（应用数学专业论文）近hamilton系统的极限环分支与混沌.pdf

上海交逼大学博士学位论文 近h a m i l t o n 系统的极限环分支与混沌 摘要 近年来 多项式系统的定性与分支理论正系统而深入地研究着 并 且随着多项式系统的迅猛发展及其在物理 化学 生物 工程 经济与 社会等领域中的广泛应用 多项式分支问题的研究已成为非线性动力系 统研究的重点和难点之一 同时也先后涌现了许多关于极限环和分支理 论方面的专著 如文献 1 1 3 等 韩茂安教授在专著1 4 5 l 中 比较系统地 论述了由常微分方程定义的动力系统的周期解及各种分支现象的一般理 沦与方法 在其中包括h o p f 分支 退化h o p f 分支 自治 周期系统周期 解的局部分支 非双曲孤立闭轨及闭轨簇在自治 周期扰动下的非局部 分支 平面系统的h o p f 分支 p o i n c a r 6 分支及同宿 异宿分支等 分支一 般分为局部分支和全局分支两部分 关于局部分支的研究工作较为系统 和深入 并出现了许多这方面的文章 如文献 1 4 3 2 等 但是对于全局 分支的研究却相当困难复杂 所见到的文献也不如局部分支的丰富 主 要有f 3 3 9 2 等 本文主要由两部分构成 第一部分是结合利用f 4 4 4 6 4 9 5 0 5 4 1 等给出 的方法 并参考文献 8 9 9 2 1 对几类具体平面系统 通过讨论系统的奇 点 同宿 异宿轨道及其稳定性等 再结合定性理论的分析方法来讨论 由奇点 同宿 异宿轨道等分支出极限环的情况 当然这里所产生的一 般是指从奇闭轨附近的极限环 没有考虑其p o i n c a r 6 分支 这一部分共分四章 第一章讨论一个三次系统 i 2 y i 2 z 1 一b x z 2 e y a 十a 2 x a a z 2 a 2 v 2 1 先是比较具体地讨论系统的同宿轨及双同宿轨的稳定性情况 通过计算 在相应鞍点处的发散量 及沿相应闭曲线积分等 利用定性的方法得到 系统有五个极限环的结论 第二章是讨论上述三次系统的未扰动三次系统的一个特殊情况i y i z z 3 外加一条不变直线 然后通过适当摄动 即讨论系统 童 v c z 参 x 一 z 3 c z e y a 1 a 2 r a 3 c c 2 a 4 x 3 2 i 中文摘要 在不变直线z c 左边所能产生的极限环的个数 通过计算在系统唯一鞍点o 0 0 处的发散量 及沿相应闭曲线积分 由中心摄动后所产生的焦点的稳定性及在不变直线z c 左边 双同宿 轨外面的解的有界性 利用定性理论通过分析当c 适当变化时 所得到 极限环的个数及分布 得到系统可以有六个极限环的存在性 第三 四两章分别讨论如下的四次及五次系统 童 掣 1 z 2 叫2 e a i j x l 矿 件j 1 3 5 其中n 一1 c 1 及 4 士 g f l 2 b z 十 a i x 2 矿 o z 1 一n z 2 一y 2 u e z 4 矿 3 z j 1 3 5 4 j z 1 2 6 一z e b i j x i y j 4 件 l 其中n c 为负常数 且6 足够大 这时 奇点个数的增加及扰动后奇点位置的改变带来分析计算的复 杂性 只好借助于数学软件m a t h e m a t i c a 通过讨论摄动后的奇点 由中 心摄动后产生的焦点及其稳定性 鞍点摄动后得到的新鞍点 新鞍点处 的发散量 沿闭瞌线附近产生的新同宿 异宿轨 双同宿轨等的瞌线积 分 一阶鞍点量等 系统编的有界性 对于 4 指在不变直线 c 的左 边解的有界性 利用定性分析理论来讨论极限环的存在性 个数及分 布问题 得到系统的全局分支图 在这一部分 我们实现了定性分析与数值算法相互结合 进一步发 展了双同宿轨改变稳定性产生环的问题 同时通过对系统似 的研究 得到四次系统可以存在1 9 个极限环 这是目前知道的次数相同情况下 环的含数最多的 所以次数相同 引入不变直线可以得到更多的环 沦文第二部分讨论的是空问系统同宿轨的存在性问题 空间同宿 轨 异宿轨的存在性对研究混沌问题有着重要意义 特别是对于具有 鞍焦点同宿轨的存在性更为重要 我们这里就是利用待定系数法 借鉴 文献 1 0 1 1 0 6 l 的思想来研究一类具有鞍焦点的同宿轨的存在性 并且给 出了一个同宿轨不存在的例子 在这一部分 我们更正了空间同宿轨的判别方法 关键词 h a m i l t o n 系统 极限环 扰动 同宿轨 异宿轨 m e l n i k o v 函数 鞍点量 焦点量 鞍焦点 稳定性 i i 上海交通大学博士学位论文 t h eb i f l l r c a t i o no fs e v e r a lh a m i l t o n i a ns y s t e ma n dt h ec h a o s a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s t h eq u a l i t a t i v ea n db i f u r c a t i o nt h e o r y so ft i l ep o l y n o m i a ls y s t e r n sa l es t u d 3 i n gl b rm a i l rs c i e n t i s t sw h i c hd e v e l o p e dm o r