 字形的学 生 却画出了如图 1 4 的图案 这显示他们的 理解还存在着片面与不完善的地方 就图 1 4 而言 错误之处在于旋转中心被改为了原来正 方形右边直线的中点了 且旋转角度成为了 180 详可见图3的分析过程 在实际的教学 中 教师根据学生所表现出来的错误 又追加了 一个集体反思与评判的问题 请大家分析一 下 图 1 4 的图案是如何得到的呢 学生积 极地思考着 热烈地参与讨论 通过这样的集体 评价与反思 学生的理解又被推向深入 在基本 确认大家都能理解这个问题任务的正确解答之 后 大家就进入问题任务3的解答 问题任务3 实际上是一个具有变式意味的问题 这个问题 看似简单 实际上对思维的要求又上了一个台 阶 有些学生很快作出了如上图的正确形状 风 车形 这显示出他们的理解的深刻程度 但也 有部分学生却作出了错误的图形 而对这些错 误图形再次进行集体反思与评价 也是一次动 态问题情境创设的极好机会 作为课后推动学 生的进一步思考 我们又抛出了新的问题 即 把正方形改成正三角形 以其一点为旋转中 心 做60度的旋转变换 连续旋转6次 会得到 图3 什么样的图形呢 如果在其中自己设计并描绘 出图案 你能得到什么样的美丽图案呢 总之 动态变化的外部问题任务情境要立足于对学生 思维 认知的考察分析基础之上 要体现出连续 性 要让学生在这样的情境中不断推动自己的 理解向纵深发展 3 数学知识内容的结构化与地图设计 知识的结构化与网络化组织是专家认知结 构的重要特征 在传统的中小学教材中 有关对 称的知识实际上只是一个个孤立的点 如旋转 对称中的中心对称 反射对称等 而忽视了各 个对称知识点作为一个完整的 有机联系的知 识组块所具有的对学生思维的索引性 整合性 发展性的重要作用 笔者认为 就促进学习者数 学理解而言 知识情境的一个重要方面就是知 识的纵横交错的脉络结构 当学生内化了这样 图4 对称知识结构的地图 的脉络结构之后 既便于他们在适当的时候快 速提取 更为重要的是 这样的结构对于有效中 介学生的进一步学习也是十分重要的 图4所 展示的实际上是我们所设计的有关对称的一个 基本知识结构图 就对称知识而言 最关键的其 实是变换的知识 一方面图形的对称性是由变 换来定义的 另一方面 通过持续的变换就可生 成图形的铺砌现象 变换作为一个动态的概念 是有关对称知识组块的核心 当然 作为知识地 图而言 这个结构仍存在着诸多的开放结点 比 如这里的变换聚焦在等距变换 事实上 如果扩 大视角 就可继续探究非等距变换 或者是相似 变换 这是另一层面上的图形对称 相似性对 3 数学教学通讯 2005年5月 上半月 总第222期 重庆 称 现象 知识组块的继续开放 实际上完全取 决于学生在真实教学现场中所表现出来的持续 学习的愿望与努力 我们所设计的所有活动课 所创设的各种活动情境 都是围绕着这个知 识结构组块及其中的各个知识结点 这里说的 结点 不能被理解为知识点 因为结点具有两个 方面的重要涵义 一是指该知识与其他知识之 间的紧密联系 另一方面是指该知识的开放性 做出设计的 我们希望通过各种活动 让学生自 然地吸收 内化 生成一个良好的知识结构组 块 换句话说 即是希望我们所设计的结构能有 效中介学生自我结构的建构与生成 4 经验一数学本质一经验一 的往复型课程 设计 正如笔者在前面所论述的 数学学习的一 个重要过程就是促使学生的经验获得抽象与提 升 使之连续地向数学的形式与结构层面发展 过渡 传统教学并非不关注这样的过渡与转变 的过程 而在于忽略甚至是轻视这样的过程一 定是一个连续发展的过程 而就这个连续性来 说 特别重要的方面就是 这样的连续过程一定 是一个经验 数学本质 再回到经验 再上升到数学本质这样一个巡回往复 不 断上升的过程 这其中就体现着学习者对数学 知识理解的日趋深化 丰富化以及情境化 例 如 在对称概念的学习过程中 在导入课以及展 示课 让学生展示自己所设计的有关对称的任 何作品 完成之后 我们在总结学生的经验性 理解基础之上 试图以学生在作品 节目 