【数学】2015高考试题分类汇编：文科立体几何教师版.doc

2015全国高考数学试题汇编文科立体几何 2015安徽卷 1如图14，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)证明直线BCEF；(2)求棱锥FOBED的体积图14【解答】 (1)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，OA1，OD2，所以OB綊DE，OGOD2.同理，设G是线段DA与FC延长线的交点，有OC綊DF，OGOD2，又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合在GED和GFD中，由OB 綊DE和OC綊DF，可知B和C分别是GE和GF的中点所以BC是GEF的中位线，故BCEF.(2)由OB1，OE2，EOB60，知SEOB.而OED是边长为2的正三角形，故SOED.所以SOBEDSEOBSOED.过点F作FQDG，交DG于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQS四边形OBED.22015北京卷 2 如图14，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形； (3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由 【解答】 (1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，图15所以DEPC.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF，所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG，所以平行四边形DEFG为矩形(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC、AB的中点M，N，连接ME、EN、NG、MG、MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG.所以Q为满足条件的点3 2015江苏卷 如图12，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分别是AP、AD的中点图12求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD. 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力【解答】 证明：(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，图13所以直线EF平面PCD.(2)连结BD，因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.图1642015课标全国卷 如图18，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD. (1)证明：PABD ； (2)设PDAD1，求棱锥DPBC的高 图18【解答】 (1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，故PABD.(2)如图，作DEPB，垂足为E.已知PD底面ABCD，则PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD.图19故BC平面PBD，BCDE.则DE平面PBC.由题设知PD1，则BD，PB2.根据DEPBPDBD得DE.即棱锥DPBC的高为.5. 2015陕西卷 如图18，在ABC中，ABC45，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱锥DABC的表面积图18【解答】 (1)折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD.AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB，DBDC，DCDA，DBDADC1.ABBCCA.从而SDABSDBCSDCA11.SABCsin60.表面积S3.6. 2015江苏卷 如图12，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分别是AP、AD的中点图12求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力【解答】 证明：(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，图13所以直线EF平面PCD.(2)连结BD，因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.7. 2015辽宁卷 如图18，四边形ABCD为正方形，图18QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值 【解答】 (1)由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.所以PQ平面DCQ.(2)设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.图168.2015湖南卷 如图15，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，点C在上，且CAB30，D为AC的中点(1)证明：AC平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值图15【解答】 (1)因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.在平面POD中，过O作OHPD于H，则OH平面PAC.图16连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOAsin30.在RtPOD中，OH.在RtOHC中，sinOCH.故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为.图179. 2015浙江卷 如图17，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上(1)证明：APBC；(2)已知BC8，PO4，AO3，OD2，求二面角BAPC的大小【解答】 (1)证明：由ABAC，D是BC中点，得ADBC，又PO平面ABC，得POBC，因为POADO，所以BC平面PAD，故BCAP.(2)如图，在平面APB内作BMPA于M，连CM.因为BCPA，得PA平面BMC，所以APCM.故BMC为二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB2AD2BD241，得AB.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cos BPA，从而sinBPA.故BMPBsinBPA4.同理CM4.因为BM2MC2BC2，所以BMC90，即二面角BAPC的大小为90.10.2015福建卷 如图15，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥PABCD的体积 【解答】 (1)证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，图16所以PACE.因为ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos451，CECDsin451.又因为ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形所以S四边形ABCDS矩形ABCESECDABAECEDE1211.又PA平面ABCD，PA1，所以V四棱锥PABCDS四边形ABCDPA1.11.2015江西卷 如图17，在ABC中，B，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.图17【解答】 (1)令PAx(0x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，所以，当x时，f(x)取得最大值，即：当VAPBCD最大时，PA.(2)证明：设F为AB的中点，连接PF，FE.则有EF綊BC，PD綊BC，所以EF綊PD，四边形DEFP为平行四边形，所以DEPF，又APPB，所以PFAB，故DEAB.12. 2015山东卷 如图15，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.图15【解答】 证明：(1)证法一：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，图16所以D1DBD.又因为AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos603AD2.所以AD2BD2AB2，所以ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.证法二：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，图17所以BDD1D.取AB的中点G，连接DG.在ABD中，由AB2AD得AGAD，又BAD60，所以ADG为等边三角形因此GDGB.故DBGGDB，又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)连接AC，A1C1.图18设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC，由棱台定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形因此CC1EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.13. 2015四川卷 如图15，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，延长A1C1至点P，使C1PA1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值图15【解答】 解法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD.C1DAA1，A1C1C1P，ADPD，又AOB1O，ODPB1.图16又OD平面BDA1，PB1平面BDA1，PB1平面BDA1.(2)过A作AEDA1于点E，连结BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA，BA平面AA1C1C.由三垂线定理可知BEDA1.BEA为二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，A1D，又SAA1D11AE，AE.在RtBAE中，BE，cosBEA.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为.14. 2015天津卷 如图17，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明PB平面ACM；(2)证明AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值图17课标文数17.G122015天津卷 图18【解答】 (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)证明：因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO.从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.15.（本小题满分13分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （）证明：平面. 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值【答案】（）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（）【解析】试题分析：（）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线