ea n dm o r e a n da p p l i e d i np h y s i c s c b e m i s u 7 b i o l o g y e n g i n e e r i n g e c o n o m ya n ds o c i e t y e t c t h es t u d yo f t h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sh a db e e nb e c o m i n ga i li m p o r t a n ta j l dd i f f i c u l tt a s ko ft h e n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sa n dap l a n t yo fi m p o r t a n tw o r k sa r ea p p e a r e d c f 1 1 1 l a d p r o f e s s o rh a n i nh i sw o r k s t h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n d t h eb i f u r c a t i o nt h e o r y o ft h ed y n a m i c a ls y s t e m s e x p a t i a t e dt h eg e n e r a lt h e o r ya n dt h em e t h o d so ft h e p e r i o d i cs o l u t i o n sa n da l lk i n d so fb i f u r c a t i o np h e n o m e n at ot h ed y n a m i c a ls y s t e m s d e f i n e db yt h eo r d i n a r y d i f f e r e n c i a le q u a t i o n s t h e y a r eh o p fb i f u r c a t i o n s d e g e n c r a t eh o p f b i f u r c a t i o n s lt h el o c a lb i f u r e a t i o n so fa u t o n o m i cs y s t e ma n d t h ep e r i o d i c s o l u t i o no ft h ep e r i o d i cs y s t e m s t h en o n l o c a lb i f u r c a t i o n so fn o o h y p e r b o l i ci s o l a t e dc l o s e dl o o pa n dt h et u s t e i o fc l o s e dl o o p sp e t t u r b e du n d e ra u t o n o m i co r p e l i o d i cp a r t s p o i n c a r db i f l n c a t i o n s h o m o c l i n i cb i f l l r c a t i o n sa n dh e t e r o c l m i cb i f u r c a t i o n se t ca sw ek n o w b i f u r c a t i o n sa r es e p a r a t e di n t ol o c a la n dg l o b a lo n e s i ti ss y s t e m i ca n dm a r er e s u l t sg e t i n gi ns t u d y i n gt h el o c a lb i f u r c a t i o n st i t a nt h e g l o b a lo n e sw i t hal a r g en u m b e ro fp a p e r s o f 1 4 3 2 e ta 1 b u ti ti st o od i f f i c u l t t os t u d yt h eg l o b a lb i f u r c a t i o n s b u tu pt on o w m a n yr e s u l t sa r eg e t t i n gi nt h e a r e a a c ff 3 3 9 2 1e ta 1 t t e r e t h e r ea r et w op a r t si nt h ep a p e r i nt b ef i r s tp a r t a c c o r d i n gt ot h e m e t h o d sg i v e nb yt h ep a p e r sf 4 4 4 6 4 9 5 0 5 4 a n dw i t h 地h er e f e r e n e e 8 9 9 2 e t e w e s t u d yt h ec o n c r e t ep l a n es y s t e m s t h r o u g hs t