对话 等中所表现出来的各种典型表现 这些表现中 体现了学生很多具有共性意义的前概念 前理 解 为情境 让学生反思自己的先前的各种表 现 作品以及其中所透射出的理解与认识 当 然 这即是一个有意识 有目的的反思过程 学 生在这个过程中表现出了极大的热情与兴趣 更为重要的是 笔者在引导学生分析其中所存 在的对称类型 平移对称 旋转对称以及反射对 称 的数学化概念的时候 几乎每个学生都在 努力建构 体现了主动学习的倾向 这样一些 数学化指向非常强的概念定义 例如 旋转对称 性是指图形绕某个顶点经过一定角度的旋转 一种变换之后 前后两个图形完全重合 对于这个阶段的学习而言 笔者深知 由于学生 的知识背景十分有限 如缺乏相应的变换知识 缺乏变换与对称之间关系的知识 因而对这三 个对称概念的理解一定是浅层面的 所以 如果 要达到对对称概念的深入理解 必须得进一步 使学生对构成对称的过程 即是一种变换 达 到较为深刻的理解 因此 在第二阶段的设计 中 笔者让学生借助 把透明纸覆盖在图形上作 旋转变换并描绘图形 这样的实作活动的情 境 建构对旋转变换这样一个动态过程的理解 现实的教学场景给我们的启示是 学生借助这 样的操作活动 能在直观经验的基础上直接感 受到旋转变换的情境化内涵 但另一方面 这种 直观化的操作活动却也在一定程度上掩盖了旋 转变换的真正数学本质与数学内涵 如需要学 生在操作中抽象出旋转中心 对应点 旋转角度 等本质要素及其关联 正是基于对学生经验的 这种分析 我们在第三阶段中设计了更加指向 数学化本质的活动 分别对点 线 图形作关于 某个旋转中心的60 旋转变换 事实上 所有图 形的旋转变换最终都可归结为点的旋转变换 而点的旋转变换即最为直接 最为透彻地体现 了旋转变换的各个要素及其联系 因此这样的 活动设计在引导学生连续性地反思过去活动的 内涵基础上 使其更有效地在这个活动情境中 完整地 清晰地抽象出旋转变换真正的数学本 质与数学内涵 总之 整个课程作如此循环上升 的连续性的情境设计 是试图不断地让学生在 自己的经验与数学的本质之间寻找联结与契合 的融合点 让自己在连续性地回顾 反思过程中 提升 扩充自己的经验认识 丰富 深化对数学 本质的理解 4 重庆 数学教学通讯 2005年5月 上半月 总第222期 5 评价与反馈的动态情境化原则 事实上 当课堂教学关注发展 完善学生的 经验 主动建构对知识的理解时 相应地 教师 在课堂活动中就必然应对学生的表现给予及时 的 动态的 情境指向的评价与反馈 这特别是 指如下几个关键要点 1 要让学生在课堂中多表述自己的观 点 方法 理解等 学生的反应应当被认为是学 习与教学的重要资源 这种资源也应当在课堂 中被所有的学生共享 比如一个学生在解一个 问题时 或许并没有得出最后的解答 但这种方 法却表现出了新奇的 巧妙的思维 那么教师就 需要让更多的同学感受这种思维的精妙 让更 多的学生投入到问题的持续解决中 这既是一 种激励机制 但更多地是赋予了学生额外的学 习机会与资源 同时也丰富了所有学生的理解 力与创造力 2 教师要善于在学生的大量展示中 帮 助学生理清 分析 抽象出其中的共通点与本 质 要真正成为学生自我概念理解上的支撑 例 如 在点 线 图形的旋转变换操作中 对于点的 旋转变换操作 不借助透明纸 只利用圆规 直 尺 量角器等工具对已知点作60 的旋转变 换 学生给出了两种做法 一种做法是利用圆 规 另一种做法是不用圆规 而只用带有刻度的 直尺量出等长的对应点 虽说做法都正确 但实 际上在不同操作方法背后都蕴涵了相同的数学 本质与数学规律 即是如何确定一个点关于一 个旋转中心 在旋转一定角度下的对应点 这里 的关键是如何在图形上确认旋转角度 如何确 认旋转前后的对应点与旋转中心之间的关系等 重要本质 教师在教学中可以通过问题引导学 生反思各种做法背后的规律性联系 如 用圆规 和不用圆规两种方法的差异在哪里 是否又有 共同之处 两种方法背后是否体现了共同的数 学方法与本质 等等 这样的序列性问题作为一 种有效的反