u d y i n gt h es i n g u l a r s t h eh o m o c l i n i e l o o p sa n dt h eh e t e r o e l i n i ep o o p sw i t ht h e i rs t a b i l i t ye t c a n da c c o r d i n gt ot h e q u a l i t a t i v ea n a l y s i s w es t u d yt h el i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df r o mt h e m f i n a l l y w e o b t a i n e dt h eg l o b a lr e s u l t so ft h es y s t e m s i h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h ef i r s tp a r t i i t a b s 豫a e t w es t u d yac u b i cs y s t e mi nc h a p t e ro n e 名二y 雪 z 1 6 zx 2 一c y a l a 2 x a 3 x 2 a 4 y 2 1 f i r s t t h es t a b i l i t yo ft h eh o m o c l i n i cl o o pa n dt h ed o u b l e h o m o c l i n i cl o o pt ot h e s y s t e ma r es t u d i e d i nt h e8 a f l o et i m e a f t e rc o m p u t i n gt h ed i v e r g e n c eo ft h es a d d l e a n dt h ei n t e g r a lo fc o r r e s p o n d i n gc l o s e dc u r v e se ta 1 a tt h ee n d w eg e tf i v el i m i t c y c l e so ft h es y s t e mw i t ht h eh e l po ft h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i s i nc h a p t e rt w o w es t u d yt h ef o l l o w i n gc u b i cs y s t e m 峦 y 口 z z 3w i t h ai n v a r i a b l e1 i n ez c a n da f t e rp e r t u r b a t i o n i tb e c o m e s 峦 可 cz 雪 z z 3 c z 十e 掣 n 1 a 2 茁 a 3 x 2 n 4 x 3 2 o nt h el e f t s i d eo ft h el i n ex c w eo b t a i nt h en u m b e ro ft h el i m i tc y c l e sa f t e r c o m p u t i n gt h ed j 7 e r g e n c ea tt h eu n i q u es a d d l eo 0 0 o ft h es y s t e m t b ei n t e g r a l a l o n gt h ec o r r e s p o n d i n gc l o s e dc u r v e t h es t a b i l i t yo ft h ef o c iw h i c ha r ep e r t u r b e d f r o mt h ec e n t e r so ft h eu n p e r t u r b e ds y s t e m a n dt h eb o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o n s t h a to u t s i d eo ft h ed o u b l e h o m o c l i n i cl o o pa n da tt h el e f to ft h el i n ez c a f t e r q u a l i t a t i v ea n y l s i s w eg e tt h es y s t e mc a nh a v es i xl i m i tc y c l e sw h e ncc h a n g e s p r o p e r l y i nc h a p t e rt h r e ea n dc h a p t e rf o u r w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gq u a r t i ca n dq u i n t i c s y s t e mr e s p e c t i v e l y y 1 x 2 c y 2 e n 矿矿 口 z 1 一o z 2 一y 2 e b i j z 矿 3 i j 1 3 5 i j l 3 5 w h e r ea 一1 c 1 a n d 4 4 窑 口 1 n y 2 卜z e 矿矿 i 一x 1 c x 2 6 m 6 玎 幽 4 t j lf w h e r ea ca r eb o t hn e g a t i v ec o n s t a n t s a n dbl a r g ee n o u g h w h e r e b e c a u s eo ft h ei n c r e a s i n go ft h es i n g u l a rn u m b e r sa n dt h ep o s i t i o n c h a n g eo ft h es i n g u l a rp o i n t s i ti sv e r yd i f f i c u l tf o ra n a l y s e sa n dc o m p u t a t i o n t h u s w eu s et h ec o m p u t a t i o nt o o l m a t h e m a t i c at oc o m p u t et h es i n g n f i a rp o i n t s a f t e rp e r t u r b i n g t h ef o c i p e r t u r b e df r o mc e n t e r sa n dt h e i rs t a b i l i t y t h es a d d l e s a n dt h e i rd i v e r g e n c e t h ei n t e g r a l sa l o n gt h ec o r r e s p o n d i n gd o s e dc u r v e sm a k i n g 上海交通大学博士学位论文 u po fh o m o d i n i cl o o po rh e t e r o c l i n i cl o o p a n dt h ef i r s ts a d d l ev a l u e s a n dt h e b o u n d e d n e s so ft h es y s t e m t os y s t e m 4 i t sm e a n i n gi st h eb o u n d e d n e s so ft h e s o l u t i o n sa tt h el e f ts i d eo ft h el i n e c a f t e rq u a l i t a t i v ea n a l y s e s w eg e tt h e n u m b e ra n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h el i m i tc y c l e so ft h es y s t e m s nt h i sp a r t 8a c h i e v e dt h eu n i t i n g t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s e sw i t ht h en t m e v i c a lc o m p u t a t i o n a n d7 n 7 出v e l o p e dt h et h e o r yo it h ed o u b l e h o m o c f i n i cl o o p p r o d u c i n gl i m i tc y c l e s 妒e rc h a n g i n gi t ss t a b i l i t y f h r t h e r m o r e w gg e tt h eq u a r t i c s y s t e mc a nh a v e1 9l i m i tc y c l e sa f t e rt h es t u 的o ls y s t e mt 豹 t h i si san e w7 s u t t t on o w a n di nt h es a m ed e g r e e s t 口8c a ng e tm o h m i tc y c l e sw i t hh a v i n gt h e 饥v a r i a b l ef i n e t h es e c o n dp a r to fm yp a p e ri st os t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h eh o m o c l i n i co r b i t c o n n e c t i n gs a d d l e f o c u s b e c a u s et h eh o m o c l i n i co r b i ta n dt h eh e t e r o c l i a i co r b i t i nh i g hd i m e n s i o ns y s t e m sa y ev e r yi m p o r t s a ti ns t u d y i n gc h a o s h e r e w es t u d y t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i cl o o pu s i n gt h em e t h o do fa i l d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t s a c c o r d i n gt ot h ep a p e r1 1 0 1 1 0 6 1 a tt h ee n d w ew ea ne x a m p l ef o rt h en o n e x i s t e n c eo ft h eb o m o e l i n i cl o o p nt h i sp a r t w ei m p r o v e dt h ec ri t e r i o nt ot h ee 埘s t e n c eo iah o m o c l i n i cl o o p c o n n e c tw i t has a d d l e f o c s k e y w o r d s h a m i l t o ns y s t e m h e t e r o c l i n i el o o p m e l n i k o vf i m c t i o n b i l i t y l i m i tc y c l e p e r t u r b a t i o n i t o m o c l i n i el o o p s a d d l ev a l u e f o c u sv a l u e s a d d l e f o c u s s t a v 上海交通大学学位论文答辩决议书 f 擘令碍函己 答辩委员会主席 键弓 i 签名 申请者 尚德生 所在学科 专业 l应用数学 li 论文题目巨h a m i l t o n 系统的极限环分支与混沌 答辩日期i 2 0 0 5 0 6 1 7 答辩地点 徐汇校区 答辩委员会成员 担任职务 姓名 职称 所在正作单位备注签名 主席唐云 教授 清华大学 无 视三 委员朱德明教授华东师范丈学无 豁 委员肖冬梅教授上海交通人学无 孝衍t 委员高国桂教授东华大学无 委员黄文璋教授a l a b a m a 大学数学系 无场珥 评语拳 决议 多项式分支问题是非线性动力系统研究的重点和难点之一 尚德生同 学的论文主要研究了平面上近h a m i l t o n 多项式系统的极限环分支和空问微分系 统的同宿轨存在性及产生滴沌的阔题 在平面多项式系统的研究中 作者特定性 分析与数值算法相结合 进一步发展了般同宿轨改变稳定性产生极限环的问题 同时通过对一类四次系绞的研究 锝到四次系统可以存在2 1 个极限环 这是目 翦知道的次数相闯的情况f 环的最多个数 对于空闽多项式系统研究了一类翼有 鞍焦点的同宿轨存在性的判别方法 并且给山了一个同宿轨不存在的例子 更正 了一个空间同宿轨存在的判定方法 游德生同学的论文条理清晰 沦证 i e 谨 内 容充实 结论新颖 推广了前人的结论 具有创新性 很好遣掌握了相关的鏊础 理论芹 系统的专业知识 有较强的科研工作能力 在答辩过程中能够正确同替答 辩委员会的提闯 答辩委员会一致认为尚德生同志的论文是一篇优秀的学位沧 文 达蜘了搏士学位水平 同意授予博十 学位 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导f 独立 进行研究工作所取得的成果 除论文中已经注明引用的内容外 本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 尚德笔 日期 2 0 0 5 年6 月 旧 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交沦文的复印和电子版 允许论 文被查阅和借阅 本人授权上海交通大学可以将本学位沦文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印 或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口 在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密l 卅 请在以上方框内打 1 学位 沦文作者签名 南镓笼 指导刻醛名 日期 2 0 0 5 年6 月2 日 r 期 2 0 0 54 v6 月叫日 1 1 第零章绪论 常微分方程是数学中一个古老而又充满活力的数学分支 早在三百多年前 牛顿 n e w t o n 1 6 4 2 1 7 2 7 力学第二定律的数学表达式便是常微分方程 在此基础 上 天体力学的数学表达式都是在实数域中的常微分方程 在十七世纪末和十八世 纪 主要的问题是求用初等解析函数表示通解 这是微分方程发展的第一阶段 即实数域解析理论阶段 作为数学中的一个分支 常微分方程的发展也受到数学内部其他分支发展的 影响 十九世纪初 严格的极限概念 收敛概念在分析中建立起来 复变函数的研 究得到大发展 其代表人物之一的柯西 c a u c h y 1 7 8 9 1 8 5 7 将常微分方程求解的 研究由实域转到复域 严格论证了幂级数解的收敛性 从而严格论证了解析的常微 分方程的解析解的存在性 这样柯西便开创了常微分方程的复域解析理论阶段 在问题的提法上 由求通解转到求定解 即求已知初值的解 类似于代数方程的发展 常微分方程的发展也经过曲折的道路 五次以上代 数方程一般没有根式解 类似地 黎卡提方程一般也没有初等解 在不求解的条件 下 斯图谟 s t u r m 给出了实根个数的判定法 这就引起庞加莱 p o i n c a r 1 8 5 4 1 9 1 2 的创造性工作 庞加莱将微分方程的研究由复域又转回实域 由解析表达式 转为曲线 由定解转到曲线族 在不求解的情况下 由曲线族的定性行为得到原来 方程解的性质 从而开创了常微分方程的实域定性理论 特别是从1 8 8 t 年到1 8 8 6 年 庞加莱以 微分方程所定义的积分曲线 为题写的四篇文章奠定了微分方程定 性理论的理论基础 同时极限环概念的引入和对极限环的研究在工程技术方面得到了广泛的应 用 其代表性方程 范德坡 v a nd e rp 0 1 方程 豢一 1 一妒 害 0 0 前苏联的安德诺洛夫发现该方程存在的唯一的全局稳定的振荡过程正好是庞 加莱所提出的极限环 这一重要发现将非线性线路的研究工作与常微分方程定性 理论的研究工作联系在一起 给常微分方程定性理论的研究工作以极大的推动 常 微分定性理论又反过来为非线性线路的非线性振荡过程提供了有力的数学工具 而且极限环的研究还来自另一方面的推动 即从数学理论发展的需要 1 9 0 0 年 在巴黎国际数学会上 希尔伯特 h i l b e r t 1 8 6 2 1 9 4 3 作了 数学问题 的著 上海交通大学博士学位论文 名报告 在其中提出了2 3 个问题 他的第1 6 问题的后半部 即是关于极限环的 问题 其内容如下 对于实域微分方程组 警 x z p 面d y k z g b 其中x z p 及碥 z 为不高于n 次的多项式 问这类系统最多可以有多步个 极限环 这个最大数目 n 的决定 以及当系统 晶 的极限环数达到这个最大 数目时 它们的相对位置如何 见文献 9 3 i 1 9 7 4 年美国数学会为希尔伯特问题开了专门的讨论会 出版了 希尔伯特问 题所引起的数学发展 两卷集 对于2 3 个问题中的2 2 个均有专章论述 只有第 1 6 问题 除了重抄一下外 一字未提 当然 科学家们对于这个问题的研究却从来就没有停止过 到目前为止 我 们已经知道了对于具体的l n 是有限的 且n 2 4 n 3 1 2 见文献 1 5 1 55 7 9 等 对于这些问题的讨论既用到定性理论的思想也汇聚了常微分方 程定义的动力系统的分支理论的方法 对于由常微分方程定义的动力系统的分支理论起源于实际问题的需要 并在 近半个多世纪以来得到了蓬勃发展 比较著名的有h a l e 教授与周修义教授台著的 分支理论专著 m e t h o d so fb i f u r c a t i o nt h e o r y 后来在文献 微分方程分支理 论 b i f u r c a t i o n f h e o r ya n dm e t h o d so fd y n a 1 n i c a ls y s t e m s k 向量场的 分岔理论基础 和 动力系统的周期解与分支理论 等专著中不断加以充实和完 善 使得分支理论已成为一个系统的 方法较为全面 完善的理论专业 详见专著 1 1 3 和文献 1 4 9 2 等 所谓分支现象也称分岔现象 是指对结构不稳定系统来研究的 依救于参数 的某一研究对象 当参数在一个特定值附近作微小变化时 它的某些性质所发生 的本质变化 在数学上 分支理论主要研究三类问题 由常微分方程 或向量场 定义的连续动力系统的分岔 由映射所定义的离散动力系统的分岔 函数方程的 零解随参数变化而产生的分贫 它们既有区别 又相互联系 这里主要涉及第 一类 即向量场的 分岔 它是研究向量场 特别是平面向量场中系统轨道族的拓 扑结构随参数变化所发生的变化及其规律 例如奇点随轨道的变化 周期i 稠轨的 产生与消失 同宿轨 或环 异宿轨 或环 的形成与破裂等 在平面向量场中 最典型的分支现象主要有 奇点分支 主要是鞍结点分支 2 第零章 绪论 闭轨分支 即p o i n e a r d 分支 h o p f 分支 同宿 异宿分支等 鞍结点分支及h o p f 分支相应的较为简单一点 出现的文献结果及理论也最 为全面完整 参见文献 1 6 1 8 2 0 2 4 2 6 2 8 及专著 4 1 1 等 对于闭轨分支 即 p o i n c a r d 分支主要是在一个范围内的参数变化时 由一族闭轨所能产生的极限环 的具体个数 这一类问题往往是用来讨论由 t a m i l t o n 系统扰动而产生的弱h i l b e r t 第1 6 问题 是通过寻求一个a b e l 积分零点的个数来讨论极限环个数的问题 见 文献1 5 6 6 4 及专著f 7 等 对于同宿 异宿轨分支是一个非常困难 非常复杂 也 非常有意义的问题 它主要是用来讨论由鞍点和连接鞍点的轨线所形成的奇异闭 轨的稳定性及其在扰动下所产生的极限环的个数及位置问题 目前所见理论较为 系统的主要有韩茂安教授编写的专著 4 1 5 及一系列文章 3 昏4 3 4 6 5 0 5 3 5 4 l 等 此外 还有专门来讨论广义中一c 的扰动与环性的文章如1 1 9 2 2 2 93 0 1 等 最近 由文献1 4 4 4 6 4 9 5 0 5 4 1 等一系列的论文得到一种利用分支理论的已知 结果来讨论具体系统所产生的极限环的方法 即通过如下三个基本步骤来讨论极 限环的个数 1 形成同宿轨 异宿轨等 然后计算出决定同宿轨 异宿轨等稳定性的所 有各量 2 酒过改变参数的办法来改变决定奇闭轨稳定性的量从而产生出极限环 3 最后通过讨论让同宿轨 异宿轨等破裂来得到最终的极限环 而且应用于文献1 8 9 9 2 1 等 我们这里就是利用上述方法并结合定性方法与数 值计算 给出进一步的结果 并进行更深入的研究 此外 我们对于空间三维动力系统 如果是有界动力系统 那么它的u 一极限 集 除了是奇点 闭轨和奇异闭轨以外 还会出现更加复杂的结构 特别是混沌的 奇怪吸引子的存在性问题 而目前从理论上研究混沌 讨论s m a l e 马蹄的存在性 是一个基本而又重要的方法 其中 有一个就是讨论当系统具有一个鞍焦点的同 宿轨的前提下来研究对等于c a n t o r 集的极限点的存在性 在论文的第二部分 就 是要探索一类具有鞍焦点的同宿轨的存在性问题 3 第一部分 帚一苗i 分 几类近h a m i l t o n 系统的全局分支 第一章一类平面三次系统的全局分支 对于下面的l i 6 n a r d 系统 1 1 引言 当a 0 2 及a 3 都是 的解析函数 p t 吲充分小时 文献 7 7 1 中已经证明了该系 统至多有三个极限环 而文献 4 4 研究了下面的l i d n a r d 系统的全局分支 2 一6 茁一z 一 可 z z e 2 并发现该系统可以有四个极限环 在这一部分中 我们来考虑下面的系统 2 一 一茁 一 五 贯 可 c 3 其中 2 z y a 1 a 2 x a 3 2 2pa 4 2 并得到如下主要结果 定理1 1 1 系统r j 1 驯可以有五个极限环 其分布是一个大极限环围绕着两 串小环 且每串小环各有两个环构成 记为j 1 l 偿 纠分布阻奶9 剀 1 2同宿轨的扰动和引理 当e2 0 时 对应于系统 1 1 3 的未扰动系统是h a m i l t o n 的 h a m i l t o n 函 数为h x 百y z 一等 护 一 h x y o 对应未扰动系统的双同 宿轨 并且可以鸯成 l l lu l 2 笋 土z 1 一i 2 b z i 1 2 z l z o 或者 曼z 茎 2 这里x i 一了2 b 1 r 6 2 十2 i 1 2 2 z 3 nrz 2 on f 2 z i 鲈 z 二 z y llj i 土查窒望盔堂堡圭兰垡堡塞 记 b 2 十2 0 a r c s j n 考 望 j 则有q 一i 2 b 一1 4 z b 一一z z s i n 口一言鲁及c s 目 斋 t 1 2 对于系统 113 如果记n 1 a 2 a 3 o 则扰动同宿轨的稳定流形到不 稳定流形的有向距离为d i g a 湍 p 其中 慨 一杰 扣一0 2 卅n 3 矿 n a y 2 y 出 1 2 1 而且易得 以及 一 其中i i k b 1 2 1 以 女 0c 薯 e b j 1 2 3 一婺y u 2 d 0 一j z 3 a z z z 3c 一百2bz一 z2 1习 2b 1 d z z z 3 t 2 b 1a z 等z l z 4 v 爵d 一 z z 5 i 再a z 塞 6 2 b 亡高c 4 1 一警 4 壹 争 抛 去 m 扩一蚶一 5 i 1 2 且有 2 b 一1 一1 一6 a 巧 6 一1 7 a l j 一b j 一1 2 3 经计算 可得 击 1 b 2 p 争警 卫8 2 1 2 日 器 p 日 一警 訾 6 妇 一 产 卢m 一 曲一3 f i 一 妒 f 广l 一 8 5 r 2 乳 d 2 3 旦盯 一 李 一 k 几稚 吣砷 及 第一章 一类平面三次系统的全局分支 a 1 1 6 一警 o 一孚6 1 i 2 u 2 八j 口 一 b 2 肖 2 6 j 1 2 一警j 警 o 击酽 i b z j j j 9 普卜丽1 3 b a 1 3 b j 3 2 6 1 2 警厶1 一等 1 0 一 丽1 4u 5 开l o u 3 j b 4 f f 口 一 西1 4 u 4 筹b 2 啬 a 6 一 面2u 7 矗6 5 去护 以 口 一 击6 6 b 4 嚣6 2 蠡 a 6 乎6 1 十 铲 j 日 一 护 i a z z 6 一 击6 4 萼 j 压 一口 等 丽1 3 b a 2 3 6 1 4b 5 器6 3 b 以 三一日 一 丽1 1 u 4 嚣6 2 磊 j 4 a b 蕊2b 7 击b 5 丧沪 姐 j 一目 一 矗b 6 矿 嚣6 2 嘉 引理1 2 1 i 假设b 0 则存在一个函数 k 2 e a 1 a 3 0 4 孕 3 一丁a 4 铀 1r 2 2 瓦0 3 一瓦铀 u j 使得d 2o 0 当且仅当不等式0 2 2 e n 1 a 3 a 4 成立 且系统 1 1 3 在l l 附近有同宿轨e 的充分必要条件是a 2 k 2 e a l a 3 a 4 i i 如果方程a 2 一k 2 e a 1 a 3 a 4 成立 则存在函数 k 3 s a 1 a 4 i 一半 啉 j zs 使得在工附近存在双同宿轨口一e u l 的充要条件是方程a 3 凰 e a l o t 成立 证明 由 12 1 可以直接得到 122 成立 再把方程 2 k e e a l a 3 0 4 代入 1 21 式 可得 m 2 e a f 型 型学 鱼垒地铂1 p a124 容易得到 p l a 2 1 a i 2 一 2 2 尸3 a 2 3 a 1 2 一a 2 2 a 1 3 只 a 2 4 a 1 2 一a 2 z a l 4 9 2 b 2 丽 篙 9 蚴 脉 蒙 2 7 1 5 b 2 2 b 4 7 上海交通大学博士学位沦文 所以 d z 0 3 e a 1 n 4 一 蚓沪 产5 一丁3 b 2 成立 证毕 根据d i v 11 3 1 0 oo e a l 0 e 2 得 引理1 2 2 存在函数 使得 k t e a 4 0 12 4 d i v 11 z 1 0 oo 2o a 4 成立 引理1 2 3 如果方程 1 2 2 一 124 成立 则当t 一土o o 时 积分 收敛 4 9 1 5 0 且有 d 1 0 f n n z 螂2 3 咖2 m jl 1 z n 怕z 怕z 2 3 d r 0 0 时 有1 8 6 b 2 2 b 9 2 b 2 0 0 另外 我们也可以得到 6 1 8 6 b 2 j 6 9 2 b 2 兰一0 0 这可以通过函数在有限区域内的图像和f o 1 8 0 得到 见f i g1 1 f i g11 函数f b 在有限区域内的图像 9 o b 争 争 一 铲 一q p耻伊驴皤 l 外 出 以 一 争扫钙 p p 等勃叻 与 留缈书 舶 疙 上海交通大学博士学位论文 因为当b 时 我们有互7 r 一日 筹 t 一争嘉 6 雨8 1 一 所以 对b 瓞 有d 1 0 翰 0 d l o 6 2 0 0 有 4 b b a x m 一 3 b 2 0 成立的情况下是不稳定的 其中i 1 2 下一步 我们研究系统的有界性 因为e o 充分小 所以在 百y zx i z z 3 筹 附近 我们有 记 h b h a e z t r n t z z 2 a 2 y d x o e 2 所以在条件 12 2 12 4 成立的情况下 有 一e 啦如2 一半 牵廊删 一锄z z n l x 一竿 i b z 如删 一衄侥叫育15 b4 一等n 纠蚴山f ry d x 2 唯 一1 1 0 2 5 6 b t 4 百b 2 4 z 去乒 一 一i l z 2 第一章 一类平面三次系统的全局分支 则存在唯一o z 0 使得g z g z 从而 z n 3 r a 2 z z 2 z 3 j b 2 x 2 c r 3 a 2 x o x 2 x 3 j b t 2 z z 2 一 n z o 假设卢一d z 贝4 有 j 2 z 2 届 j b z 2 n p 一互i 卢 o a 2 z 2 p i b 2 z 口 一 卢 及 a 2 x 2 f l 争bz 2 2 j b p 2 一卢 o 成立 所以 瓣一鬻 注意到在z 一 时 有孑告了一 及 孑等 1 成立 所以可得 i 4 b 卢 一i 2 bi 一i 即卢有界 且卢 0 存在x o h 使得当 x o 时 有 f n 一f z 一m 13 2 利用文献 18 j 我们可以得到h b 一h a e a a a 九 0 e 2 其中 j 4 z f z 咖 z h z z 妇 广 刖圳叫圳 南蜊 栅广 一司 高蜊 上海交通大学博士学位论文 由 131 式可得 鼻 f x d y r i o x o h 刖硼叫圳 高一m 震 南删 令g x hs i n 2 日 g x o 一hs i n o o 则有 跞蚓扣e z 风删 厩c o s 注意到 是固定的 所以可得当z 一 o 时 有鼻 f 扛 d y o 成 立 另一方面 由于 一z 卢一2 z 所以2 鼻 z 匆 0 且e 0 充分小 时 有h b 一h a 一一0 0 即系统 113 有界 1 4 基本分析和结果证明 下面 我们来完成基本结果的证明 不失一般性 可以假设a d 0 且e 0 充分小 根据前面的分析和引理12 3 我们知道系统解有界且两个焦点都是不稳定 的 但是由于6 1 0 0 6 2 0 0 6 1 0 6 2 0 0 充分小 根据引理1 22 如果 1 k 1 e a 4 且0 一k l e a 4 i a 4 则双同宿轨l 及同宿轨e e 都改变稳定性 变成不稳定 1 2 i 第一章 一类平面三次系统的全局分支 的1 4 6 4 9 1 5 0 所以在双同宿轨l 附近且在其外面存在一个大的稳定极限环r 1 同时有小的稳定极限环l 啦分别在同宿轨l 工 的附近且在其内部存在 对于固定的a 1 a 4 充分小 根据引理121 如果0 3 一k s e 0 1 啪 旧一k e a 一 l a 4 则同宿轨l 破裂且在q 附近 在琏外部存在一个 小的不稳定极限环l 最后 对于固定的n a 3 充分小 如果0 2 满足0 以 扛 nt n 3 n 4 z m i 得到的卞要结果如下 定理2 jl 奇在o 以 使得在直线z c 曲左边 且 i 时 糸统 2 1 3 可以有六个极限环 其分布为1 3 2 或者2 2 2 见f i 9 24 1 2 22 系统变换和同宿轨扰动 对于系统 213 当c 以 且z c 时 经过变换 一 j 可得 侄托刁 旦 怕 j 囊霸 z z l 19 1 兰 n 卅 地霸 当 0 时 系统f 2 21j 的未扰动系统是h a m i l t o n 的 且系统有2 个奇点 0 oo a 1 1 0 2 1 2 其中o o o 是鞍点 面a 1 0 z 1 2 屉